北京市海淀区2019届高三下学期期末练习(二模)数学(理)试题附答案

海淀区高三年级第二学期期末练习 数学(理科)
2019.5 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效。考试结 束后,将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? x 1 ? x ? 5 , B ? x 3 ? x ? 6 ,则 A (A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]

?

?

?

?

B?

(2)复数 z ? a ? i(i ? R) 的实部是虚部的 2 倍,则 a 的值为 (A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) -2

(D)2

(3,若直线 l : ? (A) -2

? x ? 1? t ( t 为参数),经过坐标原点,则直线 l 的斜率是 ? y ? 2 ? at
(B) -1 (C)1
2

(D)2

(4)在 ( x ? 2)5 的展开式中, x 的系数是 (A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40

(5)把函数 y ? 2x 的图象向右平移 t 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y ?

2x ,则 t 的值为 3

(A)

1 2

( B) log2 3

(C) log3 2

(D)

3

(6)学号分别为 1,2,3,4 的 4 位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,则不同的排法种数为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (7)已知函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) ,则“函数 f ( x ) 的图象经过点( (

?
4

,1)”是“函数 f ( x ) 的图象经过点

?
2

, 0 )”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(8)如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 点 P 是对角线 AC1 上的动点 (点 P 与 A, C1 不重合) . 则 1B 1C1D 1 中, 下面结论中错误的是

(A)存在点 P ,使得平面 A1DP ∥平面 B1CD1 (B)存在点 P ,使得 AC1 ? 平面 A1DP
1

(C) S1 , S2 分别是△ A1DP 在平面 A1B1C1D1 ,平面 BB1C1C 上 的正投影图形的面积,对任意点 P , S1 ? S2 (D)对任意点 P ,△ A1DP 的面积都不等于

2 6

第二部分(非选择题共 1 10 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)已知直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ? ( 10)已知函数 f ( x) ? ( x ? t )( x ? t )2 是偶函数,则 t ? ( 11)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n , n ? 1, 2,3,..., 则满足 an ? 0 的 n 的最小值为 (12)已知圆 C : ( x ?1) ? y ? 4 与曲线 y ? x ?1 相交于 M , N 两点,则线段 MN 的长度为
2 2

, l1 与 l2 之间的距离为

(13)在矩形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在线段 DC 上.若 AE ? AF ? AP ,且点

P 在直线 AC 上,则 AE AF ?
(14) 已知集合 A0 ? x 0 ? x ? 1 . 给定一个函数 y ? f ( x) ,定义集合 An ? y y ? f ( x ), x ? An ?1

?

?

?

?



An

An?1 ? ? 对任意的 n ? N * 成立,则称该函数 y ? f ( x) 具有性质“ ”.
(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是 (Ⅱ)给出下列函数:① y ? ;

1 ? ;② y ? x2 ? 1 ;③ y ? cos( x) ? 2 ,其中具有性质“9”的函 数的序号 x 2

是____. (写出所有正确答案的序号)

三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ( 15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a ? 7, b ? 8, A ?

?
3



(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 是钝角三角形,求 BC 边上的高. (16)(本小题满分 13 分) 某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐 连锁店提供了两种日工资方案:方案(1) 规定每日底薪 50 元,快递业务每完成一单 提成 3 元;方案(2)规定每日底薪 100 元, 快递业务的前 44 单没有提成,从第 45 单
2

开始,每完成一单提成 5 元,该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取 100 天的数据,将样本数据分为[ 25,35) , [35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方 图。 (Ⅱ)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概率; (Ⅱ)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为

1 选择方案(2)的概率 3,



2 .若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人选择日工资方案相互独 3

立,求至少有两名骑手选择方案(1)的概率; (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑, 请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择, 并说 明理由. (同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)

( 17)(本小题满分 14 分) 如图 1 所示,在等腰梯形 ABCD , BC ∥ AD , CE ? AD ,垂足 为 E , AD ? 3BC ? 3 , EC ? 1 .将 ?DEC 沿 EC 折起到 ?D1EC 的位置, 使平面 ?D1EC ? 平面 ABCE ,如图 2 所示,点 G 为棱 AD1 上一个动点。 (Ⅱ)当点 G 为棱 AD1 中点时,求证: BG ∥平面 D1EC (Ⅱ)求证: AB ? 平面 D1BE ; (Ⅲ)是否存在点 G ,使得二面角 G ? BE ? D1 的余弦值为 若存在,求出 AG 的长;若不存在,请说明理由. t

6 ? 3

(18)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点 A 与上顶点 B 的距离为 6 . 4 b2

(Ⅱ)求椭圆 C 的方程和焦点的坐标; (Ⅱ)点 P 在椭圆 C 上,线段 AP 的垂直平分线与 y 轴相交于点 Q ,若 ?PAQ 为等边三角形,求点 P 的横 坐标.

