浙江省台州中学2015届高三上学期第三次统练试题数学(理)

浙江省台州中学 2015 届高三上学期第三次统练试题数学 (理)
参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 锥体的体积公式 V ? 球的表面积公式 S ? 4? R 球的体积公式
2

1 Sh 3

4 V ? ? R3 3

其中 R 表示球的半径

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 台体的体积公式

1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

?

?

其中 S1 , S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目 要求的) 1.已知集合 M ? {x | x ? 2x ? 3 ? 0} , N ? { y | y ? 2 ? 1} ,则 M A. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | 1 ? x ? 3} C. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | 1 ? x ? 3}
2 x

N? (



2. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( A.4 B.



14 3

C.

16 3

D.6

3. "数列 an ? aqn 为递增数列"的一个充分不必要条件是( A. a ? 0, q ? 1 4. 将函数 y ? cos( x ? B. a ? 0, q ? 0 C. a ? 0, q ? 0

) D. a ? 0, 0 ? q ?

?
3

1 2

) 的图像上各点的横坐标伸长到原的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平移
) C. x ?

? 个单位, 6

所得图像的一条对称轴方程为( A. x ?

?
9

B. x ?
3

?
8

?
2

D. x ? ? )

5.已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ? ( A. ? 5 B. ? 1 C. 3 D. 4

6. 下列命题正确的是( ) A.异面直线 a , b 不垂直,则不存在互相垂直的平面 ? , ? 分别过 a , b ; B.直线 l 不垂直平面 ? ,则 ? 内不存在与 l 垂直的直线; C.直线 l 与平面 ? 平行,则过 ? 内一点有且只有一条直线与 l 平行; D.平面 ? , ? 垂直,则过 ? 内一点有无数条直线与 ? 垂直. 7 . 若 函 数 f ( x) ? ka ? a (a ? 0且a ? 1) 在 ( ?? ,
x ?x

?? ) 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则 函 数

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是(


-1-

8.在 ?ABC 中, D 是 BC 边上一点, BD ? 3DC ,若 P 是 AD 边上一动点,且 AD ? 2 , 则 PA ( PB ? 3PC) 的最小值为( A. ? 4 ) B. ?3 C. ?2 D. ?1 2 9. 设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点 M 在 C 上, MF ? 5 , 若以 MF 为直径的圆过点 (0,2) , 则 C 的方程为( ) 2 2 A. y ? 4 x 或 y ? 8 x C. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x

10. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

? a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图 ?b, a ? b 像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 的最大值为( )

?

?

A.4 B .3 C.2 二、填空题(本大题共 7 小题, 每小题 4 分,共 28 分) 11.设 a ? 1 , b ? 2 ,且 a, b 夹角 1200 ,则 2 a ? b = 12. 若 tan ? ? 2 ,则

D.1 . .

sin 2? ? 1 = sin ? ? 4 cos 2 ?
2

? 0 ? x ? 2, ? 13.已知关于 x, y 的不等式组 ? ax ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域的面积为 4,则 a 的值为 ? x? y?2?0 ?
14. 已知数列 ?an ? 为等差数列, 首项 a1 ? 1 , 公差 d ? 0 , 若 ak1 , ak2 , ak3 ,



, ak n ,

成等比数列, 且 k1 ? 1 ,

k2 ? 2 , k3 ? 5 ,则 k 4 ?



15.如图, 已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 球,则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为 知正实数 a , b 满足 2a ? b ? 1 ,则 4a ? b ?
2 2

D1

C1 的内切 B1 ·O D C 点,过 16. 已

. A1

1 的最小值 ab



.
x
2 2

17. 已知点 P 为双曲线

? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一 a b2 点 P 作双曲线的渐近线的平行线,分别与两渐近线交于
-2-

?

y

2

A

B

M,N

两点,若 PM ? PN ? b 2 ,则该双曲线的离心率为

.

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤) b sin 2C 18. (本题满分 14 分)在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 ? . a sin A 5 (Ⅰ)若 C ? ? ,求角 B 的大小; 12 ? ? (Ⅱ)若 b ? 2 , ? C ? ,求△ ABC 面积的最小值. 3 2

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

? 点 ? n, S n ? n ? N 均在函数 y ? f ? x ? 的图象上.

?

?

1 2 3 x ? x ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 2 2

(I)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (II)令 cn ?

an an ?1 ,证明: 2n ? c1 ? c2 ? ? an ?1 an

? cn ? 2n ?

