省优质资源课件 15.对称与最值_图文

第 15 讲

对称与最值

高级中学

主要内容
聚焦重点: 与直线和圆有关的对称问题. 破解难点: 与直线和圆有关的最值问题. 廓清疑点:

如何确定最值点的位置.

聚焦重点:与直线和圆有关的对称问题

基础知识
主要涉及以下问题: 1.求点关于定点的对称点的坐标;

2.求点关于直线的对称点的坐标;
3.求直线关于定点对称的直线方程;

4.求直线关于直线的对称直线方程;
5.求圆关于定点对称的圆的方程;

6.求圆关于直线对称的圆的方程.

问题研究

如何求点关于直线的对称点的坐标?

典型例题1
例1 求点A(-1,-4)关于直线 l: x+y+1

=0的对称点A1的坐标.

思路分析
例1 求点A(-1,-4)关于直线 l: x+y+1=0 y l
A1

的对称点A1的坐标.
分析:①求点A1的坐标, 需要几个独立条件? ②两点A、A1关于 直线 l 对称,满足哪两
A

O

x

个几何条件?

思路分析
例1 求点A(-1,-4)关于直线 l: x+y+1 y l
A1

=0的对称点A1的坐标.
思路1 ①直线AA1⊥l; ②A、A1到直线 l 的 距离相等.
A

O

x

求解过程
设点A1(a,b),由AA1⊥l及点线距离公式,得 b+ 4 ? k AA1 = =1, ? a +1 ? ? y ? a + b + 1 = -1+ 4 + 1 . ? 2 2 l ? 解法1

? a +b- 3= 0, ? a = 3, ?? ?? A1 ? a -b- 3= 0. ? b= 0. O M ? a +b+ 5= 0, ? a =-1, 或? ?? (舍去) A ? a -b- 3= 0. ? b=- 4.
故所求对称点为A1(3,0).

x

思路分析
例1 求点A(-1,-4)关于直线 l: x+y+1 y l
A1 M

=0的对称点A1的坐标.
思路2 ①直线AA1⊥l; ②线段AA1的中点M在 直线 l 上.
A

O

x

求解过程
解法2 设点A1(a,b),则线段AA1的中点为 ? a -1 b- 4 ? M? , . 由已知,得方程组 ? 2 ? ? 2
b+ 4 ? k AA1 = =1, ? ? a +1 ? ? a -1 + b- 4 + 1=0. ? 2 ? 2 ? a +b- 3= 0, ? a = 3, ?? ?? ? a -b- 3= 0. ? b= 0.

y l
A1 M

O A

x

故所求对称点为A1(3,0).

求解过程
解法3 ∵AA1⊥l, ∴直线AA1的方程是

y+4=x+1, 即 x-y-3=0.
又直线 l 的方程是 x+y+1=0, 联立方程组,解得 ? x =1, 即AA1中点是 ? ? y =- 2.

y

l
A1 M

M ? 1, ?2 ? . 设点A1(a,b),由中点公式,得

O A

x

所求对称点为A1(3,0).

回顾反思
(1)基本方法:待定系数法 (2)思维策略:①寻找两个独立条件; ②将几何条件代数化.

垂直关系 点在线上
(3)数学思想: 几何条件

斜率关系 点的坐标满足直线方程.
数形结合

数量关系

变式训练
变题1 光线自点A(-1,-4)出发,经直线l:x+

1 y+1=0反射后,反射线所在直线斜率为 ? , 求入射 2
线所在直线的方程.

l

y

O A.

x

思路分析
变题1 光线自点A(-1,-4)出发,经直线l:x+

1 y+1=0反射后,反射线所在直线斜率为 ? , 求入射 2
线所在直线的方程.

①求出A的对称点A1(3,0);

l

y

②写出反射线所在直线方程: C x+2y-3=0 ; ③求出反射线与直线l的交点: C(-5,4). ④写出入射线所在直线的方程: 2x+y+6=0.
O A.

A1

x

回顾反思
研究光线关于某直线的反射问题,根据光学 知识,就是求一点关于该直线的对称点问题.这是

因为:入射光线与反射光线关于表示镜面的直线成
轴对称,那么入射光线上任意一点关于表示镜面所 在直线的对称点必在反射光线所在的直线上.

变式训练
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程.

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

思路分析
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点 y

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程. l 思路1:根据两点确定一条 直线,可分别求出直线l上
的两点关于点A的对称点,
A???1, 4?

l1

-1
A.

