人教版高中数学必修1映射教案

§2.1.2 一一映射 [教学目的] 使学生了解一一映射的概念;会判断一些简单对应是否是一一映射. [重点难点] 重点:一一映射的概念; 难点:判断所给对应是否是一一映射. [教学设想] 1.教法:直观演示、引导发现法; 2.学法:启发学生观察、思考、分析和讨论; 3.课时:1 课时. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习从集合 A 到集合 B 的映射的概念.然后指出以下两点: ⑴映射是特殊的对应,它的特点是:在集合 A 中的任一元素在集合 B 中有唯一的元素与它对 应; ⑵对集合 B 中的元素,在集合 A 中可以有几个元素和它对应,即对集合 B 中的元素,在集合 A 中的原象没有提出个数上的限定. ⒉问题引入:如果 f 是集合 A 到 B 的映射,B 中任一元素在 A 中原象的个数可能有几种情况, 举例说明. 答:有三种情况: ⑴集合 B 中的某一元素在 A 中没有原象(如图 1) ; ⑵集合 B 中的任何一个元素在 A 中都有一个原象(如图 2) ; ⑶集合 B 中的某一元素在 A 中有两个或两个以上的原象(如图 3). f:乘以 2 f:加 3 f:乘方

1 g:除以 2 2 1 g:减 3 4 1 g:开方 1 2 图1 4 2 2 5 图 图 3 -1 3 6 3 6 2 4 进一步提问:在对应法则 f 下,可以由 A 中的元素 a 求出 a 在 B 中的对应元素 b,就上述三 5 -2 例,如果要由 B 中的元素 b,在 A 中求出它在 f 下的原象,应怎样求? 答: 就是找出由 b 求 a 的对应法则.易知它们的对应法则分别是: “除以 2” , “减 3” 和 “开方” . 我们记 B→A 的对应法则为 g. 再问:g:B→A 是不是从 B 到 A 的映射,为什么? 答:图 2 中的 g:B→A 是映射;图 1、图 3 中的 g:B→A 不是映射. 小结:对任一个 f:A→B 的映射来说,由 B 到 A 的对应 g 都存在,但对应 g 有的是映射,有 的不是映射.可见要使对应 g 成为映射,必须对原来的 f 提出更多的条件. 引导学生分析图 1、图 3 两种情况:图 1 中,g 不是映射的原因是因为 B 中存在元素“5” ,它 在 A 中没有原象.图 3 中,g 不是映射的原因是因为 B 中的元素“1”和“4” ,它们在 A 中有两个 原象.从而得出结论:如果 f:A→B 是映射,要使 g:B→A 成为映射,必须排除这两种情况,而对

映射提出更多的条件. 为了排除这两种情况,映射 f 还应满足什么条件呢? ⑴B 中任何一个元素在 A 中都有原象; ⑵B 中任何一个元素在 A 中都有唯一的原象,换句话说,A 中的不同元素在 B 中有不同的象. 我们把满足上述两个条件的映射 f:A→B 叫做一一映射. 二、学习、讲解新课 ⒈ 一一映射的概念 设 A,B 是两个集合,f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果在这个映射下,对于集合 A 中的不同元素,在集合 B 中有不同的象,而且 B 中每一个元素都有原象,那么这个映射叫做 A 到 B 上的一一映射. 所以,一一映射是特殊的映射,而且如果 f:A→B 是一一映射,那么 g:B→A 是映射. ⒉ 一一映射的判断 ⑴有限集合 例 1 集合 A 的元素是 a,集合 B 的元素是 b,判断下面的映射是不是从 A 到 B 的一一映射, 为什么? ① 解: ② ① a b 0
0

a b

2 5

3 6

4 7

30

0

60

0

120

0

150

0

0

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从 A 到 B 的一一映射,因它符合定义;②不

3 /2

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是,因为它不满足定义中的“对于集合 A 中的不同元素在 B 中有不同的象”这一条. 问:如何作最小的改动,使上述①中的一一映射变为非一一映射? 答:只要将 B 的元素改成有两个相同,或再加进一个元素,就可使①中的一一映射变为非一 一映射. ⑵无限集合 例 2 设 M={?,-3,-2,-1,0,1,2,3,?},N={0,1,2,3,?},f 是从 M 到 N 的对应: x→y=|x|.这个对应是不是映射?是不是一一映射?为什么? 答:这个对应是映射,因它满足映射的定义;但它不是一一映射,因为 M 中不同的元素在 N 中有相同的象. 例 3 f:R→CR(R-),x→y=x2 是不是一一映射,为什么?在对应法则不变的情况下,怎样改 动一下,就可以使它成为一一映射? 解:f:R→CR(R-),x→y=x2 是映射,但不是一一映射,因为 R 中的不同元素(如 2,-2)在 集合 CR(R-)中有不同的象(如 4).如果将原象集合 R 改为 CR(R-),则 f:CR(R-)→CR(R-),x→ y=x2 是从 CR(R-)到 CR(R-)的一一映射. ⑶生活中的例子 例 4 A={苍梧一中的学生},B={苍梧一中学生的年龄},f:A→B,a→a 的年龄,是不是从 A 到 B 的一一映射,为什么? 解:不是一一映射,因为不同的学生年龄会相同.