3

(19)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ax ( x 2 ?

a?2 ), ,其中 a ? 0 . a

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的极小值小于 0,求实数 a 的取值范围.

( 20)(本小题满分 13 分) 对于给定的奇数 m, (m ? 3) ,设 A 是由 m? m 个数组成的 m 行 m 列的数表,数表中第 i 行,第 j 列的数

aij ??0,1? ,记 c(i ) 为 A 的第 i 行所有数之和, r ( j ) 为 A 的第 j 列所有数之和,其中 i, j ??1, 2,..., m? .
对于 i, j ??1,2,..., m? ,若 maij ? c (i ) ?

m m 且 j ? 同时成立,则称数对 (i, j ) 2 2

为数表 A 的一个“好位置” (Ⅱ)直接写出右面所给的 3 ? 3 数表 A 的所有的“好位置”; (Ⅱ)当 m ? 5 时,若对任意的 1 ? i ? 5 都有 c(i) ? 3 成立,求数表

A 中的“好位置”个数的最小值; (Ⅲ)求证:数表 A 中的“好位置”个数的最小值为 2m ? 2 .

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案
数 学 (理科)
2019.05

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1. B 2. D 3.D 4. A 5. B 6. A 7. A 8. C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. ?1, 12. 2 2

2

10. 0, 1 13.

11. 5 14. y ? x ? 1 (答案不唯一) ,① ②

5 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
(15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)在 △ ABC 中,因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? 所以由正弦定理
sin B sin A ? b a

?
3



4

得 sin B ? (Ⅱ)方法 1:

b sin A 8 3 4 3 ? ? ? . a 7 2 7

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 得 49 ? 64 ? c2 ? 2 ? 8 ? c ?

1 2

即 c 2 ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 5 或 c ? 3 因为 b ? a, b ? c ,所以 ?B 为 △ ABC 中最大的角, 当 c ? 5 时, cos B ? 当 c ? 3 时, cos B ? 所以 c ? 3 设 BC 边上的高为 h ,所以 h ? c sin B ? 方法 2: 因为 b ? a ,所以 B ? A ?
a 2 ? c2 ? b2 ? 0 ,与 △ ABC 为钝角三角形矛盾,舍掉 2ac a 2 ? c2 ? b2 ? 0 , △ ABC 为钝角三角形, 2ac

12 3 7

π π ,所以 C ? , 3 3

所以 ?B 为 △ ABC 中最大的角 因为 △ ABC 为钝角三角形,所以 B 为钝角 因为 sin B ?
4 3 1 ,所以 cos B ? ? 7 7

所以 sin C ? sin( A ? B)
? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 3 14

设 BC 边上的高为 h ,所以 h ? b sin C ?

12 3 7

5

16.(共 13 分) 解:(Ⅰ) 设事件 A 为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单”

0.15, 0.05 依题意,连锁店的人均日快递业务量不少于 65 单的频率分别为: 0.2,
因为 0.2 ? 0.15 ? 0.05 ? 0.4 所以 P ( A) 估计为 0.4 . (Ⅱ) 设事件 B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1) ” 设事件 Ci 为“甲乙丙三名骑手中恰有 i(i ? 0,1, 2,3) 人选择方案(1) ” , 则 P( B) ? P(C2 ) ? P(C3 )

6 1 7 2 1 2 2 1 3 1 3 ? C3 ( ) ( ) ? C3 ( ) ? ? ? 3 3 3 27 27 27
所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)的概率为 (Ⅲ)方法 1: 设骑手每日完成快递业务量为 X 件 方案(1)的日工资 Y1 ? 50 ? 3X ( X ? N* ) , 方案(2)的日工资 Y2 ? ?
* ? ?100, X ? 44, X ? N * ? ?100 ? 5( X ? 44), X ? 44, X ? N

