2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练:第四章 三角函数、解三角形 4-5 Word版


4-5

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) π π 2 1 1.已知 tan(α+β)= ,tan?β - ?= ,那么 tan?α + ?等于( 5 4? 4 4? ? ? 13 A. 18 3 C. 22 13 B. 22 1 D. 6 )

π π 【解析】 因为 α+ +β- =α+β, 4 4 π π 所以 α+ =(α+β)-?β- ?, 4 4? ? π π 所以 tan?α+ ?=tan?(α+β)-?β- ?? 4? 4 ?? ? ? ? π tan(α+β)-tan?β- ? 4? 3 ? = = . π 22 1+tan(α+β)tan?β- ? 4? ? 【答案】 C 2.(2016· 山师附中模拟)若 θ∈? 3 A. 5 C. 7 4 4 B. 5 3 D. 4 π π? 3 7 ,则 sin θ 等于( , ,sin 2θ = 8 ?4 2? )

3 【解析】 由 sin 2θ= 7和 sin2θ+cos2θ=1 得 8 2 3 7 ?3+ 7? , (sin θ+cos θ)2= +1=? ? 8 ? 4 ? 3+ 7 π π 又 θ∈? , ?,∴sin θ+cos θ= . 4 ?4 2? 3- 7 3 同理,sin θ-cos θ= ,∴sin θ= . 4 4 【答案】 D 1+cos 2α +8sin2α 3.(2016· 开封模拟)已知 tan α =4,则 的值为( sin 2α A.4 3 65 B. 4 )

C.4 【解析】

2 3 D. 3 1+cos 2α+8sin2α 2cos2α+8sin2α = ,∵tan α=4, sin 2α 2sin αcos α

2+8tan2α 65 ∴cos α≠0,分子、分母都除以 cos2α得 = . 4 2tan α 【答案】 B 3π cos?α - ? 10 ? π ? 4.(2015· 重庆)若 tan α =2tan ,则 =( 5 π? ? sin α - 5? ? A.1 C.3 B.2 D.4

)

【解析】 根据三角函数的诱导公式和两角和、差的正弦公式求解. 3π π π π ∵cos?α- ?=cos?α+ - ?=sin?α+ ?, 10 ? 5 2? 5? ? ? ? π π π sin?α+ ? sin αcos +cos αsin 5 5 5 ? ? ∴原式= = π π π sin?α- ? sin αcos -cos αsin 5? 5 5 ? π 5 = . π tan α-tan 5 tan α+tan π 2tan +tan 5 π 又∵tan α=2tan ,∴原式= 5 π 2tan -tan 5 【答案】 C π π 3 5.已知 cos?x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 3 ? 6? ? 3? 2 3 A.- 3 C.-1 2 3 B.± 3 D.±1 ) π 5 =3. π 5

π 1 3 【解析】 cos x+cos?x- ?=cos x+ cos x+ sin x 2 2 ? 3? 3 3 3 1 = cos x+ sin x= 3? cos x+ sin x? 2 2 2 2 ? ? π = 3cos?x- ?=-1. ? 6? 【答案】 C sin250° 6.(2016· 兰州模拟) =________. 1+sin 10°

【解析】 =

sin250° 1-cos 100° = 1+sin 10° 2(1+sin 10°)

1-cos(90°+10°) 1+sin 10° 1 = = . 2(1+sin 10°) 2(1+sin 10°) 2 1 2

【答案】

7.已知 α、β 均为锐角,且 cos(α +β)=sin(α-β),则 tan α =________. 【解析】 根据已知条件: cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β, cos β(cos α-sin α)+sin β(cos α-sin α)=0, 即(cos β+sin β)(cos α-sin α)=0. 又 α、β为锐角,则 sin β+cos β>0, ∴cos α-sin α=0,∴tan α=1. 【答案】 1 8. 3tan 12°-3 =________. (4cos212°-2)sin 12°

3sin 12° -3 cos 12° 【解析】 原式= 2(2cos212°-1)sin 12° 1 3 2 3? sin 12°- cos 12°? 2 ?2 ? cos 12° 2cos 24°sin 12° 2 3sin(-48°) -2 3sin 48° = 2cos 24°sin 12°cos 12° sin 24°cos 24° -2 3sin 48° =-4 3. 1 sin 48° 2

= = =

【答案】 -4 3 9.(2015· 北京)已知函数 f(x)= 2sin (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间-π ,0]上的最小值. 【解析】 (1)由题意得 f(x)= 2 2 sin x- (1-cos x) 2 2 x x x cos - 2sin2 . 2 2 2