O

x

l1 lx: ? y??1 0

再由两点式写出直线方程.
答案 l1:x+y+9=0

-1

(-2,-7) (-1,-8)

归纳:线点对称

点点对称

思路分析
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点 y

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程. l 思路2: 利用几何知识可
以证明:两条直线必平行. 可设l1:x+y+m=0,
A???1, 4?

l1

l1 lx: ? y??1 0

-1
A.

O

x

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

再求出l上一点关于点A的
对称点,由点斜式即得

所求直线为l1:x+y+9=0.

(-1,-8)

思路分析
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点 y

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程. l 思路3: 由于两条直线
平行,且与点A等距离. 可设l1:x+y+m=0, l1
A???1, 4?

O A.

x

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

由点到直线的距离公式,
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

可得m=9或m=1(舍去).

所求直线为l1:x+y+9=0.

变式训练
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程. l 思路4:直线l1就是直线 l上任意一点关于点A的
对称点的集合.
A???1, 4?

y

l1
A.

O

x

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

求解过程
变题2 已知直线l1与直线 l:x+y+1=0 关于点

A(-1,-4)对称,求直线l1的方程. l 解 设直线l 上任意一点
1

y

(x,y)关于点A的对称点为
(x0,y0),由中点公式,得
A???1, 4?

l1 (x,y)
A.

O

x

l1 lx: ? y??1 0

? x0 = -2- x , ? ? y0 = -8-y .
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

(x0,y0)

又x0+y0+1=0, 代入整理,得l1:x+y+9=0.

回顾反思
求一条直线关于一定点的对称直线,通常有 以下三种方法: ⑴取特殊点:在已知直线上取两个特殊点,求 出它们关于定点的对称点,两点确定对称直线. ⑵平行关系:关于定点对称的两条直线互相 平行,由点斜式确定对称直线. ⑶求轨迹法:求出已知直线上任意一点关于

定点的对称点的轨迹方程.

变式训练
变题3 若直线 l1:x+2y-3=0与直线 l2 关于直

线 l :x+y+1=0 对称,求直线 l2 的方程. y 思考:能否转化为我们
C(-5,4)

已经解决了的问题?
思路1:取特殊点
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A(3,0) O A1 (-1,-4)

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

答案

l2: 2x+y+6=0.
A???1, 4?

x

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

l1 l

思路2:求轨迹法

l2

变式训练
变题4 在△ABC中,已知A(-1,-4),∠B、∠C 的平分线所在直线的方程分别为y=-1和x+y+1

=0,求直线BC的方程.
答案 BC: x+2y-3=0
C

y
A1(-1,2)

关键:角的两边关于角
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

平分线成轴对称图形!
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

O
A

A2(3,0)
B

x

变式训练
变题5 在△ABC中,已知A(-1,-4),B(5, y
C B1

-1) ,内心I(0,-1),求顶点C.
①AI: 3x-y-1=0, BI: y=-1. ②A1(-1,2),B1(-4,2).
A???1, 4?

A1
O. A

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

③AC:2x+y+6=0,
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

I

x
B

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

BC:x+2y-3=0. ④C(-5,4).

回顾反思
以上我们研究了点、线之间的对称问题, 重点应掌握求点关于直线的对称点的方法,很 多问题常可通过适当的转化而归结为这一问 题来处理. 由于圆既是中心对称图形,又是轴对称

图形,有关求圆关于定点、定直线对称的圆的
方程,只需求出圆心关于定点、定直线的对称 点就可以了.

破解难点:与直线和圆有关的最值问题

问题研究

在直线和圆中,有哪些常见最值问题?

又如何解决?

典型例题2
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0.

⑴设u=x2+y2,求u的最大值和最小值; y-3 ⑵设v= , 求v的最大值和最小值. x -1

思路分析
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0.
⑴设u=x2+y2,求u的最大值和最小值; 思路1:能否通过消元,将u转化为关于x(y)的一 元函数求最值? 消元困难,函数复杂!

思路2:先由条件,将u化为:u=6x+8y-24.解得 u ? 6 x ? 24 y? , 代入条件得到关于x的二次方程 8 (u为系数),再根据二次方程有实数根的条件, 利用判别式法求解. 方法可行,运算量大!

思路分析
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0.
⑴设u=x2+y2,求u的最大值和最小值; 思路3:将条件配方为 (x-3)2+(y-4)2=1,
y
.O

你是否有了新的念头?
O

.P(x,y)

1

x

求解过程
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0.

