高三数学二轮专题复习课件:专题三 第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 _图文

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第1讲 空间几何体的三视图、表面积和体积

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高考定位 1.三视图的识别和简单应用;2.简单几何体的表面积与体积计算,主要 以选择题、填空题的形式呈现,在解答题中,有时与空间线、面位置证明相结合, 面积与体积的计算作为其中的一问.

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真题感悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部
分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如 图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯 眼的木构件的俯视图可以是( )

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解析 由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以 是虚线,结合榫头的位置知选A. 答案 A

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2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2 的平 面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为( )

A.12 2π

B.12π

C.8 2π

D.10π

解析 因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,所以圆

柱的高为 2 2,底面圆的直径为 2 2.所以 S 表面积=2×π×( 2)2+2π× 2×2 2=12π.

答案 B

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3.(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其 余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为 ________.

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解析 连接 AD1,CD1,B1A,B1C,AC,因为 E,H 分别为 AD1,CD1 的中点,所以

EH∥AC,EH=12AC.因为 F,G 分别为 B1A,B1C 的中点,所以 FG∥AC,FG=12AC.

所以 EH∥FG,EH=FG,所以四边形 EHGF 为平行四边形,又 EG=HF,EH=HG,

所以四边形 EHGF 为正方形.又点 M 到平面 EHGF 的距离为12,所以四棱锥 M-EFGH

的体积为13×??? 22???2×12=112.

答案

1 12

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4.(2017·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.

若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表

面积为________. 解析 如图,连接OA,OB,因为SA=AC,SB=BC,SC为球

O的直径,所以OA⊥SC,OB⊥SC.

因为平面SAC⊥平面SBC,平面SAC∩平面SBC=SC,且OA?

平面SAC,所以OA⊥平面SBC.

设球的半径为r,则OA=OB=r,SC=2r,

所以 VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3, 所以13r3=9?r=3,所以球的表面积为 4πr2=36π.
答案 36π

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考点整合 1.空间几何体的三视图
(1)几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正、高平齐、宽相等. (2)由三视图还原几何体:一般先从俯视图确定底面,再利用正视图与侧视图确定 几何体.

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2.空间几何体的两组常用公式
(1)柱体、锥体、台体的表面积公式: ①圆柱的表面积 S=2πr(r+l); ②圆锥的表面积 S=πr(r+l); ③圆台的表面积 S=π(r′2+r2+r′l+rl); ④球的表面积 S=4πR2. (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); ②V 锥体=13Sh(S 为底面面积,h 为高); ③V 球=43πR3.
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热点一 空间几何体的三视图与直观图 【例1】 (1)(2018·兰州模拟)中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形
的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如图所示,则该“堑堵”的侧视 图的面积为( )

A.18 6

B.18 3

C.18 2

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27 2 D. 2
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(2)(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱 侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )

A.2 17

B.2 5

C.3

D.2

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解析 (1)在俯视图Rt△ABC中, 作AH⊥BC交于H. 由三视图的意义,则BH=6,HC=3, 根据射影定理,AH2=BH·HC,∴AH=3 2. 易知该“堑堵”的侧视图是矩形,长为 6,宽为 AH=3 2.故侧视图的面积 S=6×3 2= 18 2.

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(2)由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为 2,底面周长为 16. 画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接 MN,则 MS=2,SN=4.则从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 MS2+SN2= 22+42=2 5.

答案 (1)C (2)B

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探究提高 1.由直观图确定三视图,一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认. 二要熟悉常见几何体的三视图. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应 的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.

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【训练1】 (1)如图,在底面边长为1,高为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平 面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之和为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( )

A.3 2

B.2 3

C.2 2

D.2

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解析 (1)设点P在平面A1ADD1的射影为P′,在平面C1CDD1的射影为P″,如图所示.

∴三棱锥P-BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与△P″CD, 因此所求面积 S=S△P′AD+S△P″CD=12×1×2+12×1×2=2.

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(2)根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 P-ABCD)如图所示,将该四棱锥放入 棱长为 2 的正方体中.由图可知该四棱锥的最长棱为 PD,PD= 22+22+22=2 3.

答案 (1)B (2)B

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热点二 几何体的表面积与体积 考法1 空间几何体的表面积 【例2-1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由
正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多 面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )

A.10

B.12

C.14
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D.16
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(2)(2018·西安模拟)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体 的三视图,则该几何体的表面积为( )

A.20π

B.24π

C.28π

D.32π

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解析 (1)由三视图可画出直观图,该直观图各面内只有两个相同的梯形的面, S 梯=12×(2+4)×2=6,S 全梯=6×2=12.

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(2)由三视图知,该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体, ∵S 圆锥侧=π×3× 32+42=15π,S 圆柱侧=2π×1×2=4π,S 圆锥底=π×32=9π. 故几何体的表面积S=15π+4π+9π=28π. 答案 (1)B (2)C

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探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积:(1)关键是分析三视图确定几何体中各 元素之间的位置关系及度量大小;(2)还原几何体的直观图,套用相应的面积公式. 2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.

