889173com:高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示知识导航学案北师大版必修4

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§6 平面向量数量积的坐标表示

知识梳理 1.向量数量积的坐标表示 已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a·b=a1b1+a2b2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘 积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示
已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 a⊥b ? a1b1+a2b2=0;a⊥b ? (a1,a2)∥(-b2,b1).
3.向量的长度、距离和夹角公式(度量公式)
(1)长度公式:已知 a=(a1,a2),则|a|= a21 ? a22 .

(2)距离公式:如果 A(x1,y1),B(x2,y2),则| AB |= (x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

(3) 夹 角 公 式 : 已 知 a=(a1,a2) , b=(b1,b2) , 则 两 个 向 量 a 、 b 的 夹 角 为 cos 〈 a,b 〉

=

a1b1 ? a2b2

.

a12 ? a2 2 b12 ? b2 2

知识导学 1.复习平面向量的坐标表示,向量共线和垂直的条件,向量的长度和夹角的概念. 2.本节的重点是向量数量积的应用,难点是灵活应用数量积解决有关问题. 疑难突破 1.为什么向量的数量积能用坐标表示? 剖析:由于向量能用坐标表示,那么向量的数量积也能用坐标表示,因此其突破方法是利用 平面向量的坐标表示来推导. 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),x 轴上单位向量 i,y 轴上单位向量 j, 则 i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0. ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2, 即 a·b=x1x2+y1y2. 用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想,进一步体会到数形结合 思想在解决数学问题时所带来的便利. 2.为什么(a·b)c=a(b·c)不成立? 剖析:难点是总认为此等式成立.突破路径 1:否定一个等式,只需举一个反例即可;突破 路径 2:利用数量积的几何意义来证明;突破路径 3:利用反证法通过向量数量积的坐标表 示来证明等式不成立.

1

方法一:举反例.

如图 2-6-1 所示,设 OA =a,OB =b,OC =c,且| OA |=1,| OB |=2,| OC |=3,〈 OA , OB 〉

= ? ,〈 OC , OB 〉= ? ,则〈 OC , OA 〉= ?? .

3

3

3

∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=1,b·c=|b||c|cos〈b,c〉=3.

∴(a·b)c=c,a(b·c)=3a.很明显 c=3a 不成立,

图 2-6-1 ∴(a·b)c=a(b·c)不成立. 再例如:a=(1,2),b=(-3,4),c=(6,-5), 则(a·b)c= [1×(-3)+2×4](6,-5)=3(6,-5)=(18,-15), a(b·c)=(1,2)[-3×6+4×(-5)]=(-38)(1,2)=(-38,-72). ∴(a·b)c=a(b·c)不成立. 方法二:下面用向量数量积的几何意义来分析. 由于向量的数量积是实数,则设 a·b=λ ,b·c=μ . 则(a·b)c=λ c,a(b·c)=μ a. 由于 c,a 是任意向量,则 λ c=μ a 不成立. ∴(a·b)c=a(b·c)不成立. 方法三:下面用向量数量积的坐标表示来分析. 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3). 则 a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2. ∴(a·b)c=(x1x2+下标 y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3), a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3). 假设(a·b)c=a(b·c)成立, 则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3), ∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3, x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3. ∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1. ∴y2(y1x3-x1y3)=0,x2(x1y3-x3y1)=0. ∵b 是任意向量, ∴x2 和 y2 是任意实数. ∴y1x3-x1y3=0. ∴a∥c. 这与 a,c 是任意向量,即不一定共线相矛盾. ∴假设不成立. ∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
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