2015届高三第二次联考理科数学试卷

湖北省

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八校

2015 届高三第二次联考 数学试题(理科)
命题学校:黄冈中学 命题人:龙燕 审题人:汤彩仙 考试用时 120 分钟 考试时间:2015 年 4 月 1 日下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. x 2 1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 A CR B ? A. C.

? x x ? 0? ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?

?

?

?

B.

? x 1 ? x ? 2? D. ? x 0 ? x ? 1或x ? 2?

?

开始

i ? 1, S ? 0
ai ? sin i ?? 3

2. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 4 ? 2i(i 为虚数单位) ,则 | z |? A. 2 B. C. D. 10 3 5 3. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为 3 A. 3 B. C. 0 D. ? 3 2 4. 某几何体的三视图(单位: cm )如右图所示,其中侧视图是一个边长为 2 的正三角形,则这个几何体的体积是 3 3 3 3 A. 2??cm B. 3??cm C. 3 3??cm D. 3??cm 5. 在等腰 ?ABC 中, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, BC ? 2BD, AC ? 3 AE , 则 AD ? BE 的值为 A. ?

S ? S ? ai
i ? 8?
否 输出 S 结束
第 3 题图

i ? i ?1


4 3

B. ?

1 3

1 C. 3

4 D. 3

?x ? y ? 2 ? 6. 设不等式组 ? 所表示的区域为 M ,函数 y ? ?x ? y ? ? 2 ?y ? 0 ? ?

1 ? x2 的图象与
1 1 正视图 2 侧视图

x 轴所围成的区域为 N ,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为 2 ? ? ? A. B. C. D. 16 ? 4 8
7. 下列说法正确的是 A. “ x ? 0 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的充要条件 2 2 B. “ ?x ? 2 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定 是“ ?x ? 2, x ? 3x ? 2 ? 0 ” ..
俯视图 第 4 题图

C. 采用系统抽样法从某班按学号抽取 5 名同学参加活动,学号为 5,16,27,38,49 的同学均被选出,则 该班学生人数可能为 60 2 D. 在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4,
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则 X 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8 8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 3FQ ,则 | QF | = A.

8 3

B.

5 2

C.

3

D.

2

? 1 ? 3,?? 1 ? x ? 0 ? 9. 已知函数 g ( x) ? ? x ? 1 ,若方程 g ( x) ? mx ? m ? 0 有且仅有两个不等的实根,则实 ? x 2 ? 3x ? 2, 0 ? x ? 1 ? 数 m 的取值范围是 9 11 A. ( ? , ?2] [0, 2] B. (? , ?2] [0, 2] 4 4 9 11 C. (? , ?2] [0, 2) D. (? , ?2] [0, 2) 4 4
10. 函 数 y ? f ( x) 图 像 上 不 同 两 点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 处 的 切 线 的 斜 率 分 别 是 k A , kB , 规 定

? ( A, B) ?

| k A ? kB | 叫做曲线 y ? f ( x) 在点 A 与点 B 之间的“弯曲度” ,给出以下命题: | AB |
3 2

①函数 y ? x ? x ? 1 图像上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1, 2 ,则 ? ( A, B) ? 3; ②存在这样的函数,图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数; ③设点 A 、 B 是抛物线 y ? x2 ? 1 上不同的两点,则 ? ( A, B) ? 2 ;
x ④设曲线 y ? e 上不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ? 1 ,若 t ? ? (A, B) ?1 恒成立,则实数 t

的取值范围是 (??,1) .以上正确命题的序号为 A. ①② B. ②③

C.

③④

D. ②③④

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡 ... 对 应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. . ... (一) 必考题(11—14 题) 11. 已知二项式 ( x ?
2

1 n ) 的展开式的二项式系数之和为 32 ,则展开式中含 x 项的系数是_ x
2 2 2

_.

2a ? 4b ? 9c 的值为________. 12. 若实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2 , 则当 a ? 2b ? 3c 取最小值时,
13. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 将直线 y ?

x 2

y

与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一 周 得 到 一 个 圆 锥 , 圆 锥 的 体 积
1 ? 3 x x V圆锥 ? ? ? ( ) 2 dx ? 0 12 2

y

y=2

1 0

?

