2978qp.con:2017年高三理科数学第一轮复习立体几何(7)二面角

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2012 年高三数学第一轮复习立体几何(7)二面角
考纲要求
理解二面角的定义、理解二面角的平面角的定义,掌握二面角大小的求法.
命题规律
纵观历年高考题,二面角的求法几乎是年年必考内容,多为解答题的第二小问,题目均有一 定难度,主要难点在与找到二面角的平面角,有时利用空间向量的方式解决显得相对简单些.
考点解读
考点 1 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫做二面角的棱;这两个 半平面叫作二面角的面.棱为 l,两个面分别为α 、β 的二面角记为α -l-β . 从二面角的棱上一点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所成的角叫作二面 角的平面角. 考点 2 二面角的平面角求法
求作二面的平面角是解决二面角问题的关键,也是难点,通过前面教学及习题涉及到的 作法有下面三种:
1.定义法:利用二面角的平面角定义,在二面角棱上取一点,过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.
2.三垂线法:利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直,找到二面角的平面角,关键 在找面的垂线.
3.垂面法:作一与棱垂直的平面,该垂面与二面角两半平面相交,得到交线,交线所成 的角为二面角的平面角.
考点突破
考点一、二面角的定义求法
典例 1 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩
形,SD ? 底面 ABCD , AD ? 2 DC ? SD ? 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ?ABM =60°
(I)证明:M 在侧棱 SC 的中点
(II)求二面角 S ? AM ? B 的大小。
解题思路 利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ? AM 交 AM 于点
F ,则点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF ? AM ,则 ?GFB 即为所
求二面角.
解题过程 (I)作 MN ∥ SD 交 CD 于 N,作 NE ? AB 交 AB 于 E , 连 ME 、 NB , 则 MN ? 面 ABCD ,
ME ? AB, NE ? AD ? 2 ,设 MN ? x ,则 NC ?EB x? ,
在 RT?MEB 中, ?MBE ? 60? ? ME ? 3x 。
1

在 RT?MNE 中由 ME2 ? NE2 ? MN 2 ?3x2 ? x2 ? 2
解得 x ?1,从而 MN ? 1 SD ? M 为侧棱 SC 的中点 M. 2
(II):利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B

作 BF ? AM 交 AM 于点 F ,则点 F 为 AM 的中点,过

F 点在平面 ASM 内作 GF ? AM ,GF 交 AS 于 G,

G

连结 AC,∵△ADC≌△ADS,∴AS-AC,且 M 是 SC 的

F

中点,∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴GF∥AS,又∵ F 为 AM 的

中点,∴GF 是△AMS 的中位线,点 G 是 AS 的中点。则 ?GFB

即为所求二面角. ∵ SM ? 2 ,则 GF ? 2 ,又∵ SA ? AC ? 6 ,∴ AM ? 2 2

∵ AM ? AB ? 2, ?ABM ? 600 ∴△ ABM 是等边三角形,∴ BF ? 3

在△ GAB中, AG ? 6 , AB ? 2, ?GAB ? 900 ,∴ BG ? 3 ? 4 ? 11

2

2

2

cos?BFG ? GF 2 ? FB2 ? BG2 ?

1 ? 3 ? 11

2

2

? ?2 ??

6

2GF ? FB

2? 2 ? 3 6

3

2

∴二面角 S ? AM ? B 的大小为 arccos(? 6 ) 3
易错点拨 准确找出二面角的平面角是解决本问题的关键,定义是常用方法,另外,用向量 解法也可。 变式 如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱
形,PA⊥平面 ABCD,?ABC ? 60? ,E,F 分别是 BC,
PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最
大角的正切值为 6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2
点拨 第 1 题容易发现,可通过证 AE⊥AD 后推出 AE ⊥平面 APD,使命题获证,而第 2 题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各 线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S,和 两边 SE 与 SC,进而计算二面角的余弦值。