7 27

所以随机变量 Y1 的分布列为



Y1

140

170

200

230

260

290

320



P

0.05

0.05

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

EY1 ? 140 ? 0.05 ? 170 ? 0.05 ? 200 ? 0.2 ? 230 ? 0.3
?260 ? 0.2 ? 290 ? 0.15 ? 320 ? 0.05 ? 236
同理随机变量 Y2 的分布列为

Y1

100

130

180

230

280

330

P

0.1

0.2

0.3

0.2

0.15

0.05

EY2 ? 100 ? 0.1 ? 130 ? 0.2 ? 180 ? 0.3 ? 230 ? 0.2 ? 280 ? 0.15 ? 330 ? 0.05
6

? 194.5
因为 EY1 ? EY2 ,所以建议骑手应选择方案(1) 方法 2: 快餐店人均日快递量的期望是:

30 ? 0.05 ? 40 ? 0.05 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.3 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.15 ? 90 ? 0.05 ? 62
因此,方案(1)日工资约为 50 ? 62 ? 3 ? 236 方案 2 日工资约为 100 ? ? 62 ? 44? ? 5 ? 190 ? 236 故骑手应选择方案(1)

7

17.(共 14 分) 解: (Ⅰ) 方法 1: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F , 因为 CE ? AD ,所以 BF 又因为 BC
EC

AD , BC ? CE ? 1 , AD =3

所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ?1 , F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF 又因为 BF
D1E

EC , GF

BF ? F , GF,BF ? 平面 BFG , D1E, EC ? 平面 D1 EC ,

所以平面 BFG

平面 CED1 平面 D1 EC

又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 方法 2:

在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F 因为 CE ? AD ,所以 BF 又因为 BC
EC

AD , BC ? CE ? 1 , AD =3

所以四边形 BCEF 为正方形 , F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF
D1E

又 D1E ? 平面 D1 EC , GF ? 平面 D1 EC 所以 GF 又因为 BF 所以 BF 又因为 GF 平面 D1 EC
EC , EC ? 平面 D1 EC , BF ? 平面 D1 EC

平面 D1 EC
BF ? F

所以平面 BFG

平面 D1 EC 平面 D1 EC

又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 方法 3:

在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F , 因为 CE ? AD ,所以 BF 又因为 BC
EC

AD , BC ? CE ? 1 , AD =3

所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ? 1 ,得 AE ? 2 所以 BC
8

1 AE, BC = AE 2

在图 2 中设点 M 为线段 D1 E 的中点,连结 MG , MC , 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GM 所以 GM 所以 BG

1 AE, GM = AE 2
BC, GM =BC ,所以四边形 MGBC 为平行四边形
CM

又因为 CM ? 平面 D1 EC , BG ? 平面 D1 EC 所以 BG 平面 D1 EC

(Ⅱ)因为平面 D1EC ? 平面 ABCE , 平面 D1 EC 平面 ABCE ? EC ,

D1E ? EC , D1E ? 平面 D1 EC ,
所以 D1E ? 平面 ABCE 又因为 AB ? 平面 ABCE 所以 D1E ? AB 又 AB ? 2, BE ? 2, AE ? 2 ,满足 AE 2 ? AB 2 ? BE 2 , 所以 BE ? AB 又 BE

D1E ? E

所以 AB ? 平面 D1 EB (Ⅲ)因为 EA, EC, ED1 三线两两垂直,如图,建立空间直角坐标系 E ? ACD1 , 所以 A(2,0,0) , D1 (0,0,1) , B(1,1, 0) , AD1 ? (?2,0,1), EB ? (1,1,0) . 假设存在点 G 满足题意, 设 AG ? ? AD1 ,0 ? ? ? 1,则 AG ? ? (?2,0,1) , 所以 EG ? EA ? AG ? (2,0,0) ? ?(?2,0,1) ? (2 ? 2?,0, ?) 设平面 GBE 的法向量为 m ? (a, b, c) ,
A E B C D1

? ?a ? b ? 0 ? EB ? m ? 0 所以 ? ,即 ? ? ?(2 ? 2? )a ? ?c ? 0 ? EG ? m ? 0
取 a ? ? ,则 m ? (? , ?? , 2? ? 2) , 由(Ⅱ) , AB ? (?1,1,0) 为平面 BED1 的法向量, 令 cos ? AB, m ? ?
9

AB ? m AB m

?

?2? 2 ? 2? 2 ? (2? ? 2)2

?

6 3

解得 ? ?