⑴设u=x2+y2,求u的最大值和最小值.
解 将已知条件配方,得(x-3)2+(y-4)2=1,
y
.O

表示圆心是O1(3,4),半径为r=1

的圆. ∵OO1=5, ∴4≤OP≤6.
∴16≤u=OP2≤36.即 u的最大值为36,
O

.P(x,y)

1

x

u的最小值为16.

数形转换,快速求解!

回顾反思
(1)基本策略:观察结构特征,进行合理联想. (2)数学思想:数形结合. (3)思维误区:一味消元,误入困境!

思路分析
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0. y-3 ⑵设v= , 求v的最大值和最小值. x -1 斜率公式
y
.O
1

Q(1,3) O

·

.P(x,y)

x

思路分析
例2 已知实数x, y满足x2+y2-6x-8y+24=0. y-3 ⑵设v= , 求v的最大值和最小值. x -1 解 配方得(x-3)2+(y-4)2=1,表示圆心是 O1(3,4),半径为r=1的圆.
y
.O
1

设切线方程为y-3=k(x-1),
由相切条件,得 2k-1 4 =1 ? k=0, . 3 k 2+1
O

Q(1,3)

·

.P(x,y)

x

4 v的最大值是 ,最小值是0. 3

变式训练
变题1 已知圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1, 两点 A(-1,0) , B(1,0), P 为圆上的动点. 设λ=PA2+PB2, 求λ的最大值和最小值. 思路1:设P(x,y),则λ=PA2+PB2
y
.O

=(x+1)2+y2+ (x-1)2+y2
=2 (x2+y2)+2 .
A???1, 4?

.P(x,y)

1

l1 lx: ? y??1 0

16≤x2+y2≤36 , 几何

A O B

x

∴λ 的最大值是74,最小值是34.
代数 几何

变式训练
变题1 已知圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1, 两点 A(-1,0) , B(1,0), P 为圆上的动点. 设λ=PA2+PB2, 求λ的最大值和最小值. 思路2:在□APBQ中, AB2+PQ2=2 (PA2+PB2).
y
.O

而AB=2, PQ=2OP,
∴λ=PA2+PB2=2 OP2+2 . ∵4≤OP≤6 ,
Q

.P(x,y)

1

A O B

x

∴λ 的最大值是74,最小值是34.

变式训练
变题2 已知实数x、y满足:(x-3)2+(y-4)2=1, 求w=x+y的最大、最小值.
答案 wmax = 7+ 2, wmin = 7- 2.

纵截距
y x+y-w=0
.O
1

思考:已知实数x、y满足: (x-3)2+(y-4)2=1.若对一切实 数x、y,不等式x+y-m≤0恒成立,
O

x

则实数m的取值范围是 ? 7 + 2, +? m ≥ x + y恒成立 ? m ≥ ? x + y ? max . ___________. ?

?

变式训练
变题3 已知点P在圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1
上运动,点M在直线l:3x+4y-12=0上运动,求线

段MP长的最小值.
分析:点O1到直线 l 的距离为 d = 13 5
A???1, 4?

y

l
M

.P
.O
1

l1 lx: ? y??1 0

8 MP的最小值为 d-1= . 5

O

x

变式训练
变题3 已知点P在圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1
上运动,点M在直线l:3x+4y-12=0上运动,求线

段MP长的最小值. 思考1:过l上的点M向
圆所作切线长MP的最
A???1, 4?

y

l
M

.P
.O

d
O

1

l1 lx: ? y??1 0

小值是_______.

x

MP ? MO12 ? r 2
12 切线长的最小值为 d -r = . 5
2 2

变式训练
变题3 已知点P在圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1
上运动,点M在直线l:3x+4y-12=0上运动,求线

段MP长的最小值. 思 考 2 : 过圆 O1 外 一 点 M
作圆的切线 , 切点为 P ,若
M

y

.P
.O
1

MP=MO,则切线长MP的
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

O

x

最小值为______.

思路分析
变题3 已知点P在圆O1:(x-3)2+(y-4)2=1
上运动,点M在直线l:3x+4y-12=0上运动,求线

段MP长的最小值.

y

分析 设M ? x , y ?,由MP =MO, 即 MO12 ? r 2 ? MO ?

l
M

.P
.O
1

? x-3 ?

2

+? y-4 ? -1 = x 2+y 2
A???1, 4?

l1 lx: ? y??1 0

2

O

x

? 3 x+4 y-12=0. 12 答案: 5

回顾反思
研究与直线和圆有关的最值问题,通常 有以下两个解决途径: 1.从代数角度入手,利用函数、方程等 知识解决. 2.从几何角度入手,观察一些代数式的结 构特征,通过类比联想,弄清其几何背景,数 形结合解决.

