安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学文试题-有答案

合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? ?x 0 ? x ? 4? , B ? ?x ? 4 ? x ? 2? ,则 A B ?

A. ?0,4?

B. ??4,2?

C. ?0,2? D. ??4,4?

2.若复数 z 满足 z ? i ? 1? 1 ,则 z ? i

A.1

B. 3

C.2

D. 5

3.若双曲线 x2

?

y2 m2

? 1 ( m ? 0 )的焦点到渐近线的距离是 2

,则 m 的值是

A. 2

B. 2

C.1

D. 4

4.在 ?ABC 中, BD ? 1 BC ,若 AB ? a,AC ? b ,则 AD ? 3

A. 2 a ? 1 b 33

B. 1 a ? 2 b 33

C. 1 a ? 2 b 33

D. 2 a ? 1 b 33

5.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表:

空调类 冰箱类

小家电类

其它类

营业收入占比 90.10% 4.98%

3.82%

1.10%

净利润占比 95.80% -0.48%

3.82%

0.86%

则下列判断中不.正.确.的是 A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类销售数据后,该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低
6.若在 x2 ? y2 ? 1所围区域内随机取一点,则该点落在 x ? y ? 1所围区域内的概率是

A. 1

B. 2

?

?

C. 1 2?

D.1? 1 ?

7.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭;令上方六尺;问亭

方几何?”大致意思是:有一个正四棱锥下底边长为二丈,高三丈;现从上面截去一段,使之成为正四棱台状

方亭,且正四棱台的上底边长为六尺,则该正四棱台的体积是(注:1 丈 ?10 尺)

A.1946 立方尺

B.3892 立方尺

C.7784 立方尺

D.11676 立方尺

8.若将函数

f

?x?

?

2 sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?1

的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 2

(纵坐标不变)得到函数

g

?x?

的图

象,则下列说法正确的是

A.函数

g

?

x?

的图象关于点

? ??

?

? 12

,0

? ??

对称

B.函数 g ? x? 的周期是 ?
2

C.函数

g

?

x

?



? ??

0 ,? 6

? ??

上单调递增

D.函数

g

?

x?



? ??

0 ,? 6

? ??

上最大值是

1

9.设函数

f

?x?

?

?? ln x , x
???ex ? x ?1?,x

? ?

0 0

,若函数

g(x)

?

f

? x? ? b 有三个零点,则实数 b

的取值范围是

A. ?1, ???

B.

? ??

?

1 e2

,

0

? ??

C. (1, ??) {0}

D. ?0,1?

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中俯视图由两个半圆和两条

线段组成,则该几何体的表面积为

A.17? ?12

B.12? ?12

C. 20? ?12

D.16? ?12

11.函数 f ? x? ? x2 ? x sin x 的图象大致为

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 经过点(0,1),(0,3),且与 x 轴正半轴相切,若圆 C 上存在点 M , 使得直线 OM 与直线 y ? kx ( k ? 0 )关于 y 轴对称,则 k 的最小值为

A. 2 3 3

B. 3

C. 2 3

D. 4 3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23

题为选考题,考生根据要求作答.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.若“ x ? 2 ”是“ x ? m ”的必要不充分条件,则 m 的取值范围是

.

14.设等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,若 3a5 ? a1 ? 10 ,则 S13 ?

.

15.若

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?

3 3

,则

sin

? ??

? 6

?

2x

? ??

?

.

16.已知椭圆

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1,F2 , P

为椭圆 C 上一点,且 ?F1PF2

?? 3

,若

F1 关于 ?F1PF2 平分线的对称点在椭圆 C 上,则该椭圆的离心率为

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)



?ABC

中,角

A,B,C

的对边分别是

a,b,c

.已知

b

sin

? ??

C

?

? 3

? ??

?

c

sin

B

?

0

.