2

答案 二面角的余弦值为 15 5
考点二、三垂线法求二面角的大小
典例 2 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 A1
ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E1
E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 A
(1)证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ;

D1
D E
F

C1 B1
C B

(2)求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

解题思路 (1)证 CF1//EE1 (2)过二面角 B-FC 1 -C 中半平面 BFC 上的一已知点 B 作另一
半平面 FC1C 的垂线,得垂足 O;再过该垂足 O 作棱 FC1 的垂线,得垂足 P,连结起点与终 点得斜线段 PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线 PB、垂线 BO、射影 OP)。再解直 角三角形求二面角的度数。

解题过程 解法一:(1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1,

连接 A1D,C1F1,CF1,因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD,

所以 CD/=/A1F1,A1F1CD 为平行四边形,所以 CF1//A1D,

A1

又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点,所以 EE1//A1D,

所以 CF1//EE1,又因为 EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 ,E1

A 所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

D1 F1

C1 B1

P

D

C

E

O

F

B

(2)因为 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF

的中点 O,则 OB⊥CF,又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD,所以 CC1⊥ BO,所以 OB⊥平面 CC1F,过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP,则∠OPB 为二面

角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 ,在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△

CC1F,∵

OP CC1

?

OF C1F

∴ OP

?

1 ?2? 2 ,

22 ? 22

2

在 Rt△OPF 中, BP ?

OP2 ? OB2 ?

1?3 ? 2

14 , cos ?OPB ? OP ?

2

BP

2 2 ? 7 ,所以 14 7
2

3

二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为

7
.
7

z

解法二:(1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点,

所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为

A1

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取 AF 的中点 M,

连接 DM,则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD,

以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系, E1

,则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),

A

D1
D E MF

C1 B1

C

y

B

C1 ( 0,2,2 ) ,E (

3 2

,

?1 2

,0 ) ,E1 (

x
3 ,-1,1 ) , 所 以

EE1

?(

3 , ? 1 ,1) , CF 22

?(

3, ?1, 0) , CC1 ? (0,0, 2) FC1 ? (?

3,1, 2) 设平面 CC1F 的法

向量为

n?(

x,

y, 则z)

?? n ?CF ? 0 ?

所以

?? ?

3x ? y ? 0



n ? (1,

3, 0)

,则

??n ? CC1 ? 0

?? z ? 0

n ? EE1 ?

3 ?1? 1 ? 22

3 ?1? 0 ? 0 ,所以 n ? EE1 ,所以直线 EE1 //平面 FCC 1 .

( 2 ) FB ? (0, 2, 0) , 设 平 面

BFC1











n1

?

(x1,

y1,

z1)

,



?? ?

n1

?

FB

?

0

??n1 ? FC1 ? 0





?? ? ???

3x1

y1 ? 0 ? y1 ?2 z1

?

,取
0

n1

? (2,0,

3) ,则 n? n1 ? 2?1?

3 ?0 ? 0?

3 ? 2,

| n |? 1? ( 3)2 ? 2 ,| n1 |? 22 ? 0 ? ( 3)2 ? 7 ,

所以 cos?n, n1?

?

n ? n1 | n || n1

|

?

2 2?

7

?

7 ,由图可知二面角 7

B-FC 1 -C

为锐角,所以二面角

B-FC 1 -C 的余弦值为

7
.
7

易错点拨 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那 么它也和这条斜线垂直.通常当点 P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大 小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。
变式 如图,在四棱锥 P ? ABCD中,底面 ABCD是矩形.

已知 AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60 ? .

