第4讲 函数的概念、解析式及定义域_图文

理解函数的概念;掌握简单函数的定义域 的求法;掌握求函数解析式的常用方法.

1.函数的概念 设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A中的① __________________ , 在集合B中都有② ____________ 的数f ? x ? 和它对应, 那么就称f :A ? B为从集合A到集合B的一个函数, 其中x的取值范围A叫函数的③ __________ , ④ ________ 叫函数的值域, 值域是⑤ ________ 的子集. 2.函数的三要素 ⑥ __________________________ 为函数的三要素. 两函数相同,当且仅当⑦ .

3.函数的表示法 ⑧ 4.映射的概念 设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 关系f ,使对于集合A中的⑨ ______________ ,在集 合B中都有⑩ __________ 的元素y与之对应,那么就 称对应f :A ? B为从集合A到集合B的一个映射. .

【要点指南】 ①任意一个数x;②唯一确定;③定义域; ④{ f ? x ? | x ? A};⑤集合B; ⑥定义域、对应法则、值域; ⑦定义域和对应法则完全相同; ⑧解析法、图象法、列表法; ⑨任意一个元素x;⑩唯一确定

1.已知f(x)=m3,则f(m)( A.m C. m 3 B.m3

)

D.不确定

【解析】f(x)=m3 是常函数,所以 f(m)=m3, 故选 B.

2.给出四个命题: ① 函数是其定义域到值域的映射; ② f(x)= x-4 + 1 1-x 是函数; ③ 函数y= x (x ∈

N*)的图象是曲线; ④f(x)= x2与g(x)=x是同一个函数.其中正确的有( A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 )

【解析】只有①正确,②③④错误,故选 A.

3.已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的定 义域是 [-3,0]∪[1,3] ,值域是 [1,5] .

【解析】由图观察知,定义域为[-3,0]∪[1,3],值 域为[1,5].

?2 x ?x>0? 4.(2011· 福建卷)已知函数 f(x)=? , ?x+1 ?x≤0?

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

【解析】依题意,f(a)=-f(1)=-21=-2, 又因为 2x>0,所以 a≤0, 所以 f(a)=a+1=-2,故 a=-3,故选 A.

5.如图所表示的函数的解析式为(
? 3 ?- x+3 ?0≤x≤1? 2 ? 2 A.y=? 3 ?3 ?2x-2 ?1<x≤2? ? ? ?x+1 2 ? C.y=? ?5 ?2-x ?

)

?3 ? x ?0≤x≤1? ?2 B.y=? 3 ? ?3-2x ?1<x≤2? ?

?0≤x≤1? D.y=1-|x-1| (0≤x≤2) ?1<x≤2?

【解析】方法 1:将 x=0 代入选项排除 A、C;将 x =1 代入选项排除 D,故选 B. 方法 2:由分段形式和直线的方程易求.

一 函数的定义域
【例 1】 (1)函数y= x2-2x-3+log2(x+2)的定义域是__________; 1 (2)若函数y=2x2+kx+1的定义域为R,则实数k的 取值范围是__________.

?x2-2x-3≥0 【解析】 (1)由 ? ,得{x|-2<x≤ ?x+2>0

-1 或 x≥3},即为所求. (2)由已知 2x2+kx+1≠0 对 x∈R 恒成立, 所以 Δ=k2-8<0,解得-2 2<k<2 2.

【点评】 函数的定义域就是指使这个式子有意义的所 有实数 x 的集合.在一些具体函数综合问题中,函数 的定义域往往具有隐蔽性,所以在研究这些问题时, 必须树立“定义域优先”的原则.而逆向问题注意命 题的等价转化.

素材1

(1)函数 f(x)=lg 1-x2的定义域为( B ) A.[0,1] B.(-1,1) C.[-1,1] D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2)若 f(x+1)的定义域为[-2,3),则 f(2x-1) 的定义域为 5 [0,2) .

【解析】(1)由 1-x2>0,得-1<x<1,故选 B. (2)因为-2≤x<3,所以-1≤x+1<4. 5 由-1≤2x-1<4,得 0≤x<2, 5 故 f(2x-1)的定义域为[0,2).



函数的解析式

【例 2】求下列函数的解析式: (1)已知二次函数满足 f(3x+1)=9x2-6x+5, f(x); 求 (2)已知 2f(x)+f(-x)=3x+2,求 f(x).

【分析】 根据条件可灵活运用不同的方法求解.

【解析】 (1)方法 1:待定系数法. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+ 3b)x+a+b+c. 又 f(3x+1)=9x2-6x+5, 所以 9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.

比较两端的系数,
?9a=9 ? 得?6a+3b=-6 ? ?a+b+c=5 ?a=1 ? ,解得?b=-4 ? ?c=8

.

所以 f(x)=x2-4x+8.

