人教A版高中数学必修四课件:2-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 2-3-3 平面向量的坐标运算3_图文

2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【知识提炼】 1.平面向量正交分解的定义 把一个平面向量分解为两个_________的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与 x轴、y轴方 互相垂直 向相同的两个 _________i,j作为_____. 单位向量 基底 (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且仅有一对实数x, y,使得 a=_____,则有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标. xi+yj (3)坐标表示:a=(x,y). (4)特殊向量的坐标:i=_______,j=_______,0=(0,0). (1,0) (0,1) 3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ ∈R,则有下表: 文字描述 符号表示 (x1+x2,y1+y2) 加 法 两个向量和的坐标分别 等于这两个向量相应坐 a+b=_____________ 和 标的___ 两个向量差的坐标分别 差 (x1-x2,y1-y2) 减 法 等于这两个向量相应坐 a-b=_____________ 标的___ 文字描述 数 乘 实数与向量的积的坐 符号表示 (λx1,λy1) 标等于用这个实数乘 λ a=____________ 原来向量的相应坐标 一个向量的坐标等于 重 表示此 要 向量的有向线段的 终点 起点 已知A(x1,y1),B(x2 ,y 2) , 则 AB (x2-x1,y2-y1) 结 _____的 论 坐标减去_____的坐 =_____________ 【即时小测】 1.思考下列问题. (1)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点? 提示:与x轴平行的向量的纵坐标为0,即a=(x,0); 与y轴平行的向量的横坐标为0,即b=(0,y). (2)若把向量 平移到 ,则 和 的坐标相同吗? OA BC BC BC 的坐标 OA 是C点的坐标吗? 提示:相同, 的坐标不是C点的坐标,只有点B与原点 O重合时 BC 的 BC 坐标才是C点坐标. 2.如图所示,在矩形ABCD中,AC与BD交于点O,下列 是正交分解的 是( ) 【解析】选B.由于 交分解. A.AB ? OB ? OA C.AD ? AB ? BD ,则 B.BD ? AD ? AB D.AB ? AC ? CB 是正 AD ? AB BD ? AD ? AB 3.在平面直角坐标系内,已知i,j是两个互相垂直 的单位向量,若a=i-2j,则向量用坐标表示 a=________. 【解析】由于i,j是两个互相垂直的单位向量, 所以a=(1,-2). 答案:(1,-2) 4.若a=(2,3),b=(-3,1),则a+b=________. 【解析】a+b=(2,3)+(-3,1)=(-1,4). 答案:(-1,4) 5.若点M(3,5),点N(2,1),用坐标表示向量 MN =_______ 【解析】 =(2,1)-(3,5)=(-1,-4). MN 答案:(-1,-4) 【知识探究】 知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示 观察图形,回答下列问题: 问题1:点的坐标与向量的坐标有什么区别? 问题2:相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、 终点一定相同吗? 【总结提升】 1.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而 与它们的具体位置无关. (2)向量确定后,向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方 法:一种是几何法,即用向量的长度和方向表示; 另一种是坐标法,即用一对有序实数表示.有了向量 的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来 2.辨析点的坐标与向量坐标 (1)平面向量的坐标只有当起点在原点时,向量的坐 标才与向量终点的坐标相同. (2)书写不同:向量a=(x,y)中间用等号连接,而点 的坐标A(x,y)中间没有等号. (3)在平面直角坐标系中,符号(x,y)可表示一个点, 也可表示一个向量,叙述中应指明点(x,y)或向量 (x,y). (4)给定一个向量,它的坐标是唯一的,对应一对实 数,由于向量可以平移,故以这对实数为坐标的向 量有无穷多个. 注意:相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向 量的起点、终点的坐标却可以不同. 知识点2 平面向量的坐标运算 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:两个向量的和与差、实数与向量的积的坐标 如何运算? 问题2:求向量 的坐标需要哪些向量? AB 问题3:向量可以平移,平移前后它的坐标发生变化 吗? 【总结提升】 1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)等价于a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即 a+b=(x1+x2,y1+y2),同理可得a-b=(x1-x2,y1-y2). 这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和(差). 2.实数与向量的积的坐标 由a=(x,y),可得a=xi+yj,则 λ a=λ (xi+yj)=λ xi+λ yj.从而λ a=(λ x,λ y).这 就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原 来向量的相应坐标. 【题型探究】 类型一 平面向量的坐标表示 【典例】1.已知基向量i=(1,0),j=(0,1),m=4i-j,则m 的坐标 是( ) A.(4,1) B.(-4,1) C.(4,-1) D.(-4,-1) 2.如图,取与x轴、y轴同向的两个单位向量i,j作为 基底,分别用i,j表示 并求出它们的坐标. OA, OB, AB, 【解题探究】1.典例1中向量i与向量j有什么关系? 提示:向量i与向量j垂直. 2.典例2中,点A,B的坐标分别是多

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