1 . 2

ADEF 为梯形, AF ∥ DE , 20.(本题满分 15 分) 如图, 平面 ABCD ⊥平面 ADEF , 其中 ABCD 为矩形, AF ? FE , AF ? AD ? 2 DE ? 2 . (Ⅰ) 求异面直线 EF 与 BC 所成角的大小;
(Ⅱ) 若二面角 A ? BF ? D 的平面角的余弦值为 ,求 AB 的长.
B C

1 3

A

D E F (第 20 题图)

M , N 分别是椭圆 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, a2 b2 1 E 的左、右顶点,直线 PM , PN 的斜率的乘积等于 ? . 4 (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率 e 的值; (Ⅱ)过椭圆 E 的右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆于 A, B 两点, O 为坐标原点,

21.

(本小题满分 15 分) 若 P( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? ? a) 是椭圆 E :

x2

?

y2

若 C 为椭圆上一点,满足 OC ? ?OA ? OB ,求实数 ? 的值.

y B

M
A
-3-

O
F

N
x

(21 题)

22.(本小题满分 14 分)已知 a, b 是实数,函数 f ( x) ? 3 x ? a , g ( x) ? 2 x ? b ,若 f ( x) ? g ( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上为“ ? 函数”.
2

(Ⅰ)设 a ? 0 ,若 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上为“ ? 函数”,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,求 a ? b 的最大值.

台州中学 2014 学年第一学期第三次统练答案 高三 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D C C C 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 2 12. 7 C 8 A 9 D 10 D

9 8

13.1

14. 14

15.

? 6

16.

17 2

17.

2 3 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
b sin B sin 2C . ? ? a sin A sin A 5 1 ? 5? ∴ sin B ? sin 2C ? sin ? ? .∴ B ? ( B ? 舍) . ………………6 分 6 2 6 6 (Ⅱ)由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? . ? ? 2 又 B ? 2C 时, ? C ? , B ? ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾. 3 2 3

18. (本题满分 14 分) (Ⅰ)由正弦定理,得

-4-

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C . 1 ? 所以 S ?ABC ? hb ? tanC ? 3 ,即当 C ? 时, S ?ABC 的最小值是 3 .……14 分 2 3 19.(1) 点 ? n, Sn ? 在 f ? x ? 的图象上,? S n ?

1 2 3 n ? n, 2 2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 1 ;

? 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 适合上式,? an ? n ? 1 n ? N ;

?

?

………………6 分

an an?1 n ? 1 n ? 2 n ?1 n ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2, an?1 an n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 1 1 ? ? 2? ? , ?c1 ? c2 ? ? cn ? 2n ,又 cn ? n ? 2 n ?1 n ?1 n ? 2 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? c1 ? c2 ? ? cn ? 2n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ? 1 n ? 2 ?? ?? 2 3 ? ? 3 4 ? 1 1 1 1 ? 2n ? ? ? 2n ? ,? 2n ? c1 ? c2 ? ? cn ? 2n ? 成立.………………14 分 2 n?2 2 2
(2)证明:由 cn ? 20.(本题满分 15 分) (Ⅰ) 延长 AD,FE 交于 Q. B 因为 ABCD 是矩形,所以 BC∥AD, 所以∠AQF 是异面直线 EF 与 BC 所成的角. 在梯形 ADEF 中,因为 DE∥AF,AF⊥FE,AF=2,DE=1 得 ∠AQF=30° .………………………5 分
A H C

D

Q

E (Ⅱ) 方法一:设 AB=x.取 AF 的中点 G.由题意得 G F DG⊥AF.因为平面 ABCD⊥平面 ADEF,AB⊥AD, (第 20 题图) 所以 AB⊥平面 ADEF,所以 AB⊥DG.所以 DG⊥平面 ABF. 过 G 作 GH⊥BF,垂足为 H,连结 DH,则 DH⊥BF, 所以∠DHG 为二面角 A-BF-D 的平面角.

在直角△AGD 中,AD=2,AG=1,得 DG= 3 . 在直角△BAF 中,由 所以 GH=

1 AB GH GH =sin∠AFB= ,得 = , 2 BF FG x x ?4
x
,得 DH= 2

x

x2 ? 4 x2 ? 4 2 2 GH 1 因为 cos∠DHG= = ,得 x= 15 ,所以 AB= 15 .………… 15 分 5 5 DH 3 方法二:设 AB=x. 以 F 为原点,AF,FQ 所在的直线分别为 x 轴,y 轴建立空间直角坐标系 Fxyz.则 F(0,0,0),A(-2,0,0),E( 3 ,0,0),D(-1, 3 ,0),B(-2,0,x),
所以 DF =(1,- 3 ,0), BF =(2,0,-x). 因为 EF⊥平面 ABF,所以平面 ABF 的法向量可取 n1 =(0,1,0). 设 n2 =(x1,y1,z1)为平面 BFD 的法向量,则
B z

.在直角△DGH 中,DG= 3 ,GH=

x2 ? 3 . x2 ? 4

C

? ? 2 x1 ? z1 x ? 0, D A ? x ? 3 y ? 0, ? 1 ? 1 2 3 F x 所以,可取 n2 =( 3 ,1, ). x (第 20 题图) n1 ? n2 2 2 1 因为 cos< n1 , n2 >= = ,得 x= 15 ,所以 AB= 15 . 5 5 | n1 | ? | n2 | 3
-5-

y E

21.

