第4讲 解析几何大题训练(弦长)

解析几何大题训练(弦长)

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解析几何大题训练(弦长)
【知识要点归纳】 一、点、线和圆锥曲线位置关系及判定 判断方法 点 和 曲 线 的 位 置 点在椭圆内 ? 关系 点在椭圆上 ? 点在椭圆外 ? 直 线 和 曲 线 的 位 相交 ? 置关系 相切 ? 判断方法 点在双曲线内 ? 点在双曲线上 ? 点在双曲线外 ? 相交 ? 判断方法 点在抛物线内 ? 点在抛物线上 ? 点在抛物线外 ? 相交 ?

相切 ?

相切 ?

相离 ?

相离 ?

相离 ?

二、韦达定理法

三、运算技巧:

【经典例题】 x2 例 1:已知椭圆方程为 + y 2 = 1 ,试判断下列直线和椭圆的位置关系 4 (1)y = x; (2)y = x + 8; (3) y = x + 5

例 2:已知双曲线方程为 (1)y =

x2 y2 ? = 1 ,试判断下列直线和双曲线的位置关系 3 9 3 x; (2)y = x + 8; (3) y = 2 x + 3

例 3:已知直线 y = kx + 3 与椭圆 点、一个交点和没有交点。

x2 + y 2 = 1 ,试判断 k 的取值范围,使得直线与椭圆分别有两个交 2

x2 y 2 例 4:直线 y ― kx ― 1 = 0 与椭圆 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 5 m

B. 求实数 k 的取值范围; 例 5: 直线 l : y = kx + 1 与双曲线 C : 2 x ? y = 1 的右支交于不同的两点 A、
2 2

例 6:已知直线 x ? y ? 1 = 0 与抛物线 y = ax 相切,则 a = ______ .
2





例 7:已知直线 y = x + 1 与椭圆

x + y 2 = 1 相交于 A、B 两点,求 AB 的长 4

例 8:已知椭圆 (1)当

及直线

.

为何值时,直线与椭圆有公共点? ,求直线的方程.

(2)若直线被椭圆截得的弦长为

例 9: 已知椭圆的中心在坐标原点 O, 焦点在坐标轴上, 直线 y = x + 1 与椭圆交于 P 和 Q, 且 OP⊥OQ, |PQ|=

10 ,求椭圆方程. 2

~ 第 4页 ~

例 10:斜率为 1 的直线经过抛物线 y = 4 x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,求线段 AB 的长
2

王新敞
奎屯

新疆

【课堂练习】 1. 直线 y = x + b (b ≠ 0) 与双曲线 x ? y = 1 的交点(
2 2



(A)只有 1 个; (B)只有 2 个; (C) 没有交点; (D)交点个数与 b 的大小有关; 2. 过点(3, 0)的直线 l 与双曲线 4x2 – 9y2 = 36 只有一个公共点,则直线 l 共有 ( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 3. 过点(0,1)且与抛物线 y2 = x 只有一个公共点的直线有 (A)一条 (B)两条 (C)三条 ( ) (D)无数条 ( ) )

4. 过点 M(2,4)作与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点的直线 l 有 (A)0 条 (B)1 条 (C)2 条 (D)3 条

x2 5. 直线 y = x + m 与椭圆 + y 2 = 1 交于 A 、 B 两点,则 | AB | 的最大值是 4 4 5 4 10 8 10 (A) 2 (B) (C) (D) 5 5 5





6. 抛物线 y 2 = 4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为



7. 过抛物线 y = 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点,如果 x1 + x 2 = 6 ,那
2

么 | AB | =( (A)10

) (B)8 (C)6 (D)4

8. 已知双曲线 x 2 ?

y2 = 1 ,过点 P(1, 1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,求直线 l 的斜率值 4

y2 9. 已知双曲线 x ? 它的弦 PQ 的长是实轴长的 2 倍, 如果弦 PQ 所在的直线 l 过点 A ( 3 ,0 ) , = 1, 2
2

求直线方程。 10. 过抛物线 y = 4 x ( a > 0) 的焦点 F ,作相互垂直的两条焦点弦 AB 和 CD ,求 | AB | + | CD | 的最
2

小值.

第 6页

【课堂练习】参考答案 1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. 2 7. B 8. k =

5 或k = ±2或k不存在 2 2 ( x ? 3 )或x = 3 2

9. y = ± 10.

解:抛物线的焦点 F 坐标为 (a, 0) ,设直线 AB 方程为 y = k ( x ? a ) ,则 CD 方程为 y = ? 分别代入 y = 4 x 得: k x ? (2ak + 4a ) x + k a = 0 及
2 2 2 2 2 2

1 ( x ? a) , k

1 2 1 a2 (2 4 ) x a a x ? + + = 0, k2 k2 k2

∵ | AB |= x A + xB + p = 2a + ∴ | AB | + | CD |= 8a +

2a + 2a , | CD |= xC + xD + p = 2a + 4ak 2 + 2a , 2 k

4a + 4ak 2 ≥ 16a ,当且仅当 k 2 = 1 时取等号, k2

所以, | AB | + | CD | 的最小值为 16a .






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