动点问题的函数图象

初中数学 编稿老师

动点问题的函数图象 蔡宝霞 一校 杨雪 二校 黄楠 审核 隋冬梅

【考点精讲】
动点问题是中考的常考点,对于解决动点问题中,点动会牵扯到线动、面动,解决这类 题目要“以静制动”,即把动态的问题转化为静态问题来解决,一般方法是抓住变化中的“不 变量”,以不变应万变。而对于动点问题的图象问题的解决,要抓住图形中的关键点,例如 与x轴、y轴的交点,图象上的转折点、图象中与x轴、y轴平行的线等图象。

【典例精析】
例题 1 (贵州贵阳中考)如图,在直径为 AB 的半圆 O 上有一动点 P 从 A 点出发,按 顺时针方向绕半圆匀速运动到 B 点,然后再以相同的速度沿着直径回到 A 点停止,线段 OP 的长度 d 与运动时间 t 之间的函数关系用图象描述大致是( )

(P A)

O

B

d

d

d

d

O

A.

t

O

B.

O

C.

t

O D.

t

思路导航:情境分三段,点 P 在圆周上、在 OB 上,在 AO 上,因此图象分三段,根据 在每一段上线段 OP 的长度 d 随运动时间 t 的变化来确定。 答案:点 P 在圆周上时,d 不随 t 的变化而变化,故第一段图象平行 x 轴,点 P 在 OB 上,d 随 t 的增加而减小,直到 0,故此段图象呈下降趋势,点 P 在 AO 上,d 随 t 的增加而 增大,直到增加到半径的长度,即与第一段图象齐平,故选 A。 点评:先根据运动过程理解函数与自变量的变化规律以及分段情况, 然后对照所给图象 找到满足问题情境变化的规律。 注意弄清函数图象中横轴和纵轴意义, 以及每段图象的起始 点。 例题 2 矩形 ABCD 中,AB=20cm,BC=10cm,有一点 P 沿着矩形从 A 向 B 再向 C 以 2cm/s 的速度移动。 (1)求△ APC 的面积 S 与时间 t 的函数解析式,并指出自变量的取值范围。 (2)当面积为 20cm2 时,求点 P 的位置。
第 1 页 版权所有 不得复制

思路导航:△ APC 的面积为 和 PC 即可。

1 1 AP ? BC 或 AP ? AB ,只要利用含 t 的代数式表示 AP 2 2

?1 ? 2t ?10(0 ? t ? 10) ? ?2 答案:解: (1) S ? ? , 1 ? ? (30 ? 2t ) ? 20(10 ? t ? 15) ? ?2 ?10t (0 ? t ? 10) 化简得: S ? ? 。 ?300 ? 20t (10 ? t ? 15)
(2)当 S=20 时,有 10t=20 或 300-20t=20, 解得 t=2 或 t=14, ∴当点 P 在 AB 上时,2× 2=4cm; 当点 P 在 BC 上时,30-2× 14=2cm, 即当面积 S 为 20cm2 时, P 点的位置在 AB 上距离 A 点 4cm, 或在 BC 上距离 C 点 2cm。 点评:对于该动点的问题,应分情况来讨论,当点 P 在 AB 上或点 P 在 BC 上时解析式 是不一样的,因为三角形的底是变化的,可以用含有 t 的式子表示。

【总结提升】
在平面直角坐标系中,函数图象有以下七种基本形式:















判断函数图象从以下方面: 一、看图象的升降趋势 当函数随着自变量的增加而增加时,图象呈上升趋势,如基本图形②、④、⑤;反之, 呈下降趋势,如基本图形③、⑥、⑦。 二、看图象的曲直 函数随着自变量的变化而均匀变化的,图象是直线,如基本图形①、②、③;函数随着 自变量的变化而不均匀变化的,图象是曲线,如基本图形④、⑤、⑥、⑦。 三、看图象的倾斜程度 图象的倾斜程度反映函数随自变量变化的快慢,直线比较容易比较。 当函数图象是曲线时,如基本图形⑤、⑦,说明函数的变化越来越快;如基本图形④、 ⑥,说明函数的变化越来越慢。 四、如基本图形①,表示函数不随自变量的变化而变化,即函数是一个定值,解题时,容易 忽略。

(答题时间:20 分钟)
一、选择题 1. (黑龙江龙东)如图,爸爸从家(点 O)出发,沿着扇形 AOB 上 OA ? ? AB ?BO 的 路径去匀速散步。设爸爸距家(点 O)的距离为 s,散步的时间为 t,则下列图形中能大致
第 2 页 版权所有 不得复制