2 或 ? ? 2 (舍) 3
2 6 ,且 AG ? AD1 , 3 3

所以存在点 G ,使得二面角 G ? BE ? D1 的余弦值为 得 AG ?

2 5 . 3

10

18.(共 13 分) 解:(Ⅰ)依题意,有 4 ? b2 ? 6 所以 b2 ? 2 所以椭圆方程为 所以 c ?

x2 y 2 ? ?1 4 2

4?2 ? 2 ,

焦点坐标分别为 F 1 (? 2,0), F2 ( 2,0), (Ⅱ)方法 1: 设 P( x0 , y0 ) ,则

x0 2 y0 2 ? ? 1 ,且 A(?2,0), 4 2

若点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点, AP ? 4, AQ ? 6 ,△ PAQ 不是等边三角形, 不合题意,所以 x0 ? ?2, y0 ? 0 . 设线段 PA 中点为 M ,所以 M (

x0 ? 2 y0 , ) 2 2

因为 PA ? MQ ,所以 kPA ? kMQ ? ?1 因为直线 PA 的斜率 k Ap ?

y0 x0 ? 2 x0 ? 2 y0

所以直线 MQ 的斜率 kMQ ? ?

又直线 MQ 的方程为 y ?

y0 x ?2 x ?2 ?? 0 (x ? 0 ) 2 y0 2

令 x ? 0 ,得到 yQ ?

y0 ( x0 ? 2)( x0 ? 2) ? 2 2 y0

x0 2 y0 2 ? ?1 4 2 y 所以 yQ ? ? 0 2
因为 因为 △PAQ 为正三角形,

所以 | AP |?| AQ | ,即 ( x0 ? 2)2 ? y0 2 ? 22 ?

y0 2 4

11

化简,得到 5x02 ? 32x0 ? 12 ? 0 ,解得 x0 ? ? , x0 ? ?6 (舍) 即点 P 的横坐标为 ? . 方法 2: 设 P( x0 , y0 ) ,直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 2) . 当 k ? 0 时,点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点, AP ? 4, AQ ? 6 ,△ PAQ 不是等 边三角形,不合题意,所以 k ? 0 .

2 5

2 5

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 4 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
消元得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 所以 ? ? 16 ? 0 所以 x0 ? ( ?2) ?

?8 k 2 1 ? 2k 2 x0 ? 2 ?4 k 2 ?4k 2 2k y ? k ( ? 2) ? ? , M 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k

设线段 PA 中点为 M ,所以 xM ?

?4k 2 2k , ) 所以 M ( 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

1 k 2k 1 ?4k 2 ? ? ( x ? ) 所以直线 MQ 的方程为 y ? 1 ? 2k 2 k 1 ? 2k 2 2k 1 4k 2 ?2 k ? ? ? 令 x ? 0 ,得到 yQ ? 2 2 1 ? 2k k 1 ? 2k 1 ? 2k 2
因为 AP ? MQ ,所以 KMQ ? ? 因为 △PAQ 为正三角形, 所以 | AP |?| AQ |

所以 1 ? k 2 ?

4 ?2k 2 ? 4?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

3 4 2 化简,得到 4k ? k ? 3 ? 0 ,解得 k 2 ? , k 2 ? ?1(舍) 4 2 ?4k ? 2 2 ?? , 所以 x0 ? 2 1 ? 2k 5 2 即点 P 的横坐标为 ? . 5
方法 3: 设 P( x0 , y0 ) ,

12

当直线 AP 的斜率为 0 时,点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点, AP ? 4, AQ ? 6 , △ PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以直线 AP 的斜率不为 0. 设直线 AP 的方程为 x ? ty ? 2

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程 ? 4 2 ? x ? ty ? 2 ?
2 2 消元得, (t ? 2) y ? 4ty ? 0

所以 y0 ?

4t t ?2
2

设线段 PA 中点为 M

2t ?4 , xM ? 2 , t2 ? 2 t ?2 ?4 2t 所以 M ( 2 , 2 ) t ?2 t ?2 1 因为 AP ? MQ ,所以 kMQ ? ? k 2t ?4 所以直线 MQ 的方程为 y ? 2 ? ?t ( x ? 2 ) t ?2 t ?2 ?2t 令 x ? 0 ,得到 yQ ? 2 t ?2
所以 yM ? 因为 △PAQ 为正三角形, 所以 | AP |?| AQ |

所以 1 ? t 2 ?

| 4t | 2t 2 ? 4?( 2 ) 2 t ?2 t ?2

化简,得到 3t 4 ? t 2 ? 4 ? 0 ,解得 t 2 ? , t 2 ? ?1 (舍)

4 3

2t 2 ? 4 2 ?? , 2 t ?2 5 2 即点 P 的横坐标为 ? 5
所以 x0 ?

