河南省洛阳市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案

洛阳市 2014-2015 学年高中三年级期末考试 数 学 试 卷(理 A)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 ? ? x x 2 ? 4 x ? 12 ? 0 , ? ? ? x x ? 2? ,则 ? A. ? x x ? 6? B.? x ?2 ? x ? 2? C. ? x x ? ?2? )
i C. ?i D.

?

?

? ? ?? ? (
R



D. ? x 2 ? x ? 6?

2、设 i 为虚数单位,复数
3 A. i 5

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i 3 ? i B. 5

3、已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的焦距为 10 ,点 ? ? 2,1 ? 在 C 的渐近线 a 2 b2

上,则 C 的方程为(
x2 y 2 ?1 A. ? 20 5

) B.
x2 y 2 ? ?1 5 20 x2 y 2 ?1 C. ? 80 20
x2 y 2 ?1 D. ? 20 80

4、 若程序框图如图所示, 则该程序运行后输出 k 的值是 ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7



5、已知命题 p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 有 x2 ? x ? 1 ? 0 .给出下列结论:

5 ;命题 q : ?x ? R ,都 2

①命题“ p ? q ”是真命题;②命题“ p ? ? ?q ? ”是假命题; ③命题 “ ? ?p ? ? q ” 是真命题; ④命题 “ ? ?p ? ? ? ?q ? 是假命题. 其中正确的命题是( A.②③ ) C.③④ D.①②③

B.②④

1 6 、已知角 ? 的终边经过点 ? ? 3, a ,若点 ? 在抛物线 y ? ? x 2 的准线上,则 4
sin? ? (

?

?



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A.?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

7、在平面直角坐标系内,若曲线 C : x2 ? y2 ? 2ax ? 4ay ? 5a2 ? 4 ? 0 上所有的点均在 第四象限内,则实数 a 的取值范围为( A. ? ??, ?2? B. ? ??, ?1? ) C. ?1, ??? D. ? 2, ???

8 、已知直线 m : x ? 2 y ? 3 ? 0 ,函数 y ? 3 x ? cos x 的图象与直线 l 相切于 ? 点,若
l ? m ,则 ? 点的坐标可能是(


? 3? ? ? C. ? , ? ? 2 2? ? 3? ? ? D. ?? ,? ? 2? ? 2

? ? 3? ? A. ?? ,? ? 2 ? ? 2

? ? 3? ? B. ? , ? ?2 2 ?

1 ?? ? 9、把函数 y ? sin ? x ? ? 图象上各点的横坐标缩小到原来的 (纵坐标不变) ,再 2 6? ?

将图象向右平移 A. x ? ?

? 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( 3
B.x ? ?

) D.x ?

?

?

2 4 8 4 10、在平面直角坐标系 x?y 中,点 ? 与 ? 关于 y 轴对称.若向量 a ? ?1, k ? ,则满足

C. x ?

?

?

不等式 ?? ? a ? ?? ? 0 的点 ? ? x, y ? 的集合为(
2



? ? C. ?? x, y ? ? x ?1? ? y ? 1?
A. ? x, y ? ? x ? 1? ? y 2 ? 1
2 2 2

B. ? x, y ? x 2 ? y 2 ? k 2

?

?

D. ? x, y ? ? x ? 1? ? y 2 ? k 2
2

?

?

11、如图是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的 表面积为( )

A.200? B.150? C.100? D.50? 2 12 、 设 二 次 函 数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的 导 函 数 为 f ? ? x ? . 对 ?x ? R , 不 等 式

f ? x ? ? f ? ? x ? 恒成立,则
A. 6 ? 2

b2 的最大值为( a 2 ? 2c 2

) D.2 2 ? 2

B. 6 ? 2

C.2 2 ? 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

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2? ? 13、在 ? x ? ? 的展开式中,常数项是 x? ?

6



? x ? 1, ?1 ? x ? 0 14、函数 f ? x ? ? ? x 的图象与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的封闭图形的面积 e , 0 ? x ? 1 ?
为 . 15、将 5 名实习老师分配到 4 个班级任课,每班至少 1 人,则不同的分配方法数是 (用数字作答). 16、如图,在 ??? C 中, sin
???C 3 , ?? ? 2 ,点 D 在线段 ? 2 3 4 3 ,则 cos C ? 3

? C 上,且 ?D ? 2DC , ?D ?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17 、 (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意正整数 n 都有

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 设 bn ? log 1 an ,求 ?n ?
2

6Sn ? 1? 2an .

