黑龙江省大庆实验中学2012-2013学年高二上学期开学考试 数学文

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大庆实验中学 2012--2013 学年度上学期开学考试

高二数学文科试题

命题人:王丽克

审题人:王美荣

一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的)

1.化简 sin ? ? 3 cos ? 的值为 ( )

12

12

( A)0

(B) ? 2

(C )2

(D) 2

2.已知直线 l1 : y ? 2x ? 3,直线 l2 与 l1 关于直线 y ? x 对称,直线 l3 ? l2 ,则 l3 的斜率为( )

(A) 1 2

(B) ? 1 2

(C) -2

(D) 2

3. 已 知 正 项 等 比 数 列 ?an ? 满 足 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) , 则 当 n ?1 时 ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? log2 a2n?1 ? ( )

(A) n(2n ?1)

(B) (n ?1)2

(C) n2

(D) (n ?1)2

4.设 a,b ? R? ,且 a ? b ? 4 ,则有( )

(A) 1 ? 1 ab 2

(B) 1 ? 1 ? 1 ab

(C) ab ? 2

(D)

a2

1 ? b2

?

1 4

5.已知函数 f (x) ? (1 ? cos 2x)sin2 x, x ? R ,则 f(x)是( )

(A)最小正周期为? 的奇函数

(B)最小正周期为? 的偶函数

(C)最小正周期为 ? 的奇函数 2

(D)最小正周期为 ? 的偶函数 2

6. 若函数 f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a=

(A)-2

(B)-1

(C)1

(D)2

7.已知异面直线 a 与 b 成 80 ? 的角,p 为空间一定点,则过点 p 与 a,b 所成的角都是 50 ? 的

直线有且仅有( ).

(A) 1 条

(B ) 2 条

( C) 3 条

( D) 4 条

8. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切,已知球的体积是332π,那么这个三

棱柱的体积是( )

(A) 96 3

(B)16 3

(C) 24 3

(D) 48 3

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9.在三角形ABC中,若 sinA= 3 , cosB ? 5 ,则 cosC 的值是( )

5

13

(A) 16 65

(B) 56 65

(C) 16 或 56 65 65

(D) ? 16 65

?x2 ? y2 ? 2x ? 2y ?1? 0

10.设 O 为坐标原点,点 A(1,1),若点 B(x,y)满足 ??1 ? x ? 2

,则 OA ? OB 取得

??1 ? y ? 2

最小值时,点 B 的个数是( )

(A) 1

(B) 2

(C)3

(D) 无数个

11.在棱锥 P ? ABC中,侧棱 PA、PB、PC 两两垂直,Q 为底面 ?ABC内一点,若点 Q 到三个

侧面的距离分别为 3、4、5,则以线段 PQ 为直径的球的表面积为( )

(A) 100?

( B) 50?

(C) 25?

12.设 a ? 0 , b ? 0 ,下列说法正确的是( )

(D) 5 2?

(A) 若 2a+2a=2b+3b,则 a>b

(B) 若 2a+2a=2b+3b,则 a<b

(C) 若 2a-2a=2b-3b,则 a>b

(D) 若 2a-2a=2b-3b,则 a<b

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 两个等差数列?an ?,?bn ?,

a1 ? a2 ? ... ? an ? 7n ? 2 , 则 a5 =___________.

b1 ? b2 ? ... ? bn n ? 3

b5

14. 点 P(x,y)在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x2 ? y2 的最小值是___________.

15. 已知 ? ABC 中, a ? x,b ? 2, B ? 45? ,若该三角形有两个解,则 x 的取值范围是_______.

16. 设有一组圆: Ck : (x ? k ?1)2 ? ( y ? 3k)2 ? 2k 4 (k ? N ?) ,下列四个命题

(1)存在一条定直线与所有的圆均相切;

(2)存在一条定直线与所有的圆均相交;

(3)存在一条定直线与所有的圆均不相交;

(4)所有的圆均不经过原点.

其中真命题的序号是___________.(写出所有的真命题的序号)

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)

在 ?ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,边 c ? 7 , 2

且 tan A ? tan B ?

3 tan A ? tan B ?

3

,又 ?ABC

的面积为 S?ABC

?

33 2

,求 a ? b

的值。

18. (本小题满分 12 分)

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求过直线 2x ? y ? 4 ? 0 和圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4y ?1 ? 0 的交点,且满足下列条件之一的圆的

方程. (1)过原点; 19. (本小题满分 12 分)

(2)有最小面积.

设实数

x,y

满足不等式组:

?1 ? x ?

? ?

y

?

2

?

y? 2x

4 ?