⒊ 目标检测 ⑴课本 P49 练习:3. ⑵已知 A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},写出一个 A 到 B 上的一一映射. ⑶已知 A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则对应 f:A→B,x→y=2x+1,x∈A,y∈B 是否是 A 到 B 上的一一映射,为什么?若不是,在不改变对应法则的前提下,把它改写成一个 A 到 B 上的一一 映射. 解:⑴图 2-1⑵、⑶、⑷都是集合 A 到集合 B 的映射,其中⑵是 A 到 B 上的一一映射. ⑵ f:A→B,x→y=2x,x∈A,y∈B 就是 A 到 B 上的一个一一映射. ⑶ f:A→B,x→y=2x+1,x∈A,y∈B 是 A 到 B 上的映射,但不是一一映射;只要将集合 B 中 的元素 1 去掉,其他条件不变,则它就是一个 A 到 B 上的一一映射. 三、小 结 1.一一映射是一种特殊的映射.若一个映射同时满足:⑴A 中的不同元素在 B 中有不同的象; ⑵B 中任何一个元素在 A 中都有原象,则这个映射就是一一映射. 2. 在映射 f:A→B 中,若象集合 C ? B,则此映射不是一一映射,也就是说,C=B 是一一映 射的必要条件. 3. 如果 f:A→B 是一一映射,那么 g:B→A 是映射. 四、布置作业 (一)复习:课本内容,熟悉巩固有关概念. (二)书面:课本 P50 习题 2.1:3;练习册 P24 B 组:2. 答案:课本 P50 习题 2.1:3: ⑴是映射.因为对于左边集合的每一个元素, 右边集合都有唯一的元素和它对应; 但不是一一 映射,因为集合 A 中不同元素 a1,a4 有相同的象 b1,B 中的元素 b2 在 A 中没有原象. ⑵是映射,理由同第⑴题;是一一映射,因为对于左边集合的不同元素,在右边集合中有不 同的象,而且右边集合中每一元素都有原象. ⑶不是映射.因为对于左边集合的元素 a2, 右边集合有两个元素 b1, b3 和它对应 (不唯一) . ⑷是映射,理由同第⑴题;但不是一一映射,因为对于集合 B 的元素 b5,在集合 A 中没有原 象. 练习册 P24 B 组 2:已知 A=R,B={y|y∈R,且 y ? 1},x∈A,对应法则 f:x→y=x2-2x+2.问: f: A→B 是 A 到 B 的映射吗?是一一映射吗?若不是, 如何改动集合 A(集合 B 和对应法则不变) , 使之成为一一映射. 解:是映射,但不是一一映射,因为 y=(x-1)2+1 的对称轴是 x=1,所以,若将集合 A 改为 {x|x ? 1,x∈R}(或{x|x ? 1,x∈R})时,A 到 B 的对应 f:x→y=x2-2x+2 就是一一映射了. 4 2 (三)思考题:练习册 P24 B 组 3:设 A={1,2,3,m},B={4,7,n ,n +3n},m, n∈N,a∈A,b∈B,“f:a→b=pa+q”是从 A 到 B 的一一映射,又 1 的象是 4,7 的原象是 2, 试求 p,q,m,n 的值. 解:由 1→4,2→7 得,4=p+q,7=2p+q,解得 p=3,q=1;又由 f 是一一映射,得 3→n4 且 m

→n2+3n,或 3→n2+3n 且 m→n4,即 n4=3p+q=10 且 n2+3n=mp+q=3m+1,或 n2+3n=3p+q=10 且 n4= mp+q=3m+1,亦即 n4=10 且 n2+3n=3m+1---①,或 n2+3n=10 且 n4=3m+1---②,∵m,n∈N, ∴①无 解;解②得 m=5,n=2.∴p=3,q=1, m=5,n=2. (四)预习:课本 P50-53 2.2 函数.


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