zj.189.cn:《一元二次方程的实根分布问题》

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一元二次方程的实根分布问题

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的

取值范围。

条件1:若方程有两个正根。

y

分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

如右图知

O

x

?? ? (m ? 3)2?4m ? 0

???? ?

m? 2

3

?

0

? 0? m?1

?? f (0) ? m ? 0

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件2:若方程的两个根均小于1。 y
分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

如右图知

?? ? (m ? 3)2?4m ? 0

O

???? ?

m? 2

3

?

1

? m?9

?? f (1) ? 2m ? 2 ? 0

1x

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件3:若方程的一个根大于1,一个根小于1。

分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

y

如右图知

O1

x

f (1) ? 2m ? 2 ? 0 ? m ? 1

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。

条件4:若方程的两个根均在( 0,2)内。

分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

y

如右图知

?? ? (m ? 3)2?4m ? 0

? ??0

?

?

m

?3

?

2

?

2

?

? f (0) ? m ? 0 ?

?? f (2) ? 3m ? 2 ? 0

O
2 ? m?1 3

2x

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的
取值范围。 条件5:若方程的两个根有且仅有一个在( 0,2)内。

分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

y

如右图知

1、f (0) ? 0且0 ? 3 ? m ? 1 ? ?

2、f (2) ? 0且1 ?

2 3?m

?2?

m

?

2

O

2 x

2

3

3、f (0) ? f (2) ? m(3m ? 2) ? 0 ? 2 ? m ? 1

3

由于1,2,3知m的取值范围是 2 ? m ? 1

3

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的

取值范围。

条件6:若方程的一个根在(–2 ,0),另一个根

在(0 ,4)。

y

分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

如右图知

?2O

4x

? f (?2) ? ?m ?10 ? 0

? ?

f

(0)

?

m

?

0

? ?4?m?0

?? f (4) ? 5m ? 4 ? 0

5

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件7:若方程的一个根小于2,另一个根大于4。
y
分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

如右图知

O 24 x

? ? ?

f f

(2) (4)

? ?

3m 5m

? ?

2 4

? ?

0 0

?

m

?

?

4 5

问题 已知方程x?+(m–3)x+m=0,求实数m的 取值范围。
条件8:若方程有一个正根,一个负根且正根 的绝对值较大。
y
分析 设f(x)=x?+(m–3)x+m

如右图知

O

x

?? f ????

(0) ? m m?3 ?
2

? 0

0

?

m?0

小结
一元二次方程的根,其实质就是其相应二次函数的图象 与x轴交点的横坐标,因此,可以借助于二次函数及其图象, 利用数形结合的方法来研究一元二次方程的实根分布问题, 下面通过例题具体情况来说明。
设二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)的二实根为 x1, x2 (x1 ? x2 ) ? ? b2 ? 4ac 方程对应的二次函数为 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

小结:一般地,一元二次方程ax?+bx+c=0(a>0)的实根分布

两个根均小于k
y

两个根均大于k
y

一个根小于k, 一个根大于k。
y

O

kx

?? ? 0

???? ?

b 2a

?

k

?? f (k ) ? 0

Ok

x

?? ? 0

???? ?

b 2a

?

k

?? f (k ) ? 0

Ok x
f (k) ? 0

小结:一般地,一元二次方程ax?+bx+c=0(a>0)的实根分布

两个根均在 (m,n)内
y

Om n x

?? ? 0

? ??m ? ?

b

?n

?

2a

? f (m) ? 0 ? ?? f (n) ? 0

两根均在[m,n] 外两旁
y

mn

O

x

? f (m ? 0)

? ?

f

(n)

?

0

X1∈(m,n) , X2∈(p,q) 。
y

np

mO

qx

? f (m) ? 0

?? f (n) ? 0

? ?

f

(

p)

?

0

?? f (q) ? 0

小结:一般地,一元二次方程ax?+bx+c=0(a>0)的实根分布

两个根有且仅有一个在(m,n)内

y

y

y

n

Om

x

O m nx

O m nx

f (m) ? f (n) ? 0 或 f (m) ? 0且m ? ? b ? m ? n
2a 2

或 f (n) ? 0且 m ? n ? ? b ? n

2

2a

注意:
由函数图象与x轴交点的位置写出相应的充要条件,一般 考虑以下三个方面:
①判别式 ? ? b2 ? 4ac 的符号; ②对称轴 x ? ? bk 的位置分布;
2a
③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。

课堂练习:
1.若方程7x?–(m+13)x+m?–m–2=0在区间(0,1)、 (1,2)上各有一个实根,求实数m的取值范围。
(?2,?1) ? (3,4)
2.若方程2x?–(m–2)x–2m?–m=0的两根在区间[0,1] 之外两旁,求实数m的取值范围。
(??,?2) ? (1,??)

课堂练习:
3.关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的二根,一个小于1, 另一个大于1,则求实数k的取值范围。
(??,?4) ? (0,??)
4.若方程x?–2mx+m–1=0在区间(–2,4)上有两根, 求实数m的取值范围。
(?1,3)


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