(浙江专用)2018版高中数学第一章空间几何体1.31.3.2球的体积和表面积学案新人教A版必修2

1.3.2 组合体的计算问题. 球的体积和表面积 目标定位 1.记准球的表面积和体积公式,会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的 自 主 预 习 球的体积公式与表面积公式 4 3 (1)球的体积公式 V= π R (其中 R 为球的半径) 3 (2)球的表面积公式 S=4π R 2 即 时 自 测 1.判断题 4 3 (1)球的半径为 R,那么它的体积 V= π R .(√) 3 (2)半径为 3 的球的体积是 36π .(√) (3)球的半径为 R,那么它的表面积 S=4π R .(√) (4)半径为 2的球的表面积等于 2π .(×) 提示 (4)S 球=4π ×( 2) =8π . 2.两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为( A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 2 2 2 2 ) D.1∶1 解析 由表面积公式知,两球的表面积之比为 R1∶R2=1∶9. 答案 A 32π 3.球的体积是 ,则此球的表面积是( 3 A.12π B.16π C. ) 16π 3 D. 64π 3 4 3 32 解析 设球的半径为 R,则 V= π R = π ,∴R=2, 3 3 ∴表面积 S=4π R =16π . 答案 B 4.两个半径为 1 的实心铁球,熔化成一个球,这个大球的半径是________. 4 4 3 3 解析 设大球的半径为 R,则有 π R =2× π ×1 , 3 3 2 R3=2,∴R= 2. 答案 3 2 1 3 2 类型一 球的表面积和体积 【例 1】 (1)已知球的表面积为 64π ,求它的体积. 500 (2)已知球的体积为 π ,求它的表面积. 3 4 4 2 3 3 解 (1)设球的半径为 R,则 4π R =64π ,解得 R=4,所以球的体积 V= π R = π ·(4) 3 3 256 = π. 3 4 3 500 2 (2)设球的半径为 R,则 π R = π ,解得 R=5,所以球的表面积 S=4π R 3 3 =4π ×5 =100π . 规律方法 1.已知球的半径,可直接利用公式求它的表面积和体积. 2.已知球的表面积和体积,可以利用公式求它的半径. 【训练 1】在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球,若 AB⊥BC,AB=6,BC= 8,AA1=3,则 V 的最大值是( A.4π B. 9π 2 ) C.6π D. 32π 3 2 解析 由题意知,底面三角形的内切圆直径为 4.三棱柱的高为 3,所以球的最大直径为 3, V 的最大值为 答案 B 9π . 2 类型二 球的截面问题(互动探究) 【例 2】 平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的 体积为( A. 6π [思路探究] 探究点一 用一个平面去截球,截面是什么? 提示 圆面. 探究点二 有关球的截面问题的解题策略如何? 提示 有关球的截面问题, 常画出过球心的截面圆, 将问题转化为平面中圆的有关问题解决, 计算时,需要注意球心与截面圆心之间的距离,截面圆的半径及球的半径满足勾股定理. 解析 如图,设截面圆的圆心为 O′, ) B.4 3π C.4 6π D.6 3π 3 M 为截面圆上任一点, 则 OO′= 2,O′M=1. ∴OM= ( 2) +1= 3. 4 3 即球的半径为 3.∴V= π ( 3) =4 3π . 3 答案 B 规律方法 有关球的截面问题, 常画出过球心的截面圆, 将问题转化为平面中圆的有关问题 解决. 【训练 2】 已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6π 和 8π ,则这两个截面间 的距离为________. 解析 若两个平行截面在球心同侧, 如图(1), 则两个截面间的距离为 5 -3 - 5 -4 =1; 若两个平行截面在球心异侧,如图(2),则两个截面间的距离为 5 -3 + 5 -4 =7. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 1 或 7 类型三 球的组合体与三视图 【例 3】 某个几何体的三视图如图所示,求该几何体的表面积和体积. 解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为 2 的正方体, 上部是半径为 1 的半球, 该几何体 的表面积为 S= ×4π ×12+6×22-π ×12=24+π . 1 2 4 1 4 2π 3 3 该几何体的体积为:V=2 + × π ×1 =8+ . 2 3 3 规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积, 关键要弄清组合体 的结构特征和三视图中数据的含义. 2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉. 【训练 3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视 图、 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为 2 的正方形, 则该球的表面积是________. 解析 由三视图知组合体为球内接正方体,正方体的棱长为 2,若球半径为 R,则 2R=2 3, ∴R= 3.∴S 球表=4π R =4π ×3=12π . 答案 12π [课堂小结] 1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据,在球的轴截面图形中,球半径、截面圆半 径、球心到截面的距离所构成的直角三角形,其量值关系是解决问题的主要方法. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和 接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图. 2 1.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A.36π ,144π C.144π ,36π ) B.36π ,36π D.144π ,144π 4 2 3 解析 球的半径为 3,表面积 S=4π ·3 =36π ,体积 V= π ·3 =36π . 3 答案 B 2.若将气球的半径扩大到原来的 2 倍,则它的体积增大到原来的( A.2 倍 B.4 倍 C.8 倍 ) D.16 倍

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