13

19. (共 14 分)
ax 2 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? e ( x ?

a?2 ) ,所以 f '( x) ? ea x (ax2 ? 2 x ? (a ? 2)) a

所以 f '(1) ? 0 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角为 0 (Ⅱ)方法 1: 因为 f '( x) ? ea x (ax2 ? 2x ? (a ? 2)) ? ea x (ax ? (a ? 2))( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

a?2 , x2 ? 1 a

当 a ? 0 时, x , f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, x1 )

x1
0

( x1 ,1)

1
0

(1, ??)

?

?

?

f ( x)

极大值

极小值

a?2 2 2 ) ? ea (1 ? 1 ? ) ? ea (? ) ? 0 ,符合题意 a a a a?2 当 a ? ?1 时, x1 ? ? ? x2 ? 1 , a
而 f (1) ? ea (1 ?
f '( x) ? ?ea x ( x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 没有极值,不符合题意

当 ?1 ? a ? 0 时, x1 ? 1 , f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表

x
f ?( x)

(??,1)

1
0

(1, x1 )

x1
0

( x1 , ??)

?

?

?

f ( x)
2 而 f (1) ? ea (? ) ? 0 ,不符合题意 a

极小值

极大值

当 a ? ?1 时, x1 ? 1 , f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
14

(??, x1 )

x1

( x1 ,1)

1

(1, ??)

f ?( x)

?

0

?

0

?

f ( x)
a?2 ) a

极小值

极大值

所以 f ( x1 ) ? e

a(?

[(?

a?2 2 a?2 ) ?( )] ? 0 , 解得 a ? ?2 a a
(0, ??)

综上, a 的取值范围是 (??, ?2) 方法 2: 因为函数 f ( x) 的极小值小于 0 , 所以 f ( x) ? 0 有解,即 x2 ? 所以

a?2 ? 0 有解 a

a?2 ? 0 ,所以有 a ? 0 或 a ? ?2 a

因为 f '( x) ? ea x (ax2 ? 2x ? (a ? 2)) ? ea x (ax ? (a ? 2))( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

a?2 , x2 ? 1 a

当 a ? 0 时, x , f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, x1 )

x1
0

( x1 ,1)

1
0

(1, ??)

?

?

?

f ( x)

极大值

极小值

而 f (1) ? ea (1 ?

a?2 2 2 ) ? ea (1 ? 1 ? ) ? ea (? ) ? 0 ,符合题意 a a a

当 a ? ?2 时, x1 ? 1 , f '( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(??, x1 )

x1
0

( x1 ,1)

1
0

(1, ??)
?

?

?

f ( x)

极小值

极大值

而 f ( x1 ) ? e

a(?

a?2 ) a

[(?

a?2 a(? ) 2( a ? 2) a?2 2 a?2 ) ?( )] ? e a ? 0 ,符合题意 a a a2

15

综上, a 的取值范围是 (??, ?2) 20.(共 13 分)

(0, ??)

解: (Ⅰ) “好位置”有: (1,2),(1,3),(2,1),(3,1) (Ⅱ)因为对于任意的 i ? 1, 2,3, 4,5 , c(i) ? 3 ;

5 , 2 5 当 ai , j ? 0 时, | 5ai , j ? c(i ) |? c(i ) ? ; 2 因此若 (i, j ) 为“好位置” ,
所以当 ai , j ? 1 时, | 5 ? c(i ) |? 5 ? 3 ? 则必有 ai , j ? 1 ,且 5 ? r ( j ) ?

5 ,即 r ( j ) ? 3 2

设数表中共有 n(n ? 15) 个 1 ,其中有 t 列中含 1 的个数不少于 3 , 则有 5 ? t 列中含 1 的个数不多于 2 , 所以 5t ? 2(5 ? t ) ? n ? 15 , t ?