π 2 =sin?x+ ?- ,所以 f(x)的最小正周期为 2π. ? 4? 2 (2)因为-π≤x≤0,所以- 3π π π ≤x+ ≤ . 4 4 4

π π 3π 当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4

所以 f(x)在区间-π,0]上的最小值为 3π 2 f?- ?=-1- . 2 ? 4 ? α α π 6 10.已知 α∈? ,π ?,且 sin +cos = . 2 2 2 ?2 ? (1)求 cos α 的值; π 3 (2)若 sin(α-β)=- ,β ∈? ,π ?,求 cos β 的值. 5 ?2 ? 【解析】 (1)因为 sin

α
2

+cos

α
2



6 , 2

1 两边同时平方,得 sin α= . 2 又 π 3 <α<π,所以 cos α=- . 2 2

π π (2)因为 <α<π, <β<π, 2 2 π π π 所以-π<-β<- ,故- <α-β< . 2 2 2 3 4 又 sin(α-β)=- ,得 cos(α-β)= . 5 5 cos β=cosα-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =- 4 3+3 3 4 1 ? 3? × + × - =- . 2 5 2 ? 5? 10 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) π 2sin α +sin 2α π 1 11.已知 tan?α + ?= ,且- <α <0,则 等于( 2 4? 2 ? π cos?α - ? 4? ? 2 5 A.- 5 3 10 C.- 10 3 5 B.- 10 2 5 D. 5
2

)

π tan α+1 1 【解析】 由 tan?α+ ?= = , 4 ? 1-tan α 2 ? π 1 10 得 tan α=- .又- <α<0,所以 sin α=- . 3 2 10 故 2sin2α+sin 2α 2sin α(sin α+cos α) = π 2 cos?α- ? (sin α+cos α) 4? ? 2

2 5 =2 2sin α=- . 5

【答案】 A π 1 12.若 α∈?0, ?,且 sin2α +cos 2α = ,则 tan α 的值等于( 4 2? ? A. 2 2 B. 3 3 )

C. 2

D. 3

π 1 【解析】 ∵α∈?0, ?,且 sin2α+cos 2α= , 4 2? ? 1 1 ∴sin2α+cos2α-sin2α= ,∴cos2α= , 4 4 π 1 1 ∴cos α= 或- (舍去),∴α= ,∴tan α= 3. 2 2 3 【答案】 D π π 1 13.(2016· 湖北省七市高三联考)若 tan θ = ,θ ∈?0, ?,则 sin?2θ + ?=________. 2 4? 4? ? ? 2sin θcos θ 2tan θ 4 【解析】 因为 sin 2θ= 2 = = , sin θ+cos2θ tan2θ+1 5 π π 又由 θ∈?0, ?,得 2θ∈?0, ?, 4? 2? ? ? 3 所以 cos 2θ= 1-sin22θ= , 5 π π π 所以 sin?2θ+ ?=sin 2θcos +cos 2θsin 4 4 4? ? 4 2 3 2 7 2 = × + × = . 5 2 5 2 10 【答案】 7 2 10

14.(2015· 湖南)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A= ; 2 (2)求 sin A+sin C 的取值范围. 【解析】 (1)证明:由 a=btan A 及正弦定理, 得 sin A a sin A = = ,在△ABC 中,sin A≠0, cos A b sin B π ? ? 2 +A?.

所以 sin B=cos A,即 sin B=sin?

π π 又 B 为钝角,因此 +A∈? ,π?, 2 ?2 ? π π 故 B= +A,即 B-A= . 2 2 π (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-?2A+ ? 2? ?



π π -2A>0,所以 A∈?0, ?. 2 4? ? π ? ? 2 -2A?

于是 sin A+sin C=sin A+sin?

=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 1 2 9 sin A- ? + . =-2? 4? 8 ? π 2 因为 0<A< ,所以 0<sin A< , 4 2 因此 1 2 9 9 2 sin A- ? + ≤ . <-2? 4? 8 8 ? 2 2 9? . 2 ? ,8?

由此可知 sin A+sin C 的取值范围是?

π 15.(2015· 重庆)已知函数 f(x)=sin? -x?sin x- 3cos2x. ?2 ? (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; π 2π (2)讨论 f(x)在? , ?上的单调性. 3 ? ?6 π 【解析】 (1)f(x)=sin? -x?sin x- 3cos2x ?2 ? =cos xsin x- 3 1 3 3 (1+cos 2x)= sin 2x- cos 2x- 2 2 2 2

π 3 =sin?2x- ?- , 3? 2 ? 2- 3 因此 f(x)的最小正周期为π,最大值为 . 2 (2)当 x∈? π π 2π? ? 6 , 3 ?时,0≤2x- 3 ≤π,从而

π π π 5π 当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增, 3 2 6 12 当 π π 5π 2π ≤2x- ≤π,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 3 12 3

π 5π 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增; ? 6 12 ? 在? 5π 2π? ? 12 , 3 ?上单调递减.


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