yun681:高中数学 情境互动课型 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教版必修4_图文

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角

数量积的定义
已知两个非零向量 a与 b,我们把数量 a b cos? 叫做 a与 b的数量积(或内积).
记作a ? b 即a ?b ? a b cos?,
其中θ 是 a与b 的夹角.
规定:零向量与任一向量的数量积为0.

我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的 坐标来运算,那么怎样用 a和 b的 坐 标 表 示 a· b呢 ?

1.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数 量积的运算.(重点) 2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点 间的距离公式.(重点) 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量 积判断两个平面向量的垂直关系.(重点、难点)

探究点1 平面向量数量积的坐标表示

已知两个向量a = (x1, y1), b = (x2, y2), 如 何 用 a与 b的 坐 标 表 示 a ? b呢 ?

y A(x1,y1)

B(x2,y2) a
bj

oi

x

提示:

因为a ? x1i ? y1 j ,b ? x2i ? y2 j ,

所以a ? b ? (x1i ? y1 j) ? (x2i ? y2 j)

2

2

? x1x2 i ? x1y2 i ? j ? x2y1i ? j ? y1y2 j

? x1x2 ? y1y2.

平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a =(x1, y1), b=(x2 , y2),则
a ? b ? x1x2 ? y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 根据平面向量数量积的坐标表示,向量的数量积 的运算可转化为向量的坐标运算.

设 a ? (x, y),能 否 用 向 量 的 坐 标 表 示 a ? 提示:
因为 a 2 ? a ? a ? x2 ? y2 ,
所以 a ? x2 ? y2 .

向量的模

设 a ? (x, y),则 a ?

x2

?

y2或

2
a

?

x2

?

y2.

设A(x1, y1),B(x2 , y2 ),

则 AB ? (x2 ? x1)2 ?(y2 ? y1)2 .

设a,b 是非零向量,a ?(x1, y1),b ? (x2, y2),
能否用向量的坐标表示两向量垂直? 提示:
a ? b ? a?b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0.

【即时训练】
已知a ? (?3, 4), b ? (5, 2), 求 | a |,| b |, a ? b.
答案 : | a |? 5,| b |? 29,a ?b=-7.

例1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断

△ABC的形状,并给出证明.

y

C(-2,5)
解 :因为AB =(2 - 1,3 - 2)=(1,1),

AC =(-2 - 1,5- 2)=(-3,3), 所以AB AC = 1×(-3)+1×3 = 0, 所以AB⊥AC. 所以三角形ABC是直角三角形.
两个非零向量的数量积是否为 零是判断相应的两条线段或直 线是否垂直的重要方法之一

B(2,3) A(1,2)

0

x

【变式练习】
已知A(1,2), B(4, 0), C(8,6), D(5,8),则四 边形ABCD的形状是 矩形 .

探究点2 平面向量夹角的坐标表示

设 a ?( x1, y1 ), b ? (x 2 , y 2 ), 且 a与 b夹 角 为 ?(0 ? ? ? 180 ), 能否用向量的坐标表示两向量的夹角?

提示:

cos? ? a ?b ?

x1x2 ? y1 y2

.

ab

x12 ? y12 ? x22 ? y22

其中

x12

?

y12

? 0, x22

?

y

2 2

? 0.

【即时训练】
已知a ? (1, 3),b ? (?2, 2 3),
求a与b夹角? . 【解析】∵cos?= a ? b ? 4 ? 1,
a b 2?4 2
?? ? 60 .

例2.设a ? (5, ?7),b ? (?6, ?4),求a ? b,a与b间的夹角
?(精确到1 ).
【解析】 a ?b ? 5? (?6) ? (?7)? (?4) ? ?30 ? 28 ? ?2.
a ? 52 ?(? 7)2 ? 74, b ? (?6)2 ? (?4)2 ? 52,
cos? ? ?2 ? ?0.03.
74 ? 52 利用计算器得
? ? 92 .

【变式练习】
已知 a =(1,2), b =(1,λ),求满足下列条件的实数
λ 的取值范围.
(1) a 与 b 的夹角为 90°; (2) a 与 b 的夹角为锐角.
【解题关键】由向量的夹角公式,可转化为判定
a · b 的符号.

