上海市行知中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题word版含答案_图文

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上海市行知中学 2014—2015 学年度第一学期期中考试 高二年级
题类 得分值 一、填空题:(本题共 14 小题,每小题 4 分,满分 56 分) 1.若 P 1P ? ? 一 二 19

数学试卷
20 2l 22 23 总分

??? ?

???? ? ??? ? 2 ???? P ? ? PP PP2 ,设 P 1 2 1 ,则 ? 的值为 5



2 .已知 { an } 是等比数列,则方程组 ?

? a1 x ? a2 y ? a4 的解的个数 ?a5 x ? a6 y ? a8

是 。 3.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3 ),则行列式

sin ? 1

tan ? cos ?

的值为



CA ? CA ?AB = 4. 等边△ABC 边长为 1, 则 AB ?BC ? BC ?
5. 向量 ? ? 经矩阵 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

。 。

? x? ? y?

?0 1? ? 2? 则x? y ? ? 变换后得到矩阵 ? ? , ?1 0? ? 3?

6.执行如图所示的程序框图,若输入 P 的值是 7,则输出 S 的值 是 。 7.如果 lim

3n 1 ? ,那么 a 的取值范围是 x ?? 3n ?1 ? ( a ? 1) n 3
n



8.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)...(n ? n) ? 2 ? ,从“ k 到 k ? 1 ”左端 1? 3...(2n ? 1) ” 需增乘的代数式为 。

9.已知等差数列{ an }前 n 项和为 S n ,若 OB ? a1007 OA ? a1008 OC ,且 A,B,C 三点共线 (不过原点),则 S 2014 = 。

??? ?

??? ?

????

10.已知 a 与 b 均为非零向量,给出下列命题:① (a ? b) ? (a ) 2 ?(b) 2 ;

?

?

? ?

?

?

② | a |?a ? (a ) 2 ;

? ?

?

c ? b?c ,则 a ? b ; ③若 a ?
上述命题中,真命题的个数是

? ?

??

?

?

④ (a? c )? b ? a ?(c? b) , 。

? ? ?

? ??

11.在等差数列{ an }中, a1 ? 13 ,前 n 项和为 S n ,且 S3 ? S11 ,则使得 S n 最大的正整数 n 为 。

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12.已知 A,B,C,D 四点的坐标分别为 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),D(2,0),P 是线 段 CD 上的任意一点,则 AP ?BP 的最小值是 13.记

??? ? ??? ?



n 1 1 1 ? ? ... ? a1 a2 an

为数列{ an }的调和平均值, S n 为自然数列{n}的前 n 项和,若 H n

Hn = 。 x ?? n 5 9 13 ? 1 ? 10 15 20 ? 5 ? 9 15 21 27 14.给出 30 行 30 列的数表 A: ? ? 13 20 27 34 ? ... ... ... ... ? ?117 150 183 216 ?
为数列{ S n }的调和平均值,则 lim

... ... ... ... ... ...

117 ? ? 150 ? 183 ? ? ,其特点是每行每列 216 ? ... ? ? 1074 ? ?

都构成等差数列,记数表主对角线上的数 l,10,21,34,…,1074 按顺序构成数列{ bn }, 存在正整数 s、t(1<s<t)使 b1,bs,bt 成等差数列,则满足条件的一组(s,t)的值是 二、选择题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 15.如果 lim(1 ? 2 x) 存在,那么 x 的取值范围是(
n x ??



)

(A) 0≤x<1 (C) 0≤x≤1

(B) 0< x <1 (D) 0< x ≤1

16.已知 m , n 是夹角为 60°的单位向量,则 a ? 2m ? n 和 b ? ?3m ? 2n 的夹角为( (A)30° (B)60° (C)90° (D)120°

??

?

?

?? ?

?

??

?

)

17.过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ? x AB , AE ? y AC , xy≠0,则

????

??? ?

??? ?

????

1 1 ? 的值为( x y

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 18.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体 下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱 长为 2,且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中 正方体的个数至少是( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,每题 解题过程写在该题的答题框内,否则不计分。 19.(本题满分 l2 分,共 2 小题,第(1)题满分 6 分,第(2)题满分 6 分)

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1 n 3 2 已知数列{ an }满足 a1 =1,且三阶行列式 0 an ?1 n ? 1 ? 2n ? 2n ,其中 n ? N * , 0 an n
(1)求证:数列{

an }为等差数列; n

(2)求数列{ an }的通项.

20.(本题满分 l4 分,共 2 小题,第(1)题满分 7 分,第(2)题满分 7 分) 在一次人才招聘会上,有 A、B 两家公司分别开出它们的工资标准:A 公司允诺第一年月工 资为 1500 元, 以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元; B 公司允诺第一年月工资为 2000 元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%;设某人年初被 A,B 两家公司同时 录取,试问: (1)若该人分别在 A 或 B 公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少; (2)该人分别在 A 或 B 公司连续工作 10 年,仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其 他因素),该人应该选择哪家工司,为什么?

21.(本题满分 l4 分,共 2 小题,第(1)题满分 5 分,第(2)题满分 9 分) 已知向量 m =(1,1),向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与 q =(1,0)共线,向量 p ? ? 2 cos

??

?

??

?? ? 3? ,且 m ? n ? ?1 。 4

?
?

?

? ?

? ?

C ? , cos A ? ,其中 A、C 为△ABC 的内角, 2 ?

且 A、B、C 依次成等差数列,求| n ? p |的取值范围.

? ? ?

22.(本题满分 l6 分,共 3 小题,第(1)题满分 4 分,第(2)题满分 6 分,第(3)题满分 6 分) 已 知 非 零 向 量 列 { an } 满 足 : a1 ? ( x1 , y1 ) , an ? ( xn , yn ) ? ( n ? 2, n ? N ) ,
*

?? ?

??

?? ?

1 ( xn ?1 ? yn ?1 , xn ?1 ? yn ?1 ) 2

(1)证明:数列{ | an | }是等比数列; (2)向量 an ?1 与 an 的夹角; (3)设 a1 =(1,2),将 a1 , a2 , a3 … an ,…中所有与 a1 共线的向量按原来的顺序排成一列, 记作 b1 , b2 , b3 … bn ,…,令 OBn = b1 + b2 + b3 +…+ bn ,O 为坐标原点,求点 Bn 的坐标.

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23.(本题满分 l8 分,共 3 小题,第(1)题满分 4 分,第(2)题满分 6 分,第(3)题满分 8 分)

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已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? a( a ? 3) , an ?1 ? S n ? 3n , 设

bn ? S n ? 3n , n ? N * .
(1)求证:数列{ bn }是等比数列; (2)若 an ?1 ? an , n ? N * ,求实数 a 的最小值; (3)当 a=4 时,给出一个新数列{ en },其中 en = ?

? 3, n ? 1 ,设这个新数列的前 n 项和为 Cn, ?bn , n ? 2

若 Cn 可以写成 tp(t,p∈N*且 t>1,p>1)的形式,则称 Cn 为“指数型和” .问{Cn}中的项是否 存在“指数型和” ,若存在,求出所有“指数型和” ;若不存在,请说明理由.

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