刻画 s 与 t 之间函数关系的图象是(



A O
s

B

s

s

s

t O

t O O

t O

t

A

B

C

D

2. (黑龙江绥化)如图,在平面直角坐标系中,长、宽分别为 2 和 1 的矩形 ABCD 的边 上有一动点 P,沿 A→B→C→D→A 匀速运动一周,则点 P 的纵坐标 y 与 P 所走过的路程 s 之间函数关系用图象表示大致是( )
y
2 B P 1 A O C D

y
3 1 1 3

y
3 1 6s O 1 3

y

y

3

3 1

1 6s O 1 3

1 2 3 x O

6 s O

1

3

6 s

A

B

C

D

**3. (黑龙江农垦牡丹江)如图所示:边长分别为 1 和 2 的两个正方形,其中一边在同 一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为 t,大正方 形内去掉小正方形后的面积为 s,那么 s 与 t 的大致图象应为( )

s

s

s

s

o A

t

o B

t

o C t

o D

t

4. (辽宁营口)如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 E 从点 B 出发,沿 B→A→D→C 方向运 动至点 C 处停止,设点 E 运动的路程为 x,△ BCE 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如 图 2 所示,则当 x=7 时,点 E 应运动到 ( )

y
A E B
图1

D

C

O

3 图2

7

x

第 3 页 版权所有

不得复制

A. 点 C 处

B. 点 D 处

C. 点 B 处

D. 点 A 处

二、填空题 5. 如图 1 所示,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停 止,设点 P 运动的路程为 x,△ ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示,那 么△ ABC 的面积是_________。

三、解答题 *6. 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 是边 CD 上一动点,设 PD=x,四边形 ABCP 的 面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围。

**7. 已知动点 P 以每秒 2cm 的速度沿图甲的边框,按 B→C→D→E→F→A 的途径移动, 相应的△ ABP 的面积 S(cm2)关于时间 t(s)的函数图象如图乙所示,若 AB=6cm,试回 答下列问题:

(1)图甲中 BC 的长是多少? (2)图乙中的 a 是多少? (3)图甲中的图形面积是多少? (4)图乙中 b 是多少?

第 4 页 版权所有

不得复制

一、选择题 1. C 解析:从 O 点出发到 A 点时,离家的距离变大,从 A 到 B 时的距离不变,原因是 圆弧上的点到圆心的距离相等,从 B 回到 O 点时,距离又变小,故选 C。 2. A 解析:∵点 P 起始于点 A,∴此时运动路程为 0,则对应于函数图象上的点的坐标 为(0,1) ,这样可排除选项 C 和 D; ∵动点 P 由 A 到 B 的运动过程中,纵坐标由 1 增加到 2,∴选 A。 3. A 解析:根据题意,设小正方形运动的速度为 V,分三个阶段;①小正方形向右未完 全穿入大正方形,S=2× 2-Vt× 1=4-Vt;②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形,S =2× 2-1× 1=3;③小正方形穿出大正方形,S=Vt。分析选项可得,A 符合,故选 A。 4. B 解析:根据点 E 的移动规律,点 E 的运动路程为 0---3,3---7,7---- 10,所在线段为 AB,AD,CD,那么当 x=7 时,点 E 应运动到高不变的结束,即点 D 处。 二、填空题 5. 10 解析:∵动点 P 从点 B 出发,沿 BC、CD、DA 运动至点 A 停止,而当点 P 运动 到点 C,D 之间时,△ ABP 的面积不变, 函数图象上横轴表示点 P 运动的路程,x=4 时,y 开始不变,说明 BC=4,x=9 时, 接着变化,说明 CD=9-4=5, ∴AB=5,BC=4, ∴△ABC 的面积是:

1 × 4× 5=10。 2

三、解答题 6. 解:由于四边形 ABCP 的面积等于正方形 ABCD 的面积减去△ APD 的面积,所以

y ? 16 ?

1 AD ? PD ? 16 ? 2 x 。所以所求的函数关系式为 y=16-2x,又因为 ABCP 为四 2

边形,所以 PC>0,所以 4-x>0,x<4;又 PD=0 时,ABCP 为正方形,仍为四边形,故 x≥0, 因此,x 的取值范围为 0≤x<4。 7. 解: (1)由乙图知,在 BC 上,P 用时 4s,因此 BC=2× 4=8cm (2)a 表示 S△ ABC,则 a=

1 ? 6 ? 8 ? 24cm 2 ; 2

(3)由乙图确定 CD、DE 上 P 所经过的时间,则 CD=(6-4)× 2=4cm,DE=2× (9 2 -6)=6cm,因此,图形的面积为 6× (8+6)-4× 6=60cm 。 (4)b 就是点 P 从 E→F→A 所用的时间 t,则 EF+FA=(6-4)+(8+6)=16, 所以 t=16÷ 2=8s,即 b=9+8=17。

第 5 页 版权所有

不得复制


相关文档

动点生成函数图象问题
函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题
动点的函数图象
函数图象动点问题
专题——动点问题的函数图象
动点与函数图象
函数图象上的动点问题
动点问题与函数图象
动点问题与函数图象--1
电脑版