2014年数学必修4、必修5考试题(9)

2014 年数学必修 4、必修 5 考试题(9)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题只有一个正确答案) 2 1.已知 sin ? ? ,则 cos(? ? 2? ) ? 3
5 1 1 (B) ? (C) 3 9 9 ? ? 1 1 2.设向量 a ? (1, 0), b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 2 2
(A) ? (A) | a |?| b | (D)

5 3

?

?

b (B) a ? ?

? ?

2 2

(C) a ∥ b

?

?

(D) a ? b 与 b 垂直

? ?

?

3.在等差数列 {a n } 中, a6 ? a8 ? 6 ,则数列 {a n } 的前 13 项之和为 (A)

39 2

(B) 39

(C)

4.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? 小值是 (A)

?
3

) ? 2 的图像向右平移

4? 个单位后与原图像重合,则 ? 的最 3 3 2

117 2

(D) 78

2 3
0

(B)

4 3

(C)

(D) 3

5.在△ABC 中, A ? 60 , a ? 3, 则

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C
(C) 3 (D)

(A) 2

(B)

1 2

3 2

6.已知平面内不共线的四点 O, A, B, C 满足 OB ? (A) 1 : 3 7.函数 y ? cos 2 x cos (B) 3 : 1

1 2 OA ? OC ,则 AB : BC ? 3 3
(C)

1: 2

(D) 2 : 1

6? 的单调递增区间是 5 5 ? 3? 3? 7? (A) [k? ? (B) [k? ? , k? ? ](k ? Z ) , k? ? ](k ? Z ) 10 5 20 20 ? 3? 2? ? (C) [2k? ? , 2k? ? (D) [k? ? ](k ? Z ) , k? ? ](k ? Z ) 10 5 5 10 ? sin 2 x sin
8.在等差数列{ an }中, a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 则 2a9 ? a10 ? (A) 20 (B) 22 (C)24 (D)28

?

9.在等比数列{ an }中,记 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an , 已知 a5 ? 2S4 ? 3, a6 ? 2S5 ? 3, 则此数列的公 比q为 1

(A) 2

(B)3

(C)4

(D)5

10.已知数列: , , , , , , , , , , ... , 依它的前 10 项的规律,这个数列的第 2010 项 a2010 满足 (A) 0 ? a2010 ? (C) 1 ? a2010

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

1 10 ? 10

(B)

1 ? a2010 ? 1 10 (D) a2010 ? 10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) ? ? 11.已知向量 a ? (3, 4) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是
12.在 ?ABC 中,已知 a ? b ? ab ? c , 则 ?C =____________.
2 2 2

13.将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10

伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是______

14、设各项都不同的等比数列{ an }的首项为 a ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,要使数列 { p ? Sn }为等比数列,则必有 q =________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题 8 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期. (2)求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合.

16. (本小题 8 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n,
?

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上;数 n 2 2

列 {bn } 满足 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0(n ? N ) ,且 b3 ? 11 ,它的前 9 项和为 153. (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn . (2an ? 11)(2 bn ?1)

17. (本小题 8 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2) 、B(2,3) 、C(-2,-1) 。 2

(1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC ) OC =0,求 t 的值。 ·

18. (本小题 10 分)已知 OA ? a, OB ? b, 点 G 是 ?OAB 的重心,过
O

??? ? ??? ? ? ?

点 G 的直线 PQ 与 OA, OB 分别交于 P, Q 两点.

? ? ??? ? ? ???? ? ???? 1 1 a, b 表示 OG ; OP ? ma, OQ ? nb, 试问 ? 是否 (1)用 (2)若 m n
为定值,证明你的结论.
A

Q G P B

19.(本小题 10 分) “雪花曲线”因其形状类似雪花而得名,它可以以下列方式产生,如图, 有一列曲线 P , P2 , P ... ,已知 P 是边长为 1 的等边三角形, Pn ?1 是对 Pn 进行如下操作得到: 1 1 3 将 Pn 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线 段去掉( n ? 1, 2,3... ).

……

P1

P2

P3

(1)记曲线 Pn 的边长和边数分别为 an 和 bn ( n ? 1, 2,... ),求 an 和 bn 的表达式; (2)记 S n 为曲线 Pn 所围成图形的面积,写出 S n 与 Sn ?1 的递推关系式,并求 S n .