?
12

x y= 2
x=1 x
O 第 13 题图

y= x

2

. 据此类比: 将

O

2 曲线 y ? x ( x ? 0) 与直线 y ? 2 及 y 轴所围成

x

的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体, 该旋转
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体的体积 V ? ______ .
* 14. 设 数 列 {an } 共 有 n 项 (n ? 3, n ? N * ) , 且 a1 ? an ? 1 , 对 于 每 个 i(1? i ? n ? 1, n ? N 均 ) 有

ai ?1 1 . ?{ , 1, 3} ai 3
(1)当 n ? 3 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为__________; (2)当 n ? 10 时,满足条件的所有数列 {an } 的个数为_________. (二) 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题做答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所 在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) E 15. (选修 4—1:几何证明选讲)如图, PA 与圆 O 相切于 A ,不过圆心 O 的 割线 PCB 与直径 AE 相交于 D 点.已知∠ BPA = 30 , AD ? 2 , PC ? 1 , B O· 则圆 O 的半径等于__________. 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程)已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1? t ? y ? 3 ? 2t

C P

D

( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

A 第 15 题图

C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ?

?

4

) ,则直线 l 与曲线 C 相交的弦长为__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x cos( x ? (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ ) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C ) ? ?

?

3

). 1 , a ? 2, 且 ?ABC 的面积为 4

2 3 ,求边长 c 的值.

18. (本小题满分 12 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 是等比数列,满足 a1 ? 3, b1 ? 1 ,

b2 ? S2 ? 10, a5 ? 2b2 ? a3. (Ⅰ )求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;

?2 ? , n 为奇数, (Ⅱ )令 cn ? ? S n 设数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,求 T2 n . ?b , ? n n 为偶数,

19. (本小题满分 12 分)端午节即将到来,为了做好端午节商场促销活动,某商场打算将进行促销活 动的礼品盒重新设计.方案如下:将一块边长为 10 的正方形纸片 ABCD 剪去四个全等的等腰三角 形 ?SEE?, ?SFF ?, ?SGG?, ?SHH ?, 再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒 S ? EFGH , 其中 A, B, C , D 重合于点 O,E 与 E ? 重合,F 与 F ? 重合,G 与 G ? 重合,H 与 H ? 重合 (如图所示) .
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(Ⅰ)求证:平面 SEG ? 平面 SFH ; (Ⅱ)当 AE ? 弦值.

D H

G′

G

C F′

S

5 时,求二面角 E ? SH ? F 的余 2

H′ A E

· S

F E′ B E

H O F

G

第 19 题图

20.(本小题满分 12 分)根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在 0 50 ,各类人群 可正常活动. 某市环保局在 2014 年对该市进行了为期一年的空气质量检测, 得到每天的空气质量指

数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本数据分组区间为 ?0,10? ,?10,20? ,? 20,30? ,

?30,40? ,?40,50? ,由此得到样本的空气质量指数频率分

布直方图,如图. (Ⅰ)求 a 的值;并根据样本数据,试估计这一年度的空气 质量指数的平均值; (Ⅱ)用这 50 个样本数据来估计全年的总体数据,将频率 视为概率.如果空气质量指数不超过 20,就认定空 气质量为“最优等级” .从这一年的监测数据中随机 抽取 2 天的数值, 其中达到 “最优等级” 的天数为 ? , 求 ? 的分布列,并估计一个月(30 天)中空气质量 能达到“最优等级”的天数.

第 20 题图

21. (本小题满分 13 分)如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), A(2,0) 是长轴的一个端点,弦 BC 过椭 a 2 b2
y C

圆的中心 O,且 AC ? BC ? 0, OC ? OB ? 2 BC ? BA . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 P、Q 为椭圆上异于 A, B 且不重合的两点,且 ?PCQ 的平分线总是 垂直于 x 轴,是否存在实数 ? ,使得 PQ ? ? AB ,若存在,请求出 ? 的 最大值,若不存在,请说明理由.

O
B 第 21 题图

A

x

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx , g ( x) ?
2

1 2 mx ? x, m ? R, 令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . 2

1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 F ( x) ? mx ? 1 恒成立,求整数 ..m 的最小值;
(Ⅰ)当 m ? (Ⅲ)若 m ? ?2 ,正实数 x1 , x2 满足 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,证明: x1 ? x2 ?

5 ?1 . 2

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