(Ⅰ)求角 C 的值;

(Ⅱ)若 a ? 4,c ? 2 7 ,求 ?ABC 的面积. 18.(本小题满分 12 分)

如图,三棱台 ABC ? EFG 的底面是正三角形,平面 ABC ? 平面 BCGF , CB ? 2GF , BF ? CF . (Ⅰ)求证: AB ? CG ;

(Ⅱ)若 ?ABC 和梯形 BCGF 的面积都等于 3 ,求三棱锥 G ? ABE 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:

年份 x

2014 2015 2016 2017 2018

足球特色学校 y (百 个)

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

(Ⅰ)根据上表数据,计算 y 与 x 的相关系数 r ,并说明 y与x 的线性相关性强弱(已知:0.75 ? r ? 1 ,则认为

y与x 线性相关性很强;0.3 ? r ? 0.75 ,则认为 y与x 线性相关性一般; r ? 0.25 ,则认为 y与x 线性相关性较弱);

(Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程,并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数(精确到个).

参 考 公 式 : r?

n
?? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

n

?? xi ? x ?2 ?? yi ? y ?2

i ?1

i ?1

n

n

, ?? xi ? x ?2 ? 10 , ?? yi ? y ?2 ? 1.3 ,

i ?1

i ?1

13 ? 3.6056 ,

n

?? xi ? x ?? yi ? y ?

b? ? i?1 n
?? xi ? x ?2

,a? ? y ? b?x.

i ?1

20.(本小题满分 12 分) 已知直线 l : x ? y ?1 ? 0 与焦点为 F 的抛物线 C : y2 ? 2 px ( p ? 0 )相切.(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A , B 两点,求 A , B 两点到直线 l 的距离之和的最小值.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x2 ? 3ax ? a2 ln x ( a?R ). (Ⅰ)求 f ? x? 的单调区间; (Ⅱ)若对于任意的 x ? e2 ( e 为自然对数的底数), f ? x? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做的第一个题目计

分,作答时,请用 2B 铅笔在答题卡上,将所选题号对应的方框涂黑.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C1

的参数方程为

?x ? 2 cos?

? ?

y ? sin?

(?

为参数).在以原点

O

为极点, x

轴正半轴为极轴

建立极坐标系,曲线 C2 极坐标方程为 ?2 ? 4? sin? ? 3 .

(Ⅰ)写出曲线 C1 和 C2 的直角坐标方程;

(Ⅱ)若 P,Q 分别为曲线 C1 和 C2 上的动点,求 PQ 的最大值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
已知 f ? x? ? 3x ? 2 . (Ⅰ)求 f ? x? ? 1的解集;
(Ⅱ)若 f ? x2 ? ? a x 恒成立,求实数 a 的最大值.

合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

二、填 答案 C

D

A

A

B

B

B

C

D

C

A

D 空题:

本大题

共4小

题,每小题 5 分,共 20 分.

13. m ? 2

14.65

15. 1 3

16. 3 3

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)

解:

(Ⅰ)∵

b

sin

??? C

?

? 3

? ??

?

c

sin

B

?

0





sin

B

? ???

1 2

sin

C

?

3 2

cos

C

? ???

?

sin

C

sin

B

?

0



∴ 1 sin C ? 2

3 2

cos

C

?

0

,∴

sin

? ??

C

?

? 3

? ??

?

0

.

∵ C ??0,? ? ,∴ C ? 2? .
3

…………………………5 分

(Ⅱ)∵ c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ,∴ b2 ? 4b ?12 ? 0 ,

∵ b ? 0 ,∴ b ? 2 ,

∴ S ? 1 absin C ? 1 ? 2? 4? 3 ? 2 3 .

2

2

2

…………………………12 分

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明: 取 BC 的中点为 D ,连结 DF . 由 ABC ? EFG 是 三 棱 台 得 , 平 面 ABC // 平 面 EFG , ∴ ∵ CB ? 2GF ,

∴ CD ?//GF ,

∴四边形 CDFG 为平行四边形,∴ CG // DF .

∵ BF ? CF , D 为 BC 的中点,

∴ DF ? BC ,∴ CG ? BC .