【解析】 (1)设 a 与 b 的夹角为 θ.
| a |= 12+22= 5,| b |= 1+λ2,
a ·b =(1,2)·(1,λ)=1+2λ. ∵ a ⊥ b ,∴ a ·b =0,∴1+2λ=0,∴λ=-12.
(2)∵ a 与 b 的夹角为锐角,
∴cos θ>0,且 cos θ≠1,∴ a ·b >0 且 a 与 b 不同向. 因此 1+2λ>0,∴λ>-12.又 a 与 b 共线且同向时,λ=2. ∴ a 与 b 的夹角为锐角时,λ 的取值范围为????-21,2????∪(2,
+∞).

【方法规律】 1.两非零向量夹角 θ 的范围满足 0°≤θ≤180°,
因此,仅依靠 cos θ 的正负不能判定 θ 为锐角或钝角. 2.利用数量积求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示求出这两个
向量的数量积;
(2)利用| a |= x2+y2计算出这两个向量的模;
(3)由公式 cos θ= x21x+1xy221+·yx1y22+2 y22直接求出 cos θ 的值.
(4)在 0°≤θ≤180°内,由 cos θ 的值求角 θ.

【互动探究】
若本例条件不变,如何求 a 与 b 的夹角为钝角 时 λ 的取值范围?
【解析】 因为 a 与 b 的夹角 θ 为钝角,
所以 cos θ<0 且 cos θ≠-1,
所以 a ·b <0 且 a 与 b 不反向. 由 a ·b <0 得 1+2λ<0,故 λ<-12, 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向.
所以 λ 的取值范围为????-∞,-12????.

1.已知M→N=(3,4),则|M→N|等于( D )

A.3

B.4

C. 5

D.5

2. (2016·全国卷Ⅲ)已知向量

, ,则∠ABC= ( ) BA

=

? ? ? ?

1 2

,

3

? ?

2

? ?

?

BC

=

? ?

?

3 2

,

1 2

? ? ? ?

A

?

?

?

?

A.30° B.45° C.60° D.120°

3.已知 a ? 1, b ? 2且(a ? b)与a垂直,

则a与b的夹角是( D )。 A.60 B.30 C.135

D.45

4.已知 a ? 2, b ? 1,且a与b的夹角是 ? ,
3 那么向量a-b的模是( B )。

A.2 B. 3 C.6 D.12

5.(2015·浙江高考) 已知 e1 ,e2 是平面单位向量,



e1·e2

?

1 2

.若平面向量

b

满足

b·e1

? b·e2

?1,则

23

b= 3.

6.已知A(1,0),B(0,1),C(2,5), 求(1)2AB ? AC的模. (2) cos ?BAC.
【解析】(1)AB ? (?1,1),AC ? (1,5), 所以2AB ? AC ? 2(?1,1) ? (1,5) ? (?1,7). 即 2AB ? AC ? (?1)2 ? 72 ? 5 2. (2) cos ?BAC ? AB ? AC ? ?1?1?1? 5 ? 2 13 .
AB AC 2 ? 26 13

7.已知 a ?(1,2),b ?(? 3,2),k为何值时: (1)k a ? b与 a ? 3b垂直? (2)k a ? b与a ? 3b平行? 平行时,它们是同向还是反向?
解:k a ? b ? k(1, 2) ? (?3, 2) ? (k ? 3, 2k ? 2),
a ? 3b ?(1,2)? 3(?3, 2) ? (10, ?4).

因为(k a ? b)?(a ? 3b),
所以(k a ? b) ? (a ? 3b) ? 0. 即10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 0, 解得k ? 19. 所以k ? 19时,k a ? b与a ? 3b垂直.

(2)由10(2k ? 2) ? 4(k ? 3) ? 0, 解得k ? ? 1, 3
所以当k ? ? 1时,k a ? b与a ? 3b平行. 3
此时k a ? b ? ? 1 (a ? 3b). 3
所以k a ? b与a ? 3b方向相反.
注意反向时系数 为负数,正向时
系数为正数

数量 积的 坐标 表示

1.知识结构 向量数量积公式
两点间距离公式
向量的模、夹角、垂直公式

2.三个重要公式 向量模公式:设 a ? (x1, y1), 则 a ? x12 ? y12



两点间距离公式:若 A(x1, y1), B(x2, y2 ),





则 AB ? (x2 ? x1)2 ? (y2 ? y1)2







向量的夹角公式:设两非零向量

a ? (x1, y1), b ? (x2, y2 ),a与b的夹角为?,

则cos? ? a b ?

x1x2 ? y1y2

ab

x12 ? y12

x

2 2

?

y

2 2

有谦和、愉快、诚恳的态度,而同时又加上忍耐 精神的人,是非常幸运的.
——塞涅卡


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