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【训练 2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个

圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是(

)

A.17π

B.18π
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C.20π
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D.28π
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(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图右侧曲线为半圆弧,则几 何体的表面积为( )

A.3π+4 2-2 C.32π+2 2-2

B.3π+2 2-2

D.32π+2 2+2

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解析 (1)由题知,该几何体的直观图如图所示,它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体,其表面积是球面面积的78和三个14圆 面积之和,易得球的半径为 2,则得 S=78×4π×22+3×14π×22=17π.

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(2)由三视图,该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱,由对称性,几何体的底面面 积 S 底=π×12-( 2)2=π-2. ∴几何体表面积 S=2(2× 2)+12(2π×1×2)+S 底=4 2+2π+π-2=3π+4 2-2. 答案 (1)A (2)A

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考法2 空间几何体的体积 【例2-2】 (1)(2018·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体
积为( )

A.6

22

B.4

C. 3

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20 D. 3
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(2)由一个长方体和两个14圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ________.

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解析 (1)由三视图知该几何体是边长为 2 的正方体挖去一个三棱柱(如图),且挖去 的三棱柱的高为 1,底面是等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边长为 2.故几 何体体积 V=23-12×2×2×1=6.

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(2)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1,高为 1 的14圆柱体构成. 所以 V=2×1×1+2×14×π×12×1=2+π2. 答案 (1)A (2)2+π2

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探究提高 1.求三棱锥的体积:等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求, 底面放在已知几何体的某一面上. 2.求不规则几何体的体积:常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几 何体以易于求解.

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【训练3】 (1)(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶 点的多面体的体积为________.

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(2)(2018·北京燕博园质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8π-136 C.8π-4

B.4π-136 D.4π+83
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解析 (1)正方体的棱长为 2,以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体,其中

正八面体的所有棱长都是 2.则该正八面体的体积为13×( 2)2×1×2=43.

(2)该图形为一个半圆柱中间挖去一个四面体,∴体积 V=12π×22×4-13×12×2×4×4=8π-136.

答案

4 (1)3

(2)A

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热点三 多面体与球的切、接问题

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【例 3】 (2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.

若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( )

A.4π

B.92π

C.6π

解析 由AB⊥BC,AB=6,BC=8,得AC=10.

D.323π

要使球的体积V最大,则球与直三棱柱的部分面相切,若球与三个侧面相切,

设底面△ABC的内切圆的半径为r. 则12×6×8=12×(6+8+10)·r,所以 r=2.2r=4>3,不合题意. 球与三棱柱的上、下底面相切时,球的半径R最大.
由 2R=3,即 R=32.故球的最大体积 V=43πR3=92π. 答案 B

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【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面 上”,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC-A1B1E1C1, 则球O是长方体ABEC-A1B1E1C1的外接球. ∴体对角线BC1的长为球O的直径. 因此 2R= 32+42+122=13.故 S 球=4πR2=169π.

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【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”试求该几何体 外接球的体积.

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解 该几何体为四棱锥,如图所示,设正方形ABCD的中心为O,连接OP. 由三视图,PH=OH=1, 则 OP= OH2+PH2= 2.又 OB=OC=OD=OA= 2. ∴点 O 为几何体外接球的球心,则 R= 2,V 球=43πR3=832π.

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探究提高 1.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.球与旋转体的组合 通常是作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心, 或“切点”、“接点”作出截面图,把空间问题化归为平面问题. 2.若球面上四点P,A,B,C中PA,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直, 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.

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【训练 4】 (2018·广州三模)三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,AB⊥AC,

PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为( )

A.23π

23 B. 4 π

C.64π

64 D. 3 π

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解析 如图,设 O′为正△PAC 的中心,D 为 Rt△ABC 斜边的中点,H 为 AC 中点. 由平面 PAC⊥平面 ABC.则 O′H⊥平面 ABC.作 O′O∥HD,OD∥O′H,则交点 O 为三 棱锥外接球的球心,连接 OP,又 O′P=23PH=23× 23×2=233,OO′=DH=12AB=2. ∴R2=OP2=O′P2+O′O2=43+4=136.故几何体外接球的表面积 S=4πR2=634π.

答案 D

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1.求解几何体的表面积或体积 (1)对于规则几何体,可直接利用公式计算. (2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积 转换法求解. (3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等 腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用. (4)求解几何体的表面积时要注意S表=S侧+S底.

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2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系,如棱长为 a 的正方体的外接球、内切

球、棱切球的半径分别为

23a,a2,

2 2 a.

3.锥体体积公式为 V=13Sh,在求解锥体体积中,不能漏掉13.

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编后语

? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:
? 一、听要点。
? 一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。
? 二、听思路。
? 思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
? 三、听问题。
? 对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。
? 四、听方法。
? 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字,一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元法; 因式分解法等,掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
? 优等生经验谈:听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学习起来才能够举 一反三,事半功倍。

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