排列组合中的区域涂色问题

排列组合中区域涂色问题 排列组合中的区域涂色问题技巧性强,方法灵活多变,一直是选修 2-3 中的教学难点 问题。本文对部分常见区域涂色问题的解题规律做一下探讨。 区域涂色问题,应当从使用多少种颜色入手,分类讨论。再每一类中(若有必要) , 再根据两个不相邻区域是否同色分小类讨论。最后再根据分类加法计数原理求出所有方法 种数。 例 1、用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜 色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种? ① ② ③ ④ 4 分析:当使用 4 中颜色涂色时,方法种数为 A5 ;当使用 3 中颜色时,分两类:①④ 3 同色或者②④同色,方法种数为 2 A5 。可以这样给学生解释:①④同色,相当于①④合并 3 成了一个区域,这样的话原本的四个区域变成了 3 个区域,故涂色方法种数为 A5 。根据 4 3 分类分类加法原理,所有涂色方法总数为 A5 ? 2 A5 。 例 2、 (2003 年全国高考题)如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意,可分为 3 种颜色或 4 中颜色两类。 ①当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色,区域 3 与 5 必须同色, (相当于 5 个区 域合并成了 4 个区域)故有 3 A4 种; 4 A4 种;若区域 3 ②当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色,则区域 3 与 5 不同色,有 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色,有 原理可知满足题意的着色方法共有 4 A4 A4 种,故用四种颜色时共有 2 4 种。最后,由加法 3 A4 A4 +2 4 =24+2 ? 24=72 3 2 1 4 1 5 例 3、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种 颜色, 相邻两个区域涂不同的颜色, 如果颜色可以反复使用, 共有多少种不同的涂色方法? 分析:可把问题分为三类: ①涂四中颜色:四格涂不同的颜色,方法种数为 A54 ; ②涂三种颜色:有且仅两个区域相同的颜色,即只有一组对角小方格涂相同的颜色, 涂法种数为 1 2 2C5 A4 ; ③涂两种颜色:两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 因此,所求的涂法种数为 2 1 2 2 A5 ? 2C5 A4 ? A5 ? 260 A52 , 2 3 1 4 例 4、 (2003 江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻两个区域不 能同色。 分析:依题意只能选用 4 种颜色,要分四类: 4 (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; ⑤ ⑥ ② ① ③ ④ (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A ; 4 (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 所以根据分类加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120 4 4 2 例 5、将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异 色,如果只有 5 种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少? 分析:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,对这五个区域用 5 种颜色涂色, 有多少种不同的涂色方法? A 2S D C B 。 3 ①若恰用三种颜色, ,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 A5 ? 60 种方法。 4 4 ②若恰用四种颜色染色, A、C 同色,有 A5 种染法; D、B 同色也有 A5 种染法,共 4 有 2 A5 ? 240 种方法。 5 ③若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法 例 6、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边,每条边只涂一种颜色 , 且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? ①使用四颜色共有 4 A4 种 3 ②使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有 2 A4 种, 2 A4 种 ③使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有 因此,所求的染色方法数为 4 1 1 2 2 A4 ? C4 C2 A3 ? A4 ? 84 种 例 7、用六种颜色给正四面体 A ? BCD 的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共 顶点的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法? 解: (1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不 3 同,故有 A6 种方法。 (2)若恰用四种颜色涂色,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组 2 4 与组之间不同色,故有 C3 A6 种方法。 1 5 (3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有 C3 A6 种方法。 6 (4)若恰用六种颜色涂色,则有 A6 种不同的方法。 3 2 4 1 5 6 综上,满足题意的总的染色方法数为 A6 ? C3 A6 ? C3 A6 ? A6 ? 4080种。 例 8、四棱锥 P ? ABCD ,用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不 同色,有多少种涂法? 3 P 1 D C A B 5 <=> 4 2 3 解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如图,区域 1、2、3、4 相当于四个侧面, 区域 5 相当于底面;根据共用颜色多少分类: 3 ①若用 3 种颜色,即 1 与 3 同色、2 与 4 同色,此时有 A4 种; 1 4 ②若用 4 种颜色时,1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色,此时有 C2 A4 ; 3 1 4 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 A4 ? C2 A4 ? 72 说明:文中所用例题均来自互联网,经本人改编加工后形成本文。向原 作者致敬。 4

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