廓清疑点:如何确定最值点的位置

基础知识
平面几何中的两个最值问题: 1.设A、B是位于直线l异侧的两点,则直线l上 与A、B两点距离之和最小的点就是线段AB与直线 l的交点. 2.设A、B是位于直线l同侧的两点,则直线l上 与A、B两点距离之差的绝对值最大的点就是线段 AB与直线l的交点.

问题研究
1.若A、B是位于直线l同侧的两点,如何在直 线l上求一点C,使点C与A、B两点距离之和最小?

2.若A、B是位于直线l异侧的两点,如何在直
线l上求一点C,使点C与A、B两点距离之差的绝

对值最大?

典型例题3
例3 设点 A(3,0),B(5,-1),试在直线
l: x+y+1=0上求一点C,使得C点到A和B两点

的距离之和最小.

思路分析
例3 设点 A(3,0),B(5,-1),试在直线
l: x+y+1=0上求一点C,使得C点到A和B两点

的距离之和最小.
思路1:从代数角度思考,利用直线l 的方程设

出点C的坐标为(x,-x-1),建立点C到两定
点A、B距离之和u关于x的函数,再求最值.

u=

? x-3?

2

+? x+1? +
2

? x-5 ?

2

+x 2 .

函数复杂,无从下手!

思路分析
例3 设点 A(3,0),B(5,-1),试在直线
y l
A
.B

l: x+y+1=0上求一点C,使得C点到A和B两点

的距离之和最小.
思考1:能否从几何角度

入手,寻找破题之策?
思考2:如果A、B位于直 线两侧,你会解决它吗?
A. O C

x

思路分析
例3 设点 A(3,0),B(5,-1),试在直线
y l
A
.B

l: x+y+1=0上求一点C,使得C点到A和B两点

的距离之和最小.
思路2:找对称点,化“同 侧”为“异侧”!

O A1 C

x

求解过程
解 求出A点关于 l 的对称点为A1(-1,-4).则 AC+BC=A1C+BC≥A1B,当且仅当A1, C, B 三点 共线时取等号,则点C就是 y l
A
.B

直线A1B与直线 l 的交点.
A1B:x-2y-7=0

l :x+y+1=0

O A1 C

x

5 ? x= , ? ? 3 ?? ?y ? ?8. ? 3 ?

即所求点 C ? 5 , ? 8 ? . ? 3 3? ? ?

变式探究
变题 试在直线l:x+y+1=0上求一点D,使

得D点到A(-1,-4)和B(5,-1)两点的距离之差
的绝对值最大. 分析:通过找对称点,化 “异侧”为“同侧”. 点D即为直线A1B与直 线l的交点.
答案:D ?-5,4 ? .
A. D O A1(3,0) .B

l

y

x

回顾反思
1. 求定直线上到位于该直线同侧的两个定
点的距离之和为最小的点,只需求出其中一点

关于该直线的对称点,这个对称点和另一定点
的连线与定直线的交点即为所求.

2. 求定直线上到位于该直线异侧的两个定
点的距离之差的绝对值为最大的点,只需求出

其中一点关于该直线的对称点,这个对称点和
另一定点的连线与定直线的交点即为所求.

总结提炼
主要内容 1.对称问题,主要包括: ⑴点点对称、点线对称、线点对称、线线对称; ⑵求圆关于定点、定直线的对称的圆的方程可以 转化为点点、点线对称问题.

总结提炼
2.最值问题,主要包括: ⑴求定直线上动点到直线外两点距离之和或 差的最大或最小值,其实质就是对称问题; ⑵求定直线上的动点与圆上动点距离的最小 值以及定直线上的动点向圆所引切线长的最 小值,可以转化为求圆心到该直线的距离; ⑶求一些代数式的最值问题,应善于分析其 几何背景,数形结合予以解决.





同步练习
1.已知点A ? 3,5 ? ,直线l:x ? 2 y ? 2 ? 0, 动点B、C 分别 在y轴和直线l上运动,则?ABC 周长的最小值为____. 2.已知点P ? x, y ? 在圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1上运动,则
2 2

y 的最小值是_____;动点M ? m, 3 ?向圆所引切线长 x 的最小值是_______ . 3.自点A ? ?3,3 ? 发出的光线l经x轴反射后,反射光线 所在直线与圆x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0相切,求光线l 所在直线的方程.

参考答案
1.4 5 3 2. ; 2 6 4 3.4 x ? 3 y ? 3 ? 0,3 x ? 4 y ? 3 ? 0


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