5 , 3

因为 t 为自然数,所以 t 的最小值为 2 因此该数表中值为 1 ,且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过 3 ? 2 ? 6 所以,该数表好位置的个数不少于 15 ? 6 ? 9 个 而下面的 5 ? 5 数表显然符合题意 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1

此数表的“好位置”的个数恰好为 9 综上所述,该数表的“好位置”的个数的最小值为 9 (Ⅲ) 当 (i, j ) 为“好位置”时,且 ai , j ? 1 时, 则有 | m ? c (i ) |?

m m ,所以 c (i ) ? , 2 2
*

注意到 m 为奇数, c(i) ? N ,所以有 c(i ) ? 同理得到 r ( j ) ?

m ?1 2

m ?1 2

当 (i, j ) 为“好位置” ,且 ai , j ? 0 时,
16

则 | m ? c (i ) |?

m m ,则必有 c (i ) ? , 2 2 m ?1 2

注意到 m 为奇数, c(i) ? N* ,所以有 c(i ) ? 同理得到 r ( j ) ?

m ?1 2

因为交换数表的各行,各列,不影响数表中“好位置”的个数, 所以不妨设 c(i ) ?

m ?1 m ?1 , 0 ? i ? p, c(i) ? , p ?1 ? i ? m 2 2 m ?1 m ?1 r( j) ? , 0 ? j ? q, r ( j ) ? , q ?1 ? j ? m 2 2

其中 0 ? p, q ? m , p, q ? N 则数表 A 可以分成如下四个子表

A1 A2

A3 A4

其中 A1 是 p 行 q 列, A3 是 p 行 m ? q 列, A2 是 m ? p 行 q 列, A4 是 m ? p 行 m ? q 列 设 A1 , A2 , A3 , A4 中 1 的个数分别为 x1 , x2 , x3 , x4 则 A1 , A2 , A3 , A4 中 0 的个数分别为 pq ? x1 , q(m ? p) ? x2 ,

p(m ? q) ? x3 ,(m ? p)(m ? q) ? x4
则数表 A 中好位置的个数为 x1 ? (m ? p)(m ? q) ? x4 个

m ?1 m ?1 , x3 ? x4 ? (m ? q) ? 2 2 m ?1 m ?1 所以 x1 ? x4 ? p ? ? (m ? q) ? 2 2


x1 ? x3 ? p ?

所以 x1 ? (m ? p)(m ? q) ? x4 ? x1 ? x4 ? (m ? p)(m ? q) ? p ? 而

m ?1 m ?1 ? (m ? q) ? 2 2

m ?1 m ?1 ? (m ? q) ? 2 2 m ?1 m ?1 ? m2 ? pm ? qm ? pq ? p ? ? (m ? q) ? 2 2 2 m ?1 m ?1 m ?m ? p? ? q? ? pq ? 2 2 2 2 m ?1 m ? 1 m ? 1 m2 ? m ? (p ? )( q ? )? ? 2 2 4 2 2 m ?1 m ? 1 m ? 2m ? 1 ? (p ? )(q ? )? 2 2 4 m ?1 m ?1 显然当 ( p ? )(q ? ) 取得最小值时,上式取得最小值, 2 2 (m ? p)(m ? q) ? p ?

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因为 0 ? p, q ? m ,所以

m ?1 m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 m ?1 m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 )( q ? )? ? (m ? )(0 ? )? 2 2 4 2 2 4 2 2 m ?1 m ? 1 m ? 2m ? 1 m ?1 m ? 1 m ? 2m ? 1 (p ? )( q ? )? ? (0 ? )( m ? )? 2 2 4 2 2 4 m ?1 当 p ? m 时,数表 A 中至少含有 m ? 个1, 2 m ?1 m ?1 而 m? ,所以 q 至少为 2 ? m ? (m ? 1) ? 2 2 m ?1 m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 )( q ? )? 此时 ( p ? 2 2 4 2 m ?1 m ? 1 m ? 2m ? 1 ? 2m ? 1 ? (m ? )(2 ? )? 2 2 4 m ?1 当 p ? m ? 1 时,数表 A 中至少含有 (m ? 1) ? 个1 2 m ?1 m ?1 而 (m ? 1) ? ,所以 q 至少为 1 ? m? 2 2 m ?1 m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 )( q ? )? 此时 ( p ? 2 2 4 m ?1 m ? 1 m 2 ? 2m ? 1 ? 2m ? 2 ? [( m ? 1) ? ](1 ? )? 2 2 4 (p ?
下面的数表满足条件,其“好位置”的个数为 2m ? 2

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