wwwbet365a3com:高一数学ppt课件 任意角的三角函数课件_图文

第1章 三角函数

1.2.1 任意角的三角函数

1.(回忆)锐角三角函数(直角三角形中)

b sin ? ? r a cos ? ? r b tan ? ? a

P

r
O
? a

b

M

2.锐角三角函数(直角坐标系中) 使锐角 在

?

? 的顶点与原点重合,始边与
y

x 轴的正半轴重合.

b sin ? ? r a cos ? ? r b tan ? ? a

它与原点的距离 r ? a 2 ? b 2 ? 0 的终边上任取一点 p(a, b) ,

P ( a, b)

r
? a

b

O

M

x

思考
改变终边上点 P 的位置,这些比值 会发生改变吗?

.P
y
P ( a, b)
?

0

O

M

M0

x

提示:由相似三角形的对应边的比值相等,可知 改变终边上点 P 的位置,这三个比值不发生改变.

思考

是否能通过

r 取特殊值将表达式简化呢?

提示: 取 r ? 1. 即使点 P 到原点距离为1.

3.锐角三角函数(在单位圆中) 那么这样的点的轨迹是什么呢? 以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆,称为单位圆.
y

MP sin ? ? ?b OP OM cos ? ? ?a OP MP b tan ? ? ? OM a

P(a, b)
1

?
o M

x

4.用单位圆定义任意角的三角函数 设

? 的终边

y

? 是一个任意角,它的终边
p( x, y) ,那么

P( x, y )
?

x
A(1,0)

与单位圆交于一点 (1) y叫做

o

? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y (2)x叫做 ? 的余弦,记作 cos ? ,即 cos ? ? x y y ( x ? 0) (3) 叫做? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ?
x x
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐 标 或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.

? 的终边

y

说 明

P( x, y )
?

x
A(1,0)

o (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点

正切就是 交点的纵坐标与 的横坐标,
横坐标的比值.

(2) 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0,tan ? ?

y ? 无意义,此时 ? ? ? k? (k ? z ). x 2

? 的终边在 y 轴上时,点P 的

(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,

三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

任意角的三角函数的定义过程:
直角三角形中定义锐角三角函数 sin ? ?
b a b , cos ? ? , tan ? ? r r a
b a b , cos ? ? , tan ? ? r r a

直角坐标系中定义锐角三角函数 sin ? ?

单位圆中定义锐角三角函数

sin ? ? b, cos ? ? a, tan ? ?

b a

单位圆中定义任意角的三角函数

y sin ? ? y, cos ? ? x , tan ? ? x

例1 求 5? 的正弦、余弦和正切值
3

y

解:在直角坐标系中,

5? ,易知 ?AOB 作 ?AOB ? 3 1 3 ( , ? ). 的终边 与单位圆的交点坐标为 2 2
所以 sin
5? 3 5? 1 5? ?? , cos ? , tan ?? 3 3 2 3 2 3

5? 3

x
A(1,0)

o

B

5? 7? 练习:将题目中的 改为 3 6 呢?

7? 1 7? 3 7? 3 sin ? ? , cos ?? , tan ? 6 2 6 2 6 3

的终边经过点 P0 (?3,?4) ,求角 例2 已知角 余弦和正切值. 解:由已知得 OP0 ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5
设角 分别过点 P、 P 作
0

?

? 的正弦、
y

? 的终边与单位圆交于点 P( x, y), M
M 0 P0 x 轴的垂线 MP 、

0

M
o
P ( x, y )

x

则 M 0 P0 ? 4, MP ? ? y , OM 0 ? 3, OM ? ? x ?OMP ∽ ?OM 0 P0 于是, .

sin ? ?

4 M 0 P0 y ? MP ?? ; ?? y? ? OP0 1 OP 5

P0 (?3,?4)

cos ? ? x

y 4 tan ? ? ? . x 3

x ? OM OM 0 3 ? ? ?? ?? ; 1 OP OP0 5

练习:将点

P0 改为

(?1, 3 ) 呢?

3 1 sin ? ? , cos ? ? ? , tan ? ? ? 3. 2 2

思 考
sin ? ?
用角

如果将点

P0改为 P( x, y )呢?
y , tan ? ? ( x ? 0). 2 2 x x ?y x

5.利用角的终边上任意一点定义角的三角函数

y x ?y
2 2

, cos ? ?

? 终边上任意一点的坐标也可以定义角的三角函数, 并且三角函数值仅与角 ? 有关,与点 P在终边上的位置
无关.




1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制)
三角函数 定义域

cos ?
tan ?

sin ?

R R
? ? ? ? k? ( k ? Z ) ? ?? ? ? 2 ? ?

2.确定三角函数值在各象限的符号 y y (+) + ( )( + ) o o x x ( )( ) ( )( + ) sin ? cos ?

? ?

?

?

y ( )(+ ) o x ( +)( ) tan ?

?

?

归纳: 一全正、二正弦、三正切、四余弦.

例3 确定下列三角函数值的符号:

(1)cos 250?(2) sin( ?
解:(1)因为

?
4

)(3)tan 3?

250?是第三象限角, 所以 cos 250? ? 0
?
4
是第四象限角,所以 sin( ?

(2) 因为 ? (3)因为

?
4

)?0

tan 3? ? tan( ? ? 2? ) ? tan ? ,而 ?
tan ? ? 0

的终边在x轴上,所以

例4 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角? 为第三象限角. ?sin ? ? 0 ①

? ? tan ? ? 0 ②

证明: ⑴我们证明如果①②式都成立,那么 ? 为第三象限角.

因为①式 sin ?

? 0 所以? 角的终边可能位于第三或第四象限,

也可能位于y轴的非正半轴上; 又因为② 式 tan ? ? 0成立,所以 ? 角的终边可能位于第一 或第三象限. 因为①②式都成立,所以

? 角的终边只能位于第三象限,

? 为第三象限角. ⑵当 ?为第三象限角时,不等式显然成立.

?0 ?sin ? (k 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 与? 终边相同的角 可以表示为 ? ? 练习 k ? 2? ? Z ) , ? 思考 ?tan ? ? 0 那么终边相同的角的同一三角函数值有何关系? 角 为第二象限角. 公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

?

sin(? ? k ? 2? ) ? sin ? cos(? ? k ? 2? ) ? cos? t an( ? ? k ? 2? ) ? t an?
其中 k ? Z 作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求

0 到 2? (或0?到360?)角的三角函数值.

例5

求下列三角函数值: (1)

解:(1)

sin 780? ? sin( 60? ? 2 ? 360?)
3 ? sin 60? ? 2

9? 11? cos (3) tan( ? ) sin 780? ;(2) 4 6

(2)

9? ? ? 2 cos ? cos( ? 2? ) ? cos ? 4 4 4 2

(3) tan( ?

11? ? ? ? 3 ) ? tan( ? 2? ) ? tan ? tan ? 6 6 6 6 3

练习:求下列三角函数值.

19? (1) tan 3 ( 2) sin( ?1050?) 25? (3) cos 6

( 3)

1 ( ) 2
( 3 ) 2

小结:
(1)任意角的三角函数的定义; (2)三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号; (3)公式一及其应用; (4)体会定义过程中体现的数形结合的思想.


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