参考答案
3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个正确答案) 。
1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 D 8 C 9 B 10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 4 3 4 3 2? 11. (? , ) 或 ( , ? ) ; 12. 3 5 5 5 5
1 ? 13. y ? sin( x ? ) 2 10

14. 1 ?

a p

三、解答题(本大题共 5 小题,共 44 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集 合。

16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n ,

Sn 1 11 上;数列 {bn } 满足 ) 在直线 y ? x ? n 2 2

bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0(n ? N ? ) ,且 b3 ? 11 ,它的前 9 项和为 153.
(1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

3 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn 。 (2an ? 11)(2 bn ?1)

解: (1)因为 S n ?

1 2 11 n ? n ;故 2 2

当 n ? 2 时; a n ? S n ? S n ?1 ? n ? 5 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;满足上式; 所以 a n ? n ? 5 ; 又因为 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 ,所以数列 {bn } 为等差数列; 由 S9 ?

9(b3 ? b7 ) 23 ? 11 ? 153 , b3 ? 11 ,故 b7 ? 23 ;所以公差 d ? ? 3; 2 7?3
4

所以: bn ? b3 ? (n ? 3)d ? 3n ? 2 ; (2) cn ?

3 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (2an ? 11)(2bn ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

n 2n ? 1

17. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2) 、B(2,3) 、C(-2,-1) 。 (3)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (4)设实数 t 满足( AB ? t OC ) OC =0,求 t 的值。 · (1)法 1:由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则

??? ?

????

??? ???? ? ??? ???? ? AB ? AC ? (2, 6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 法 2 设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4) 故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ;

??? ???? ?

??? ???? ?

? (2)由题设知: OC =(-2,-1) A O , B tC

????

?? ?? ??

? 3 2, t ? t? 5 ) (



由( AB ? t OC ) OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , · 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

11 。 5

O

18.已知 OA ? a, OB ? b, 点 G 是 ?OAB 的重心, 过点 G 的直线 PQ 与

??? ? ??? ? ? ?

Q G P B

OA, OB 分别交于 P, Q 两点.
(1)用 a, b 表示 OG ; (2)若 OP ? ma, OQ ? nb, 试问 定值,证明你的结论。

? ?

????

??? ?

? ????

?

1 1 ? 是否为 m n

A

5

???? 1 ? ? OG ? (a ? b) 解: (1) 3
(2) PG ? (

????

? 1 ? ???? ? 1 1? 1 ?? ? m)a ? b, GQ ? ? a ? (n ? )b 3 3 3 3

???? ???? 1 1 ? 1 1? 设PG ? ? GQ得 ( ? m ? ? )a ? [(n ? )? ? ]b 3 3 3 3
又 a, b 不共线,故

? ?

1 1 1 1 ? m ? ? ? ( n ? )? ? ? 0 3 3 3 3



1 1 ? ?3 m n

19. “雪花曲线”因其形状类似雪花而得名,它可以以下 列方式产生,如图,有一列曲线 P , P2 , P ... ,已知 P 是 1 1 3

P 边长为 1 的等边三角形, n ?1 是对 Pn 进行如下操作得到:
将 Pn 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向 P1 P2 P3

外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉( n ? 1, 2,3... ). 记 Sn 为曲线 Pn 所围成图形的面积. (1) 记曲线 Pn 的边长和边数分别为 an 和 bn ( n ? 1, 2,... ),求 an 和 bn 的表达式; (2) 记 S n 为曲线 Pn 所围成图形的面积,写出 S n 与 Sn ?1 的递推关系式,并求 S n .

解(1):

1 1 an ? ( ) n ?1 , bn ? 3( )n?1 3 4 3 4 Sn ? Sn?1 ? ( )n?1 S1 4 9 3 4 Sn?1 ? Sn?2 ? ( )n?2 S1 4 9

(2)

3 4 Sn ? Sn?1 ? ( )n?1 S1 4 9 3 4 ? S1 ? ? S1 4 9

?????? S2

6

3 4 4 4 Sn ? S1 ? [ ? ( ) 2 ? ... ? ( ) n ?1 ]S1 4 9 9 9 8 3 4 n ?1 将上面试式子累加得 ? [ ? ( ) ]S1 5 5 9 ? 3 8 3 4 n ?1 [ ? ( ) ] 4 5 5 9

7


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