高中数学 2.2同角三角函数的基本关系课件 新人教A版必修4_图文

1.2.2同角三角函数 的基本关系 教学目的: 1、能根据三角函数的定义导出同角三角函 数的基本关系式; 2、掌握三种基本关系式之间的联系; 3、熟练掌握已知一个角的三角函数值求其 它三角函数值的方法; 4、根据三角函数关系式进行三角式的化简 和证明。 教学重点、难点: 重点:三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。 难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。 知识复习 回顾三角函数的定义. 三角函数的定义 在角?的终边上任取点P ( x, y(端点除外),则: ) y ??R sin ? ? r x ??R cos ? ? r y tan ? ? x 有何联系? {? ? ? k? ? ? 2 ,k ? Z} 探究: sin ?, cos ?, tan ?之间有何关系? 在直角三角形 OMP中由勾股定 理很容易得到: P(cos ?,P(x,y) sin ?) y sin ? ? cos ? ? 1 2 2 由正切函数定义很容易得到: ? O x M A(1,0) sin ? tan? ? cos ? (1) sin ? ? y; (2) cos ? ? x; y (3) tan ? ? ? x ? 0 ? ; x 同角三角函数的基本关系 平方关系: 商数关系: 倒数关系: sin ? ? cos ? ? 1 2 2 sin ? ? tan ? ? (? ? k? ? , k ? Z ) cos ? 2 tan ? ? cot ? ? 1 同一个角 ? 的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角 ?的正切. 对于上述两个公式,你觉得怎样理解? “同角”二层含义: 一是”角相同”, 二是”任意”一个角. 1、同角的理解: sin2 4? ? cos2 4? ? 1 sin (? ? ? ) ? cos (? ? ? ) ? 1 2 2 2 2 2、 是 的简写形式,与 (sin ? ) sin ? sin? 2 不同。 3、公式可以变形使用 ,同时注意公式的正用、逆用。 知识探究 :基本变形 思考1:对于平方关系 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 可作哪些变形? sin ? ? 1 ? cos ? , 2 2 cos ? ? 1 ? sin ? , 2 2 (sin a - cos a ) = 1 - 2 sin a cos a , (sin a + cos a ) = 1 + 2 sin a cos a , 1 + cos a sin a = , sin a 1 - cos a 2 2 1 + sin a cos a = . cos a 1 - sin a sin ? 思考2:对于商数关系 ? tan ? 可作 cos ? 哪些变形? sin ? ? cos ? tan ? , sin ? cos ? ? . tan ? 思考3:结合平方关系和商数关系, 可得到哪些新的恒等式? 1 cos a = , 2 1 + t an a 2 t an a sin a = . 2 1 + t an a 2 2 是否存在同时满足下列三个条件的角 3 (1) sin ? ? ? 5 5 ( 2) cos ? ? ? 13 ?? 不存在 (3) t an? ? 2 归纳探索 sin ? 30? 45? 60? 150? 1 2 2 2 3 2 cos? tan ? 3 2 2 2 sin ? ? cos ? 2 2 3 3 1 1 1 1 sin ? cos ? 3 3 1 3 3 ? 3 1 3 ? 3 3 1 2 1 2 3 ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 sin ? tan ? ? cos ? r? x ?y 2 基本关系 2 y y sin α ? r x cos ? ? r P ( x, y ) y tan ? ? x r O x sin2 ? ? cos2 ? ? 1 sin ? tan ? ? cos ? 同角公式 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 sin ? ? 1 ? cos ? 2 2 sin? ? ? 1 ? cos ? 2 cos ? ? 1 ? sin ? 2 2 cos? ? ? 1 ? sin ? 2 典型例题 cos ? , tan ? , cot ? 类型一:求值 12 例1.(1)已知 sin ? ? ,并且 ? 是第二象限角,求 13 4 (2)已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? 5 2 2 解:(1)∵sin ? ? cos ? ? 1 ∴ cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? (12 ) 2 ? ( 5 ) 2 13 13 5 又∵? 是第二象限角,∴ cos ? ? 0,即有cos ? ? ? 从而 tan ? ? sin ? ? ? 12 cos ? 5 2 2 (2)∵ sin ? ? cos ? 4 cos ? ? ? ? 0∴ 又∵ 在第二或三象限角。 3 当? 在第二象限时,即有 sin ? ? 0 ,从而 sin ? ? 5 ? 13 1 5 cot ? ? ?? tan ? 12 4 2 3 2 2 2 ? 1∴sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? (? ) ? ( ) 5 5 tan ? ? sin ? 3 ?? cos ? 4 当 ? 在第四象限时,即有 sin ? ? 0,从而 5 3 sin ? 3 sin ? ? ? tan ? ? ? 5 cos ? 4 P19例6 3 ? 已知,sin ? ? ? 求 cos ? , tan ? 的值。 5 3 解: sin ? ? ? ? 0 ?? ? III 或? ? IV 5 (1)当 ? ? III 时 cos ? ? 0 s

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