(本小题满分 15 分)
y0 y0 1 x0 y ? ?? , ? 02 ? 1 , 2 x0 ? a x0 ? a 4 a b c 3 ? . a 2
2 2

(Ⅰ)由

得: a 2 ? 4b 2 , c 2 ? 3b 2 ,所以 e ?

…5 分

? x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 8c 8b 2 (Ⅱ)由方程组 ? 得: 5x 2 ? 8cx ? 8b 2 ? 0 , 则 x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? , 5 5 ?y ? x ? c ? x ? ?x1 ? x 2 再设 C ( x3 , y 3 ) , OC ? ? OA ? OB ,即 ? 3 , ? y 3 ? ?y1 ? y 2

由于 C 为椭圆上的点,即 x3 2 ? 4 y3 2 ? 4b 2 , 则 (?x1 ? x2 ) 2 ? 4(?y1 ? y 2 ) 2 ? 4b 2 ,整理得: , ?2 ( x12 ? 4 y12 ) ? ( x2 2 ? 4 y 2 2 ) ? 2? ( x1 x2 ? 4 y1 y 2 ) ? 4b 2 (*) 由于 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) 在椭圆上,即 x12 ? 4 y12 ? 4b 2 , x2 2 ? 4 y 2 2 ? 4b 2 , 又 x1 x2 ? 4 y1 y 2 ? x1 x2 ? 4( x1 ? c)( x2 ? c) ? 5x1 x2 ? 4c( x1 ? x2 ) ? 4c 2 32 4 ? 8b 2 ? c 2 ? 4c 2 ? b 2 , 5 5 2 4 所以, (*)式可化为 4b 2 ?2 ? 4b 2 ? 2? ? b 2 ? 4b 2 ,即 ?2 ? ? ? 0 , 5 5 2 解得: ? ? 0 ,或 ? ? ? . …………15 分 5

22.(本小题满分 14 分) 解答: (Ⅰ)因为 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上为“ ? 函数”,所以 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,在 x ? [?1, ??) 上恒成立, 即 x ? [?1, ??) , (3 x ? a )(2 x ? b) ? 0 ∵ a ? 0
2

∴ 3x 2 ? a ? 0 ∴b ? 2
2

∴ 2x ? b ? 0

即 b ? ?2 x

∴ b ? (?2 x) max

………………4 分

(2)①当 b ? a 时,因为 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”, 所以, f ( x) ? g ( x) ? 0 在 x ? (b, a ) 上恒成立,即 x ? (b, a ) , (3 x ? a )(2 x ? b) ? 0 恒成立

b ? a ? 0,??x ? (b, a ), 2 x ? b ? 0 ,??x ? (b, a ), a ? ?3 x 2 , 1 1 1 ∴ b ? a ? ?3b 2 ∴ a ? b ? ?3b 2 ? b ? ?3(b ? ) 2 ? ? 6 12 12 ②当 a ? b ? 0 时,因为 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,所以, b ? 0,??x ? (a, b), 2 x ? b ? 0 , 1 1 ??x ? (a, b), a ? ?3x 2 , ? a ? ?3a 2 ,?? ? a ? 0, ∴ b ? a ? 3 3 ③当 a ? 0 ? b 时,因为 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上为“ ? 函数”,
2

即 x ? (a, b) , (3 x ? a )(2 x ? b) ? 0 恒成立

所以,即 x ? (a, b) , (3 x ? a )(2 x ? b) ? 0 恒成立
2

b ? 0, 而 x ? 0 时, (3 x 2 ? a )(2 x ? b) ? ab ? 0 不符合题意,
④当 a ? 0 ? b 时,由题意: x ? (a, 0) , 2 x(3 x ? a ) ? 0 恒成立
2

∴ 3x 2 ? a ? 0

∴?

1 1 ? a ? 0 ∴b ? a ? 3 3
-6-

综上可知, a ? b max ?

1 . 3

…………………………14 分

-7-


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