数学人教A版必修4知识巧解学案:1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 含解析 精品

疱工巧解牛 知识?巧学 一、正弦函数、余弦函数的图象 1.利用单位圆中正弦线表示正弦值的方法,作出点(α,sinα),α∈[0,2π]. 由单位圆中的正弦线,可知只要能作出角 α,就能利用几何法作出对应的正弦值 sinα.如 图 1-4-1,当 0≤α≤2π 时,在单位圆中对任意的角 α,它的弧度数恰好等于角 α 所对的弧长 AP,我们可设想把单位圆的圆周拉直到 x 轴上,使 A 点与原点重合,这时点 P 就落到 x 轴 上的(α,0)点,由于 sinα=MP,所以平移 MP 至此,就可得到一点(α,sinα).也就是说,要画 出点 P(α,sinα),只需把角 α 的正弦线 MP 向右平移,使 M 点与 x 轴上表示数 α 的点 M1 重 合,得到线段 M1P1,由于点 P 和 P1 的纵坐标相同,都等于 sinα,所以点 P1(α,sinα)是以弧 AP 的长为横坐标,正弦线 MP 的数量为纵坐标的点.

图 1-4-1 2.正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象 (1)利用单位圆中的正弦线作 y=sinx,x∈[0,2π]的图象.如图 1-4-2,在直角坐标系的 x 轴 的负半轴上任取一点 O1,以 O1 为圆心作单位圆,从圆 O1 与 x 轴的交点 A 起把圆弧分成 12 等份,过圆 O1 上各分点分别作 x 轴的垂线,得到对应于角 0,

? ? ? , , ,…,2π 等分 6 3 2

点的正弦线.相应地,再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份,再把角 x 所对应的正弦线向 右平移, 使它的起点与 x 轴上表示数 x 的点重合, 最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接 起来,就得到了函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象.

图 1-4-2 (2)正弦曲线 根据诱导公式一,终边相同的角的三角函数值相等,可知对于长度为 2π 的函数 y=sinx, x∈[2kπ,2(k+1)π] ,k∈Z 且 k≠0 的图象,与函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象的形状完 全一致,只是位置不同.我们只需把 y=sinx,x∈[0,2π]的图象左、右平移(每次 2π 个单 位),就可得到正弦函数 y=sinx,x∈R 的图象(如图 1-4-3).

图 1-4-3 正弦函数的图象叫做正弦曲线. (3)余弦曲线

? ? ? ), 可知 y=cosx 与 y=sin(x+ )是同一函数, 而 y=sin(x+ ) 2 2 2 ? 的图象可由 y=sinx 的图象向左平移 个单位得到,即余弦函数的图象是由正弦函数的图象 2 ? 向左平移 个单位而得到的.如图 1-4-4. 2
根据诱导公式 y=cosx=sin(x+

图 1-4-4 余弦函数的图象叫做余弦曲线.

3? 3? ),可知余弦函数 y=cosx,x∈R 与函数 y=sin(x)也是同 2 2 3? 一函数,余弦函数的图象也可以通过将正弦曲线向右平移 个单位而得到. 2
事实上,y=cosx=sin(x学法一得 作图象时,函数的自变量要用弧度制,只有自变量与函数值均为实数(即 x 轴、y 轴上的单位统一),作出的图象才正规,且利于应用. 利用正弦线为端点连线作函数图象时,份数越多,图象越精确,取 6 的倍数最为适宜, 它既保证了点的个数足够多,又取到了图象上关键的最值点和图象与坐标轴的交点. 由 y=sinx 的图象变换得到 y=cosx 的图象,平移的量是不唯一的,平移的方向也是可左 可右的. 二、“五点法”作草图 通过正弦曲线、 余弦曲线可以发现, 这些曲线可以按照闭区间…, [-4π, -2π] , [-2π, 0] , [0,2π] , [2π,4π] ,…分段,这些闭区间的长度都等于 2π 个单位长度,并且在每一个闭 区间上曲线的形状完全一致.因此,要研究曲线的形状,只需选一个闭区间,在这里,我们 不妨选择[0,2π] ,显然,有五个点在确定其对应图象的形状时起着关键作用.对于正弦曲

? 3? ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0);对于余弦曲线,它们是(0,1), 2 2 ? 3? ( ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1).因此,在精确度要求不太高时,可先找出这五个关键 2 2
线,它们是(0,0),( 点,再用光滑的曲线将它们连接起来,就得到相应函数的简图.这种方法称为“五点法”. 学法一得 “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点. 典题?热题 知识点一 “五点法”作图 例 1 用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图. (1)y=2sinx;(2)y=1-sinx;(3)y=cosx-1. 思路分析:在区间[0,2π]上按五个关键点列表、描点、连线,并用光滑的曲线将它们连 接起来. 解:(1)按五个关键点列表: x sinx 0 0

? 2
1

π 0

3? 2
-1

2π 0

2sinx

0

2

0

-2

0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 1-4-5).