(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD所成的角的大小;

4

(Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A的大小.
点拨 本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明 AD⊥平面 PAB 后,容易发 现平面 PAB⊥平面 ABCD,点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点,于是可过点 P 作棱 BD 的垂线,再作平面 ABCD 的垂线,于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而可得 本解法。
答案 (Ⅰ)证明:在 ?PAD中,由题设 PA ? 2, PD ? 2 2 可得
PA2 ? AD2 ? PD2 于是 AD ? PA.在矩形 ABCD中, AD ? AB.又 PA ? AB ? A ,
所以 AD ? 平面 PAB. (Ⅱ)证明:由题设,BC // AD,所以 ?PCB(或其补角) 是异面直线 PC 与 AD所成的角,在 ?PAB中,由余弦定理


PB ? PA2 ? AB2 ? 2PA? AB?cosPAB ? 7 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB, PB ?平面 PAB, 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 ?PBC是直角三角形,故 tan PCB ? PB ? 7
BC 2

所以异面直线 PC 与 AD所成的角的大小为 arctan

7
.

2

(Ⅲ)解:过点 P 做 PH ? AB于 H,过点 H 做 HE ? BD于 E,连结 PE 因为 AD ? 平面 PAB, PH ? 平面 PAB,所以 AD ? PH .又 AD ? AB ? A , 因而 PH ?平面 ABCD,故 HE 为 PE 再平面 ABCD 内的射影.由三垂线定理可知, BD ? PE,从而 ?PEH 是二面角 P ? BD ? A的平面角。由题设可得,
PH ? PA? sin 60? ? 3, AH ? PA? cos60? ? 1,

BH ? AB ? AH ? 2, BD ? AB2 ? AD2 ? 13,

HE ? AD ? BH ? 4

BD

13

于是再 RT?PHE中, tan PEH ? 39 所以二面角 P ? BD ? A的大小为 arctan 39 .

4

4

综合突破
求二面角与空间向量结合考查
典例 3 如图,在五面体 ABCDEF 中,FA ? 平面 ABCD, AD//BC//FE,AB ? AD,M 为 EC 的中点,
1
AF=AB=BC=FE= AD
2
(I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小;
(II) 证明平面 AMD ? 平面 CDE;

5

(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。
解题思路 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量这一工具解决。异面直线

BF 与 DE 所成的角即为 BF 与 DE 所成的角;证明面面垂直即证两个平面的法向量垂直,
求二面角即为两个平面的法向量垂直所成的角。两个向量所成角公式:

cos ? a,b ?? | a.b | | a |.| b |

解题过程 如图所示,建立空间直角坐标系,以点 A 为坐标原点。设 AB ? 1,依题意得

B?1,0,0?, C?1,1,0?,

D?0,2,0?,

E ?0,1,1?,

F?0,0,1?,M?? 1 ,1,1 ??.
?2 2?
(I) 解:BF ? ??1,0,1?, DE ? ?0,?1,1?,
于是cos BF,DE ? BF ? DE ? 0 ? 0 ?1 ? 1 . BF DE 2 ? 2 2

所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 600 .

(II)证明:由AM ? ?? 1 ,1,1 ??,CE ? ??1,0,1?,AD ? ?0,2,0?,可得CE ? AM ? 0 ,
?2 2?

CE ? AD ? 0.因此,CE ? AM,CE ? AD.又AM ? AD ? A,故CE ? 平面AMD.

而CE ? 平面CDE,所以平面AMD ? 平面CDE.

(III) 解:设平面CDE的法向量为u ? (x,y,z),则???u ? CE ? 0, ??u ? DE ? 0.

于是?????

x y

? ?

z z

? ?

0,令x 0.

?

1,可得u

?

(1,1,1).

又由题设,平面 ACD 的一个法向量为 v ? (0,0,1).

