www394444com:2019-2020年高中数学必修四2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案2

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2019-2020 年高中数学必修四 2.4.1《平面向量数量积的物理背景
及其含义》教案 2
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题.
教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析:
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注 意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质. 教学过程: 一、复习引入:
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b,作 OA =a,OB =b,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫a与 b的夹角. 2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ ,则数量 |a||b|cos 叫a与b的数量积,记作 a?b,即有 a?b = |a||b|cos ,
(0≤θ ≤π ).并规定 0 与任何向量的数量积为 0. 3.“投影”的概念:作图
C
定义:|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影. 投影也是一个数量,不是向量;当 为锐角时投影为正值;当 为钝角时投影为负值;当 为直角时投影为 0;当 = 0 时投影为 |b|;当 = 180 时投影为 |b|. 4.向量的数量积的几何意义:
数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积. 5.两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.

1 e?a = a?e =|a|cos ; 2 a b a?b = 0 3 当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = |a||b|. 特别的 a?a = |a|2 或| a |? a ? a

4 cos = a ? b ;5 |a?b| ≤ |a||b| | a || b |

二、讲解新课:

平面向量数量积的运算律

1.交换律:a ? b = b ? a

证:设 a,b 夹角为 ,则 a ? b = |a||b|cos ,b ? a = |b||a|cos

∴a ? b = b ? a

2.数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b)

证:若 ? > 0,( ? a)?b = ? |a||b|cos , ? (a?b) = ? |a||b|cos ,a?( ? b) = ? |a||b|cos


若 ? < 0,( ? a)?b =| ? a||b|cos( ? (a?b) = ? |a||b|cos ,

) = ? |a||b|( cos ) = ? |a||b|cos ,

a?( ? b) =|a|| ? b|cos(

) = ? |a||b|( cos ) = ? |a||b|cos .

3.分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c, ∵a + b (即 OB )在 c 方向上 的投影等于 a、b 在 c 方向上的投影和,即 |a + b| cos = |a| cos 1 + |b| cos
2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos 1 + |c| |b| cos 2, ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即:(a + b)?c = a?c + b?c 说明:(1)一般地,(a·b)с ≠a(b·с )
(2)a·с =b·с ,с ≠0 a=b (3)有如下常用性质:a2=|a|2, (a+b)(с +d)=a·с +a·d+b·с +b·d
(a+b)2=a2+2a·b+b2

三、讲解范例:

例 1 已知 a、b 都是非零向量,且 a + 3b 与 7a a 与 b 的夹角.

5b 垂直,a

解:由(a + 3b)(7a 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b 15b2 = 0

(a 4b)(7a 2b) = 0 ? 7a2 30a?b + 8b2 = 0

两式相减:2a?b = b2

代入①或②得:a2 = b2

4b 与 7a
① ②

2b 垂直,求

设 a、b 的夹角为 ,则 cos

= a ? b ? b2 ? 1 | a || b | 2 | b |2 2

∴ = 60

例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.

解:如图:平行四边形 ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD

∴|

AC

|2= |

AB

?

AD

|2

?

2
AB

?

2
AD

?

2AB?

AD

而 BD = AB ? AD ,

∴|

BD

|2= |

AB

?

AD

|2

?

2
AB

?

2
AD

?

2AB?

AD

∴| AC |2 +

| BD |2 =

2

2

2 AB ? 2AD =

| AB |2

? | BC |2

? | DC |2

? | AD |2

例 3 四边形 ABCD 中,AB =a,BC =b,CD =с ,DA =d,且a·b=b·с =с ·d =d·a,试问四边形 ABCD 是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为:
一方面:∵a+b+с +d=0,∴a+b=-(с +d),∴(a+b)2=(с +d)2 即|a|2+2a·b+|b|2=|с |2+2с ·d+|d|2 由于a·b=с ·d,∴|a|2+|b|2=|с |2+|d|2① 同理有|a|2+|d|2=|с |2+|b|2② 由①②可得|a|=|с |,且|b|=|d|即四边形 ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形 ABCD 是平行四边形 另一方面,由a·b=b·с ,有b(a-с )=0,而由平行四边形 ABCD 可得a= -с ,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,∴a⊥b也即 AB⊥BC. 综上所述,四边形 ABCD 是矩形.
评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则其和向量是 零向量,即a+b+с +d=0,应注意这一隐含条件应用;
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积,因为数量积的定义式中含有边、角两 种关系. 四、课堂练习: 1.下列叙述不正确的是( )
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b 是一个实数

2.已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)等于( )

A.72

B.-72

C.36

D.-36

3.|a|=3,|b|=4,向量 a+ 3 b 与 a- 3 b 的位置关系为( )

4

4

A.平行

B.垂直

C.夹角为 ? D.不平行也不垂直 3

4.已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则(a+b)2=

.

5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=

.

6.设|a|=3,|b|=5,且 a+λ b 与 a-λ b 垂直,则 λ =

.

五、小结(略)

六、课后作业(略)

七、板书设计(略)

八、课后记:


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