图 1-4-5 方法归纳 函数 y=2sinx 的图象是把 y=sinx 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的二倍而得到 的. (2)按五个关键点列表: x cosx cosx-1 0 1 0

? 2
0 -1

π -1 -2

3? 2
0 -1

2π 1 0

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图 1-4-6).

图 1-4-6 方法归纳 y=f(x) y=f(x)+a(a>0),y=f(x) y=f(x)-a(a>0),

记忆的口诀是“上加下减”. 知识点二 图象的应用 例 2 方程 sinx=lgx 的实根的个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个 思路分析:如图 1-4-7,在同一直角坐标系中作函数 y=sinx 与 y=lgx 的图象.

图 1-4-7 由图中看出两函数图象有三个交点(xi,yi),其中 xi∈(1,10)(i=1,2,3)是方程 sinx=lgx 的 解,此方程再无别的解. 答案:C 方法归纳 像这种含有三角式、指数式、对数式的方程叫做超越方程,用初等解方程的方法 不能求它的解,通常把这类方程分解成两个函数,把求方程的解转化为求两个函数的交点问 题.

例 3 写出使 sinx≥

1 (x∈R)成立的 x 的取值集合. 2

思路分析:可借助于单位圆或正弦曲线求解.

图 1-4-8 解:如图 1-4-8,在 0≤x<2π 中满足 sinx≥ 合为{x|2kπ+

? 5? ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}. 6 6 ? ? 巧解提示:由 y=sinx 在[0, ],( ,π)两区间中取值为正且分别是单调增与单调减函数. 2 2 1 ? 5? 1 又 sinx≥ ,则有 sinx≥sin 或 sinx≥sin ,所有在[0,2π]中,满足 sinx≥ 的角的集合 6 2 6 2 ? ? ? 5? ? 5? 为{x| ≤x≤ }∪{x| <x≤ }={x| ≤x≤ }.以下同解. 6 6 6 2 2 6
方法归纳 利于单位圆或正弦曲线解简单三角不等式时,可先在长度为[0,2π]的区间上找 到适合不等式的解,再把它扩展到整个定义域上去. 问题?探究 思想方法探究 问题 三角函数最重要的特征之一就是它的周期性,推广到一般的情况,对于函数 y=f(x), 如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那 么就把函数 y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数 T 叫做这个函数的周期.那么是否所有周期 函数都有最小正周期?对于周期函数的学习还应该注意什么问题? 探究过程:首先,周期函数的定义是对定义域中的每一个 x 值来说的,只有个别的 x 值满足 f(x+T)=f(x) 或 只 差 个 别 的 x 值 不 满 足 f(x+T)=f(x) 都 不 能 说 T 是 f(x) 的 周 期 . 例 如

1 ? 5? 的角 x 的集合为{x| ≤x≤ };当 x∈R 时集 6 2 6

? ? ? ? ? ? ? + )=sin ,但是 sin( + )≠sin .就是说, 不能对 x 在定义域内的每一个值都 4 2 4 3 2 3 2 ? ? 有 sin(x+ )=sinx,因此 不是 sinx 的周期. 2 2
sin( 其次,从等式 f(x+T)=f(x)来看,应强调的是给自变量 x 本身加的常数才是周期,如 f(2x+T)=f(2x),T 不是周期,而应写成 f(2x+T)=f[2(x+

T T )]=f(2x),则 是 f(x)的周期. 2 2

第三,对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正 周期.但并不是所有的周期函数都存在最小正周期.例如常数函数 f(x)=x(C 为常数),x∈R, 当 x 为定义域内的任何值时,函数值都是 C,即对于函数 f(x)的定义域内的每一个值 x,都 有 f(x+T)=C,因此 f(x)是周期函数,由于 T 可以是任意不为零的常数,而正数集合中没有最 小者,所以 f(x)没有最小正周期.

对于周期函数还应当注意,“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式,即它对定义域内的每一 个值都成立,T 是非零常数,周期 T 是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值;周期函数的 周期不止一个,若 T 是周期,则 kT(k∈N*)一定也是周期;在周期函数 y=f(x)中,T 是周期, 若 x 是定义域内的一个值,则 x+kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定义域一定是无限 集. 探究结论:周期函数并不都有最小正周期;周期函数的定义域一定无上界或无下界.

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