所以,cos u,v ? u ? v ? 0 ? 0 ?1 ? 3 . u v 3 ?1 3

快乐训练

1、正方形 ABCD-A1B1C1D1 中,二面角 B-A1C-A 的大小为___

_;

2、将∠A 为 60°的棱形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使 A、C 的距离等于 BD,则二面角 A-BD-C

6

的余弦值是

__;

3、正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中对角线 BD1=8,BD1 与侧面 B1BCC 所成的为 30°,则二

面角 C1—BD1—B1 的大小为____

__;

4、从点 P 出发引三条射线 PA、PB、PC,每两条的夹角都是 60°,则二面角 B-PA-C 的余

弦值是___

___;

5、二面角α - l -β 的平面角为 120°,A、B∈ l ,AC ? α,BD ? β,AC⊥ l ,BD⊥ l ,若

AB=AC=BD=1,则 CD 的长___

___;

6、ABCD 为菱形,∠DAB=60°,PD⊥面 ABCD,且 PD=AD,则面 PAB 与面 PCD 所成

的锐二面角的大小为___

___。

7、空间三条射线 CA、CP、CB,∠PCA=∠PCB=600,∠ACB=900,

P D

求二面角 B-PC-A 的大小。

EA

C

α

FB

8、如图:Rt∠ABC 中,斜边 AB 在平面α 内,C ? α ,AC、BC 与
α 所成角分别为 450 和 300,求平面 ABC 与α 所成角。 A

C

D

α

H

B

提高训练

1 、 P 是 二 面 角 ? ? AB ? ? 的 棱 AB 上 一 点 , 分 别 在 ? , ? 上 引 射 线 PM 、 PN , 若

?BPM ? ?BPN ? 45o , ?MPN ? 60 o ,则二面角? ? AB ? ? 的大小为( )

A. 30 o

B. 45 o

C. 60 o

D. 90 o

2、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中二面角 A ? C1D1 ? A1 的大小为



7

3、在一个 45 o 的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成 45 o ,则此直线与二面角的

另一个面所成的角为



4、如图,立体图形 V-ABC 的四个侧面是全等的正三角形,

则二面角 V-AB-C 的度数为( )

A. arccos1

B. arccos2

A

3

3

V

O

B

C. arccos 3

D. arccos1

3

6

C

5、如图,若 P 为二面角 M-l-N 的面 N 内一点,PB⊥l,B 为垂足,

A 为 l 上一点,且∠PAB=α,PA 与平面 M 所成角为β,二面角 M-l-N

的大小为γ,则有 ( )

A sinα=sinβsinγ

B sinβ=sinαsinγ

C sinγ=sinαsinβ

D 以上都不对

M

6、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=a,

∠ABC=30°,求二面角 P-BC-A 的大小。

P N
B lA

7、过正方形 ABCD 所在平面外一点 P 作 PA ? 平面 ABCD,设 PA=AB= a ,求平面 PAB 与平面
PCD 所成二面角的大小。

P
8、如图所示,已知四棱锥 P-ABCD,PB ? AD,侧面
PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,侧

面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120 o 。
求二面角 A-PB-C 的大小。

D A

C B

超越训练 1、如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求:(1)面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的大小; (2)二面角 C1—BD—C 的正切值。
8

D
1
A
1
D
A

C
1
B
1
C
B

2、如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,平面 ABC ? 侧面 A1ABB1 . (Ⅰ)求证: AB ? BC ; (Ⅱ)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为? ,二面角 A1 ? BC ? A
的大小为? ,试判断? 与? 的大小关系,并予以证明.

3、如图所示,多面体 EF ? ABCD 中, ABCD 是梯形, AB / /CD ,

ACFE 是 矩 形 , 平 面 ACFE ? 平 面 ABCD ,

AD ? DC ? CB ? AE ? a , ?ACB ? ? 。

E

2

(1)求证: BC ? 平面 ACFE ;

D

(2)若 M 是棱 EF 上一点, AM / / 平面 BDF ,求 EM ;

(3)求二 面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值。

A

F
C B

4、 如图,在六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,
四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,

DD1 ? 平面 ABCD, DD1 ? 2 。

AA

(1) 求证: A1C1 与 AC 共面, B1D1 与 BD 共面;

D1 A1
D

C1 B1
C B

(2) 求证:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1BDD1 ;

(3) 求二面角 A ? B1B ? C 的大小(用反三角函数表示)。

9


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