高中数学第二章解析几何初步1直线与直线的方程第5课时两条直线的交点课件北师大版必修2_图文

第5课时 两条直线的交点 [核心必知] 已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2 =0.如果l1与l2相交且交点为P(x0,y0),则P点的坐标应满足方程 组 . 如果P点的坐标是方程组 直线l1与l2的 组 交点 的唯一解,则P点是 .因此,两条直线是否有交点,就要看方程 是否有解,当方程组 重合 有无 穷多个解时,说明直线l1与l2 l2 平行 . ,当方程组无解时,说明l1与 [问题思考] 1.已知平面上A、B、C三点的坐标,能否用解方程组的办法来解 决三点是否共线的问题? 提示:能.联立直线AB、BC的方程,若方程组有唯一 解,则A、B、C三点不共线;若方程组有无数个解,则 A、B、C三点共线. 2.如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数? 提示:法一:列出方程组,看有几组解,有几组解就有 几个交点.当方程组易解时此法才有效. 法二:当列出的方程组不易解时,可分别画出图像,用 “数形结合”法判断,此法往往能出奇致胜. 讲一讲 1.判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点坐标. (1)l1:2x+3y-7=0,l2:5x-y-9=0; (2)l1:2x-3y+5=0,l2:4x-6y+10=0; (3)l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0. 根据解的个数判断两直线的位置关系,在解方程时,要先观 察方程系数,解出方程组解的个数,若方程组有唯一解,则 两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无 数多个解,则两直线重合.也可根据直线的斜率和截距的关 系判断直线的位置关系. 练一练 讲一讲 2.求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m -11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标. 练一练 2.求证:无论m取何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都恒过一个定点. 讲一讲 例3 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的 交点且过坐标原点的直线l的方程. 解决此类问题常有两种方法: 一是常规法,即由题目已知条件求出交点及直线的斜率,利 用点斜式求出直线方程,不使用任何技巧,不过此法有时候 较为繁琐; 二是利用直线系方程,过两条相交直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程可设为A1x+B1y+C1+ λ(A2x+B2y+C2)=0,这里λ∈R,此直线系不包括A2x+B2y +C2=0,这种方法可以避免解方程组求交点. 练一练 3.求经过两直线l1:3x+2y-2=0和l2:2x-3y+10=0的交点P, 且与直线l3:6x+4y-7=0垂直的直线l的方程. ? ?3x+4y-2=0, 解:由题意联立两直线方程,得? 解得 ? ?2x-3y+10=0, ? ?x=-2, ? ? ?y=2. 即交点坐标为(-2,2). 3 2 因为 l3 的斜率为- ,且 l⊥l3,所以直线 l 的斜率为 , 2 3 2 由点斜式可知 l 的方程为 y-2= (x+2),即 2x-3y+10 3 =0. 试求三条直线ax+y+1=0,x+ay+1=0,x+y+a=0构成三 角形的条件. 1.两条直线x+y-a=0与x-y-2=0相交于第一象限,则 实数a的取值范围是( ) A.-2<a<2 C.a>2 B.a<-2 D.a<-2或a>2 3.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且垂直于直线 x-2y=0的直线的方程是( ) A.2x+y-8=0 C.2x+y+8=0 B.2x-y-8=0 D.2x-y+8=0 4.经过直线l1:x-y+3=0和l2:x-2y+5=0的交点,并且 经过点(1,-1)的直线的一般式方程是________. 5.斜率为-2,且与直线2x-y+4=0的交点在y轴上的直线方 程为________. 解析:∵直线2x-y+4=0与y轴的交点为(0,4). 又直线的斜率为-2, ∴所求直线方程为y-4=-2(x-0), 即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0 6.已知直线l1:x-2y+4=0,l2:x+y-2=0,设其交点为点P. (1)求交点P的坐标; (2)设直线l3:3x-4y+5=0,分别求过点P且与直线l3平行及垂直 的直线方程.

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