1 1 1 . ? 2 ? ??? ? 2 b ? 1 b2 ? 1 bn ? 1
2 1

18、 (本小题满分 12 分)在某学校的一次选拔性考试中,随机抽取了 100 名考生的 成绩(单位:分) ,并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表:

?1? 求抽取的样本平均数 x 和样本方差 s2 (同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表) ;
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? 2 ? 已知这次考试共有 2000 名考生参加,如果近似地认为这次成绩 z 服从正态分布
复试线,那么在这 2000 名考生中,能进入复试的有多少人?(附: 161 ? 12.7 ,若 z ? ? ? , ? 2 ? ,则 ? ? ? ? ? ? z ? ? ? ? ? ? 0.6826 , ? ? ? ? 2? ? z ? ? ? 2? ? ? 0.9544 )

? ? ? , ? 2 ? (其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 s 2 ) ,且规定 82.7 分是

? 3? 已知样本中成绩在 ?90,100? 中的 6 名考生中,有 4 名男生,2 名女生,现从中选 3 人进行回访,记选出的男生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望 ? ?? ? .

19、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 ? ? ??CD 中,底面 ?? CD 是直角梯形,
?D//?C , ??DC ? 90 ,平面 ??D ? 底面 ?? CD , Q 为 ?D 的中点, ?? ? ?D ? 2 ,

?C ?

1 ?D ? 1 , CD ? 3 . 2

?1? 求证:平面 ?Q? ? 平面 ??D ; ? 2 ? 在棱 ?C 上是否存在一点 ? ,使二面角 ? ? ?Q ? C 为 30 ?若存在,确定 ? 的位
置;若不存在,请说明理由.

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,一个 2 2 a b 2 焦点与抛物线 y ? 4x 的焦点重合,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 ? , ? 两点. ?1? 求椭圆 C 的标准方程;

20、 (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

? 2 ? 设 ? 为坐标原点, k?? ? k??
定值;若不是,说明理由.

b2 ? ? 2 ,判断 ???? 的面积是否为定值?若是,求出 a

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21、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? ln x ? ax2 ? ?1? 2a ? x ( a ? 0 ) .

?1? 若 ?x ? 0 ,使得不等式 f ? x? ? 6a2 ? 4a 成立,求实数 a 的取值范围; ? 2 ? 设函数 y ? f ? x? 图象上任意不同的两点为 ?? x1, y1 ? 、? ? x2 , y2 ? ,线段 ?? 的中点 为 C ? x0 , y0 ? ,记直线 ?? 的斜率为 k ,证明: k ? f ? ? x0 ? .

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?? 是 ? 的切线, ? 为切点, ?D ? 是 ? 的割线, C 是 ? 外一点,且 ?? ? ?C ,连接 ?D , ?? , CD , C ? , CD 交 ? 于 F , C ? 交 ? 于 G . ?1? 求证: ?? ? CD ? ?D ? C? ;

? 2 ? 求证: FG//?C .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? x ? 2 ? 3t 在平面直角坐标系 x?y 中,过点 ? ? 2, 0? 的直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参 ? ?y ? t 数) ,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 9 .以坐标原点 ? 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系. ?1? 求直线 l 和圆 C 的极坐标方程;

? 2 ? 设直线 l 与圆 C 相交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值.

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 5 ?1? 设函数 f ? x ? ? x ? ? x ? a , x ? R ,若关于 x 的不等式 f ? x? ? a 在 R 上恒成立, 2 求实数 a 的最大值; 3 2 1 ? 2 ? 已知正数 x , y , z 满足 x ? 2 y ? 3z ? 1,求 ? ? 的最小值. x y z

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洛阳市 2014-2015 学年高中三年级期末考试 数 学 试 卷(理 A)参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题 13、 60 三、解答题 14、 e ?
1 2

1 C

2 D

3 A

4 B

5 A

6 D

7 A

8 B

9 A
7 9

10 C

11 D

12 B

15、 240

16、

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