中考数学专题特例特析:二次函数与几何图形综合题(含答案)

二次函数与几何图形综合题
1.如图,抛物线 y ? ? x2 ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,点 P 是抛 物线上的一个动点且在第一象限,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 D,交直线 BC 于点 E. (1)求点 A、B、C 的坐标和直线 BC 的解析式; (2)求△ ODE 面积的最大值及相应的点 E 的坐标; (3)是否存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与△ OAC 相似?若存在,请求出 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

第 1 题图

2.如图,已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象经过点 A(-4,0) ,B(-1,3) , C(-3,3) . (1)求此二次函数的解析式; (2)设此二次函数的对称轴为直线 l,该图象上的点 P(m,n)在第三象限, 其关于直线 l 的对称点为 M,点 M 关于 y 轴的对称点为 N,若四边形 OAPN 的 面积为 20,求m、n的值.

第 2 题图

3. 如图,在直角坐标系内有 点 P(1,1) 、点 C(1,3)和二次函数 y ? ? x2 . (1)若二次函数 y ? ? x2 的图象经过平移后以点 C 为顶点,请写出平移后的抛 物线的解析式及一种平移的方法; (2)若(1)中平移后的抛物线与 x 轴交于点 A、点 B(A 点在 B 点的左侧) , 求 cos∠PBO 的值; (3)在抛物线上是否存在一点 D,使线段 OC 与 PD 互相平分?若存在,求出 D 点的坐标;若不存在, 说明理由.

第 3 题图

1.解: (1)∵在 y ? ? x2 ? 4 中,当 y=0 时,即 ? x 2 ? 4=0 , 解得 x=±2. 当 x=0 时,即 y=0+4,解得 y=4. ∴点 A、B、C 的坐标依次是 A(-2,0) 、B(2,0) 、C(0,4). 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b(k≠0) ,

? 2k ? b ? 0 则? , ? b?4
?k ? -2 解得 ? , ?b ? 4
∴直线 BC 的解析式为 y=-2x+4; (2)∵点 E 在直线 BC 上, ∴设点 E 的坐标为(x,-2x+4) , 则△ODE 的面积 S 可表示为:
1 S= x(-2x+4)=-x 2 +2x=-(x-1) 2 +1, 2

∴当 x=1 时,△ODE 的面积有最大值 1, 此时,-2x+4=-2×1+4=2, ∴点 E 的坐标为(1,2) ; (3)存在以点 P、O、D 为顶点的三角形与△OAC 相似,理由如下: 设点 P 的坐标为(x,-x 2 +4) ,0<x<2, ∵△OAC 与△OPD 都是直角三角形, ∴分两种情况:①当△PDO∽△COA 时,
PD OD - x2 ? 4 x ? ? , ,有 CO AO 4 2

解得 x1 ? 5 ?1, x2 ? ? 5 ?1 (不符合题意,舍去) , 当 x= 5-1 时,y=-( 5-1 )2+4=2 5 -2. 此时点 P 的坐标为( 5-1 ,2 5 -2); ②当△PDO∽△AOC 时,
PD OD -x2 ? 4 x ? ,有 ? , AO CO 2 4

解得 x3 ?

?1 ? 65 ?1- 65 , x4 ? (不符合题意,舍去), 4 4

当x?

?1 ? 65 ?1 ? 65 2 ?1 ? 65 时, y ? ?( , ) ?4? 4 4 8 ?1 ? 65 ?1 ? 65 , ) , 4 8

此时,点 P 的坐标为(

综上可得,满足条件的点 P 有两个:

P1 ( 5 -1,2 5

?1 ? 65 ?1 ? 65 ?1 ? 65 -2) , P2 ( , ). 4 4 8

“两个三角形相似”的问题: 两个定三角形是否相似: (1)已知有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看 是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。 (2)不知道是否有一个角相等的情形:运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的 长,看看是否成比例?若成比例,则相似;否则不相似。 一个定三角形和动三角形相似: (1)已知有一个角相等的情形: 先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来(一母示),然后把两个目标三角形 (题中要相似的那两个三角形) 中相等的那个已知角作为夹角, 分别计算或表示出夹角的两 边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例(要注意是否有两种情况),列出方程,解此方 程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点。 (2)不知道是否有一个角相等的情形: 这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出 定三角形三边的长度, 用观察法得出某一个角可能是特殊角, 再为该角寻找一个直角三角形, 用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角 可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动 点坐标, 从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了, 只需再验证已知 角的两边是否成比例?若成比例, 则所求动点坐标符合题意, 否则这样的点不存在。 简称 “找 特角,求(动)点标,再验证”。或称为“一找角,二求标,三验证”。 不能只看图上的形状,要切题考虑各种可能。

2.解:(1)将 A(-4,0) ,B(-1,3) ,C(-3,3)代入 y=ax 2 +bx+c,
?16a ? 4b ? c ? 0 ? 得? a ?b?c ? 3 , ? 9a ? 3b ? c ? 3 ?

解得:a=-1,b=-4,c=0.

故此二次函数的解析式为 y=-x 2 -4x; (2)如解图所示:由题可知,M、N 点坐标分别为(-4-m,n) , (m+4,n) , 四边形 OAPN 的面积=OA× n =20, 即 4 n =20, ∴ n =5. ∵点 P(m,n)在第三象限, ∴n=-5, ∴-m 2 -4m+5=0, 解得m=-5 或m=1(舍去), 故所求m、n的值分别为-5,-5. 结合在二次函数上的各种四边形的判断及公式应用。 3.解: (1)平移后以 C 为顶点的抛物线解析式为 y ? ? ? x ? 1? +3 ,
2

第 2 题解图

则可知一种移动方式是:将 y ? ? x2 向右平移一个单位长度,再向上平移三个单 位长度;
2 (2)由(1)知移动后的抛物线解析式为: y ? ? ? x ? 1? +3= ? x ? 2 x ? 2 . 2

令 ? x 2 ? 2 x ? 2 =0, 解出 x1=1 ? 3 , x2 =1+ 3 , 过点 P 作 PM⊥x 轴于点 M, ∴BM= 3 ,PM=1, 根据勾股定理得,
PB ? BM 2 ? PM 2 ?

? 3?

2

? 12 ? 2 ,

BM 3 ? ∴cos∠PBO= PM 2 ;

第 3 题解图

(3)存在这样的点 D. 理由如下: 连接 OC、PD,

欲使 OC 与 PD 互相平分,只要使四边形 OPCD 为平行四边形, 由题设知,PC∥OD,又 PC=2,PC∥y 轴, ∵点 D 在 y 轴上, ∴OD=2, 即 D(0,2) . ∵点 P(1,1) 、点 C 为(1,3) ,则 OD 与 PC 平行且相等, ∴四边形 OPCD 为平行四边形. 又∵点 D(0, 2)在抛物线 y ? ? x2 ? 2x ? 2 上, ∴存在点 D(0, 2) ,使线段 OC 与 PD 相互平分. 是否存在某点: 假 设 存 在 → 推 理 论 证 → 得 出 结 论 。从一开始就要在脑袋里转换思维,相信它 是存在的,将未知变为已知,得出结论后,再用结论倒推。若能导出合理的结果, 就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。


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