立体几何折叠问题和探究性专题

高二数学周练折叠问题和探究性专题(10 月 8 日) 一、 立体几何中的折叠问题 折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集 中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与 创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,并弄清折叠前后 哪些发生了变化,哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表 面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面的问题,解题时不妨将它展开成 平面图形试一试。 例1 如图 5, 已知矩形 ABCD 中, AB ? 10 ,BC ? 6 , 将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起, 使 A 移到 A 1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. (1)求证: BC ? A1D ; (2)求证:平面 A 1 BC ? 平面 A 1BD ; (3)求二面角 A1 ? BD ? C 的余弦值 二、 立体几何中的最值问题 结合近年来全国各省市的高考中,考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常 常在高考试题中出现.在解决此类问题时,通常应注意分析题目中所有的条件,首先应该在充分理解题意 的基础上,分析是否能用公理与定义直接解决题中问题;如果不能,再看是否可将问题条件转化为函数,若 能写出确定的表意函数,则可用建立函数法求解;再不能,则要考虑其中是否存在不等关系,看是否能运用 解等不式法求解;还不行则应考虑是否可将其体图展开成平面,这样依次顺序思考,基本可以找到解题的途 径 例2 正 ?ABC 的边长为 a ,沿 BC 的平行线 PQ 折叠,使平面 A?PQ ? 平面 BCQP ,求四棱锥的棱 A?B 取得最小值时,四棱锥 A? ? BCQP 的体积. 三、立体几何中的探索性问题 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,立体几何中的探究性问题既能够考查 学生的空间想象能力,又可以考查学生的意志力及探究的能力.近几年高考中立体几何试题不断出现了一 些具有探索性、开放性的试题.内容涉及异面直线所成的角,直线与平面所成的角,二面角,平行与垂直 等方面,对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.一般此类立体几何 问题描述的是动态的过程,结果具有不唯一性或者隐藏性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此,对于常 见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的. 3.1 对命题条件的探索 探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么.对命题条件的探索常采用以下三种方法: 1、先猜后证,即先观察与尝试给出条件再给出证明; 2、先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性; 3、把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件. 例 3 【湖北省八校联考】如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面△ ABC 为等腰直角三角形,?ABC ? 90 , D 为棱 BB1 上一点,且平面 DA1C ⊥平面 AA1C1C . (Ⅰ)求证: D 为棱 BB1 的中点; (Ⅱ) AA1 为何值时,二面角 A ? A1 D ? C 的平面角为 60 . AB 3.2 对命题结论的探索 探索结论,即在给定的条件下命题的结论是什么.对命题结论的探索,常从条件出发,探索出要求的 结论是什么,另外还有探索的结论是否存在.求解时,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾的结 论. 例 4 (如图 1)在平面四边形 ACPE 中, D 为 AC 中点, AD ? DC ? PD ? 2 , AE ? 1 ,且 AE ? AC, PD ? AC ,现沿 PD 折起使 ?ADC ? 900 ,得到立体图形(如图 2) ,又 B 为平面 ADC 内一点, 并且 ABCD 为正方形,设 F,G,H 分别为 PB,EB,PC 的中点 (1)求三棱锥 P ? GHF 的体积; (2)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ?若存在,求出线段的长;若不存 在,请说明理由. 0

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