∵平面 ABC ? 平面 BCGF ,且交线为 BC ,CG ? 平面 BCGF ,

∴ CG ⊥平面 ABC ,而 AB ? 平面 ABC ,

∴ CG ? AB .

…………………………5 分

(Ⅱ)∵三棱台 ABC ? EFG 的底面是正三角形,且 CB ? 2GF ,

∴ AC ? 2EG ,∴ S?ACG ? 2S?AEG ,

∴ VG? ABE

? VB? AEG

?

1 2 VB? ACG

?

1 2

VG

?

ABC

.

由(Ⅰ)知, CG ? 平面 ABC .

∵正 ?ABC 的面积等于 3 ,∴ BC ? 2 , GF ?1.

∵直角梯形 BCGF 的面积等于 3 ,

∴ ?1? 2??CG ? 3 ,∴ CG ? 2 3 ,

2

3

∴ VG?ABE

?

1 2 VG?ABC

?

11 2 ? 3 ? S?ABC

? CG

?

1 3

.…………………………12



19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) x ? 2016,y ?1, r ? ∴ y与x 线性相关性很强.

n

?? xi ? x ?? yi ? y ?

i ?1

?

n

n

?? xi ? x ?2 ?? yi ? y ?2

i ?1

i ?1

3.6 ? 3.6 ? 0.75 , 10 1.3 3.6056

…………………………5 分

BC // FG .

5

(Ⅱ)

b?

?

?
i ?1

?

xi

?

x

??

yi

?

y

?

?

? ?2? ?

? ?0.7 ?

?

??1?

?

??0.4?

? 1?

0.4

?

2?

0.7

?

0.36



5
?? xi ? x ?2

4?1?0?1? 4

i ?1

a? ? y ? b?x ? 1? 2016? 0.36 ? ?724.76 ,

∴ y 关于 x 的线性回归方程是 y? ? 0.36x ? 724.76 .

当 x ? 2019时, y? ? 0.36x ? 724.76 ? 2.08 ,

即 A 地区 2019 年足球特色学校有 208 个.

…………………………12 分

20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵直线 l : x ? y ?1 ? 0 与抛物线 C 相切.



?x ? ?

? y ?1? 0 y2 ? 2 px

消去

x

得,

y2

?

2

py

?

2

p

?

0

,从而

?

?

4

p2

?

8p

?

0

,解得

p

?

2

.

∴抛物线 C 的方程为 y2 ? 4x .

…………………………5 分

(Ⅱ)由于直线 m 的斜率不为 0,所以可设直线 m 的方程为 ty ? x ?1 , A ( x1,y1 ), B ( x2,y2 ).



?ty ? x ?1

? ?

y2

?

4x

消去

x

得,

y2

?

4ty

?

4

?

0



∴ y1 ? y2 ? 4t ,从而 x1 ? x2 ? 4t2 ? 2 , ∴线段 AB 的中点 M 的坐标为( 2t2 ?1,2t ).

设点 A 到直线 l 的距离为 d A ,点 B 到直线 l 的距离为 dB ,点 M 到直线 l 的距离为 d ,则

2t2 ? 2t ? 2

dA ? dB ? 2d ? 2 ?

?2 2

2 t2 ?t ?1 ? 2

2

? ??

t

?

1 2

? ??

2

?

3 4



∴当 t ? 1 时,可使 A 、 B 两点到直线 l 的距离之和最小,距离的最小值为 3 2 .

2

2

…………………………12 分

21.(本小题满分 12 分)
解:(Ⅰ) f ? x? 的定义域为( 0,? ? ).

f ??x?

?

2x ? 3a ?

a2

?

2x2

? 3ax ? a2

?

2

? ??

x

?

a 2

? ??

?

x

?

a

?

.

x

x

x

⑴当 a ? 0 时, f ?? x? ? 0 恒成立, f ? x? 的单调递增区间为( 0,? ? ),无单调递减区间;

⑵当

a

?

0 时,由

f

??

x?

?

0

解得

x

?

? ??

0 ,a 2

? ??

? a,?

??

,由

f

??x?

?