3

(1)求作点(x,y)所在的平面区域;

(2)设 a ? ?1,在(1)所求的区域内,求函数 f (x, y) ? y ? ax 的最大值和最小值。

20.(本小题满分 12 分)

在数列?an? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ?1 , n ? N* .

(1)证明数列?an ? n? 是等比数列;

(2)求数列?an? 的前 n 项和 Sn ;

(3)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.
21.(本小题满分 12 分) 如图 1,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,D 为侧棱 PC 上一点,它的正(主) 视图和侧(左)视图如图 2 所示.

(1) 证明:AD⊥平面 PBC; (2) 求三棱锥 D-ABC 的体积; (3) 在∠ACB 的平分线上确定一点 Q,使得 PQ∥平面 ABD,并求此时 PQ 的长. 22.(本小题满分 12 分)
已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c .

(1)若 f (0) ? 1, b ? ?a ?1,解关于 x 不等式 f (x) ? 0 ;

(2)若 f(x)的最小值为 0,且 a<b,设 b ? t ,请把 a ? b ? c 表示成关于 t 的函数 g(t),

a

b?a

并求 g(t)的最小值.

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大庆实验中学 2012--2013 学年度上学期开学考试
高二数学文科试题答题卡
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分; 13._______________________; 14.____________________; 15._______________________; 16.____________________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17(10 分)
18(12 分)
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19(12 分) 20(12 分) 21(12 分)

y

1

O1

x

22(12 分)
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高二数学文科试题参考答案

一.选择题: BCCBDC,CDABBA

二.填空题:

13. 65

14.8

12

三.解答题:

? ? 15. 2,2 2

16.(2)(4)

17. 解:由 tanA+tanB= 3 tanA·tanB- 3 可得 tan A ? tan B =- 3 , 1? tan A ? tan B

即 tan(A+B)=- 3 ∴tan(π -C)= - 3 , ∴-tanC=- 3 ,

∴tanC= 3 ∵C∈(0, π ), ∴C= ? 3

33 1

33 1

3 33

又△ABC 的面积为 S△ABC= 2 ,∴2 absinC= 2 即2 ab× 2 = 2 , ∴ab=6

又由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcosC

∴(72

)2=

a2+b2-2abcos ? 3

∴(72

)2=

a2+b2-ab=(a+b)2-3ab∴(a+b)2=1241

,

11 ∵a+b>0, ∴a+b= 2

18. (1) x2 ? y2 ? 3 x ? 17 y ? 0 ; (2) (x ? 13)2 ? ( y ? 6)2 ? 4

24

5

55

19. 图略 当 ?1 ? a ? 2 时, y 最小为-1-2a;最大为 7+3a。

当 a>2 时, y 的最大为 7+3a;y 的最小为 1-3a。

20. 解:(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ?1,得 an?1 ? (n ?1) ? 4(an ? n) , n?N* .

又 a1 ?1 ? 1,所以数列?an ? n? 是首项为1,且公比为 4 的等比数列.

? ? (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 an 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .

? ? 所以数列

an

的前

n

项和.Sn

?

4n ?1 ? 3

n(n ?1) 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N* ,

Sn?1

?

4Sn

?

4n?1 ? 3

1?

n( ?

1n)?( 2

?24)?? ?

n ? 4? n 1n ?

3

2

(? ? ?

?

?1 1) 2

(

3n2

?

n

?

4≤)

.0

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.

21.
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(2) 由三视图可得BC=4 由(1)知?A DC = 900,且 B C? 平面 P A,C 又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积

?所求三棱锥的体积V= 1 ? 1 ? AD ? CD ? BC = 1 ? 1 ?2 2 ?2 2 ? 4 ? 16 …… 8 分

32

32

3

(3)取 AB 的中点 O,连接 CO 并延长至 Q,使得 CQ=2CO,连接 PQ,OD,点 Q 即为所求.

因为 O 为 CQ 的中点,D 为 PC 的中点, ?PQ∥OD,

PQ ? 平面 ABD, OD ? 平面 ABD

? PQ∥平面 ABD

连接 AQ,BQ,
四边形 ACBQ 的对角线互相平分, 且 AC=BC,AC ? BC, ?四边形 ACBQ 为正方形,?CQ 即为∠ACB 的平分线

又 AQ=4,PA ? 平面 ABC ? PQ ? 4 2

22. (1)f(x)= ax2 ? (a ? 1)x ? 1

当 a>1 时,解为: 1/a<x<1 当 0<a<1 时,解为: 1<x<1/a 当 a<0 时,解为: x>1 或 x<1/a。

当 a=1 时,解为空集。 当 a=1 时, 解为 x>1

(2) g(t) ? t 2 ? 4t ? 4 ,(t ? 1) 4(t ?1)

最小值为 3

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