方法 2:换元法. t-1 令 t=3x+1,则 x= 3 , 代入 f(3x+1)=9x2-6x+5 中, t-1 2 t-1 得 f(t)=9( 3 ) -6· 3 +5=t2-4t+8, 所以 f(x)=x2-4x+8.

(2)直接列方程组求解. 由 2f(x)+f(-x)=3x+2,用-x 代换上式中的 x, 得 2f(-x)+f(x)=-3x+2.
?2f?x?+f?-x?=3x+2 解方程组? , ?2f?-x?+f?x?=-3x+2

2 得 f(x)=3x+3.

【点评】函数的解析式是函数与自变量之间的一种 对应关系,是函数与自变量之间建立的桥梁.求函数的 解析式是高考中的常见问题,其特点是类型活,方法 多.求函数的解析式常有以下几种方法:①如果已知函 数 f[g(x)]的表达式, 可用换元法或配凑法求解; ②如果已 知函数的结构,可用待定系数法求解;③如果所给式子 1 含有 f(x)、f(x)或 f(x)、f(-x)等形式,可构造另一方程, 通过解方程组求解.

素材2

已知 f(1-cosx)=sin2x.

【解析】因为 f(1-cosx)=sin2x=1-cos2x, 设 1-cosx=t, 因为 cosx∈[-1,1],所以 t∈[0,2], 所以 f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t, 所以 f(x)=-x2+2x,x∈[0,2].



函数创新题

【例 3】(2011· 湖南卷)给定 k∈N*,设函数 f:N*→N* 满足:对于任意大于 k 的正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1, 则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为 ____________; (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函 数 f 的个数为__________.

【解析】 (1)由题可知 f(n)∈N*, k=1, 而 n>1 时, f(n) =n-1∈N*,故只须 f(1)∈N*,故 f(1)=a(a 为正整数). (2)由题可知 k=4,n>4 时,f(n)=n-4∈N*, 而 n≤4 时,2≤f(n)≤3, 即 f(n)∈{2,3},即 n∈{1,2,3,4},f(n)=2 或 3, 由映射个数求法可知不同函数 f 的个数为 24=16.

【点评】本题以函数定义及映射个数求法为模型, 考查学生对书本定义及习题的把握程度,考查分析问题、 解决问题的能力,可见“回归课本”复习之纲.

素材3

(1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),对任意正实数 m,n 1 恒有 f(mn)=f(m)+f(n),且 f(2)=-1,则 f(1)= 0 ,f(2) = 1 ; x2 1 1 (2)已知函数 f(x)= , f(1)+f(2)+f(2)+f(3)+f(3) 则 1+x2 1 7 +f(4)+f(4)= 2 .

【解析】(1)令 m=n=1,得 f(1)=f(1)+f(1), 所以 f(1)=0. 1 1 1 f(1)=f(2×2)=f(2)+f(2)=-1+f(2)=0, 1 所以 f(2)=1.

12 ?x ? x2 1 1 (2)由 f(x)= 2,知 f( )= x 1 2=1+x2, 1+x 1+?x? 1 所以 f(x)+f(x)=1, 1 7 故原式= +1+1+1=2. 1+1

备选例题

如图①所示是某公共汽车线路收支差额

y(元)与乘客量 x(人)的图象.

(1)试说明图①上点 A、 B 以及射线 AB 上的点的实 点 际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两 种扭亏为赢的建议,如图②③所示.你能根据图象,说 明这两种建议吗? (3)图①、②、③中的票价分别是多少元? (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么?

【解析】(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元.点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元, 线段 AB 上的点(不包 括 B 点)表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图②的建议是降低成本,票价不变,图③的建议是增 加票价. (3)图①②中的票价是 2 元,图③中的票价是 4 元. (4)斜率表示票价.

1.已知函数的解析式求其定义域,只要使解 析式有意义即可.如分式的分母不等于零, 开偶次方的被开方数不小于零,对数的真数 大于零同时底数大于零不等于1,等等. 2.求函数的解析式的主要方法有:待定系数 法、换元法、配凑法、函数方程法、赋值法 等.当已知函数为某类基本初等函数时用待 定系数法,已知复合函数的问题时用换元法 或配凑法,抽象型函数问题一般用赋值法或 函数方程法.

3.分段函数是指自变量在取值情况不同时, 对应法则不同.分段函数的定义域为自变 量的所有取值的集合.


相关文档

第4讲函数的概念及解析式与定义域
第4讲 函数的概念、定义域、解析式
第2单元第4讲 函数的概念及解析式与定义域
第2单元第4讲 函数的概念及解析式与定义域11
第4讲 函数的概念定义域及解析式
第4讲 函数的概念及解析式与定义域
第4讲 函数的概念及解析式与定义域(1)
第4讲 函数的概念及解析式与定义域 (2)
第2单元第4讲函数的概念及解析式与定义域精品课件
第4讲 函数的概念 解析式及定义域3
电脑版