高中数学必修四向量知识点

向量知识点总结
一、向量的概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量; (2)数量:只有大小,没有方向的量; (3)有向线段的三要素:起点、方向、长度; (4)零向量:长度为 0 的向量; (5)单位向量:长度等于 1 个单位的向量; (6)平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行; (7)相等向量:长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质: ①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ; ③a ?0 ? 0?a ? a 。 ⑸坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ?b ? ? x 1? x 2 y , 1 ?y 三、向量减法运算 ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量; ⑵坐标运算: 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ?b ? ? x 1?x 2 y , 1 ?y 设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为
2 2

?

?

?

?

C a
?

?。

?
b

?,

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? x1 , y1 ?



? x2 , y2 ?

, 则

? ? ?? x1

x ? ,2 y1

。 y2 ??

四、向量数乘运算 ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a ; ①

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当

? ? 0 时, ? a ? 0 ;
⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b ; ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? ;
1

?

?

五、向量共线定理 向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a ;

?

?

b b ?0 设 a ? ? x1 , y1 ? , 其中 b ? 0 , 则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时, 向量 a 、 b ? ? x2 , y2 ? ,
共线; 六、平面向量基本定理

?

?

如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只 有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量 的一组基底) 七、分点坐标公式 设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时, 点 ? 的坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?; 1? ? ? ? 1? ?

八、平面向量的数量积 ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 ;

?

?

a ?b ? a b ; ⑵性质: 设 a 和 b 都是非零向量, 则① a ? b ? a ? b ? 0 . ②当 a 与 b 同向时,
2 当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ? 2

a ? a .③ a ? b ? a b ;

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ; ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ,
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ? 2

?

?

? ?

?

?

x2 ? y 2 ;

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ; 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

cos ??

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 x12 ? y 12 x 2 ?y

2 2



2


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