0

解得

x

?

? ??

a 2

,a

? ??

.



f

?x?

的单调递增区间为

? ??

0 ,a 2

? ??

和 ?a,? ??

,单调递减区间是

? ??

a 2

,a

? ??

.

…………………………5 分

(Ⅱ)

①当 a ? 0 时, f ?? x? ? 0 恒成立, f ? x? 在( 0,? ? )上单调递增,

? ? ∴ f (x) ? f e2 ? e4 ? 3ae2 ? 2a2 ? 0 恒成立,符合题意.

②当 a ? 0 时,由(Ⅰ)知, f ? x? 在

? ??

0 ,a 2

? ??



?a,?

??

上单调递增,在

? ??

a 2

,a

? ??

上单调递减.

(ⅰ)若

0

?

e2

?

a 2

,即

a

?

2e2

时,

f

?x?



???e2,a2

? ??

上单调递增,在

? ??

a 2

,a

? ??

上单调递减,在

?a,?

??

上单调递

增.

∴对任意的实数 x ? e2 , f ? x? ? 0 恒成立,只需 f ?e2 ? ? 0 ,且 f ?a? ? 0 .

而当 a ? 2e2 时,

? ? f e2 ? 2a2 ? 3ae2 ? e4 ? (2a ? e2 )(a ? e2 ) ? 0 且 f ?a? ? a2 ? 3a2 ? a2 ln a ? a2 (ln a ? 2) ? 0 成立.

∴ a ? 2e2 符合题意.

(ⅱ)若

a 2

?

e2

?

a

时,

f

?x?



? ??e2,a

上单调递减,在 ?a,? ??

上单调递增.

∴对任意的实数 x ? e2 , f ? x? ? 0 恒成立,只需 f ?a? ? 0 即可,

此时 f ?a? ? a2 ? 3a2 ? a2 ln a ? a2 (ln a ? 2) ? 0 成立,

∴ e2 ? a ? 2e2 符合题意.
? (ⅲ)若 e2 ? a , f ? x? 在 ??e2,? ? 上单调递增.

? ? ∴对任意的实数 x ? e2 , f ? x? ? 0 恒成立,只需 f e2 ? e4 ? 3ae2 ? 2a2 ? 0 ,

? ? ? ?? ? 即 f e2 ? e4 ? 3ae2 ? 2a2 ? 2a ? e2 a ? e2 ? 0 ,

∴ 0 ? a ? e2 符合题意. 2

综上所述,实数

a

的取值范围是

? ? ?

??,e2 2

? ? ?

? ??e2,? ? .

…………………………12 分

22.(本小题满分 10 分)

解:(Ⅰ)曲线 C1 的直角坐标方程为

x2 4

?

y2

?1,

曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 4y ? 3,即 x2 ? ? y ? 2?2 ? 1 .…………………………5 分

(Ⅱ)设 P 点的坐标为( 2cos?,sin? ).

PQ ? PC2 ?1 ? 4cos2 ? ? ?sin? ? 2?2 ?1 ? ?3sin2 ? ? 4sin? ? 8 ?1

当 sin? ? ? 2 时, PQ = 2 21 ?1 .

3

max

3

…………………………10 分

23.(本小题满分 10 分)
解:(Ⅰ)由 f ? x? ? 1得, | 3x ? 2 |? 1 ,

所以, ?1? 3x ? 2 ?1,解得 ?1 ? x ? ? 1 , 3

所以,

f

?

x?

?

1 的解集为

????1,?

1? 3 ??

.

? ? (Ⅱ) f x2 ? a x 恒成立,即 3x2 ? 2 ? a x 恒成立.

当 x ? 0 时, a?R ;

当 x ? 0 时, a ? 3x2 ? 2 ? 3 x ? 2 .

x

x

…………………………5 分

因为 3 x ? 2 ? 2 6 (当且仅当 3 x ? 2 ,即 x ? 6 时等号成立),

x

x

3

所以 a ? 2 6 ,即 a 的最大值是 2 6 .

…………………………10 分


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