一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 2.4 函数的奇偶性与周期性课时规范训练

第二章 基本初等函数、 导数及其应用 2.4 函数的奇偶性与周期性课 时规范训练 理 北师大版
[A 级 基础演练] 1.(2015·高考广东卷)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( A.y= 1+x C.y=2 +
x
2

)

1 B.y=x+

x
x

1 x 2

D.y=x+e

解析: A 选项定义域为 R, 由于 f(-x)= 1+?-x? = 1+x =f(x), 所以是偶函数. B 1 选项定义域为{x|x≠0}, 由于 f(-x)=-x- =-f(x), 所以是奇函数. C 选项定义域为 R,

2

2

x

1 1 -x x 由于 f(-x)=2 + -x= x+2 =f(x),所以是偶函数.D 选项定义域为 R,由于 f(-x)= 2 2 1 -x -x+e = x-x,所以是非奇非偶函数. e 答案:D 2. 定义在 R 上的偶函数 f(x), 对任意 x1, x2∈[0, +∞)(x1≠x2), 有 则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

f?x2?-f?x1? >0, x2-x1

解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), 又∵

f?x2?-f?x1? >0(x1, x2∈[0, +∞)), ∴f(x)是[0, +∞)上的增函数, ∴f(1)<f(2) x2-x1

=f(-2)<f(3). 答案:B 3.(2014·高考湖南卷)已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x) -g(x)=x +x +1,则 f(1)+g(1)=( A.-3 C.1 解析:∵f(x)-g(x)=x +x +1, ∴f(-x)-g(-x)=-x +x +1. ∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数, ∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
1
3 2 3 2 3 2

) B.-1 D.3

∴f(x)+g(x)=-x +x +1. ∴f(1)+g(1)=-1+1+1=1. 答案:C 4.(2015·高考课标卷Ⅱ)若函数 f(x)=xln(x+ a+x )为偶函数,则 a=________. 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0 恒成立, ∴-xln(-x+ a+x )-xln(x+ a+x )=0 恒成立,∴xln a=0 恒成立,∴ln a=0, 即 a=1. 答案:1 5. 函数 f(x)在 R 上为奇函数, 且 x>0 时, f(x)= x+1, 则当 x<0 时, f(x)=________. 解析:∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1, ∴当 x<0 时,-x>0,
2 2 2

3

2

f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即 x<0 时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1. 答案:- -x-1 6.已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. 解析:由 g(x)=f(x)+9,故 g(-2)=f(-2)+9=3, ∴f(-2)=-6. 又∵f(x)为奇函数, ∴f(-2)=-f(2)=-6,∴f(2)=6. 答案:6 7.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0, 求实数 m 的取值范围. 解:由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1), 即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上单调递减且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数, -2≤1-m≤2, ? ? ∴?-2≤m≤2, ? ?1-m>m, 1 解得-1≤m< . 2 8.(2016·辽宁大连质检)函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2
2

-1≤m≤3, ? ?-2≤m≤2, 即? 1 m< , ? ? 2

∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求 x 的取值范围. 解:(1)∵对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), ∴令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. (2)令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 2 令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16). 又 f(x)在(0 ,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解得-15<x<17 且 x≠1. ∴x 的取值范围是{x|-15<x<17 且 x≠1}. [B 级 能力突破] 1.(2014·高考安徽卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π )=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f? A. 1 2

?23π ?=( ? ? 6 ?

) B. 3 2

C.0 解析:∵f(x+π )=f(x)+sin x, ∴f(x+2π )=f(x+π )-sin x.

1 D.- 2

∴f(x+2π )=f(x)+sin x-sin x=f(x). ∴f(x)是以 2π 为周期的周期函数. 又 f?

?23π ?=f?4π -π ?=f?-π ?, ? ? ? ? 6? ? 6 ? ? ? ? 6?
6

? π ? ? π? ? π? f?- +π ?=f?- ?+sin?- ?, ? ? ?
6?

?

6?

3

∴f?

?5π ?=f ?-π ?-1. ? ? 6? 2 ? 6 ? ? ? ?5π ?=0, ? ? 6 ?

∵当 0≤x<π 时,f(x)=0,∴f? ∴f?

?23π ?=f?-π ?=1.故选 A. ? ? ? ? 6 ? ? 6? 2
x

答案:A 2 +1 2. (2015·高考山东卷)若函数 f(x)= x 是奇函数, 则使 f(x)>3 成立的 x 的取值范 2 -a 围为( ) B.(-1,0) D.(1,+∞)
-x

A.(-∞,-1) C.(0,1)

2 +1 2 +1 解析:因为函数 y=f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x =- x .化简可 2 -a 2 -a 2 +1 2 +1 2 +1-3?2 -1? 2 -2 得 a=1,则 x >3,即 x -3>0,即 >0,故不等式可化为 x <0, x 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 即 1<2 <2,解得 0<x<1,故选 C. 答案:C 3 . (2016· 辽 宁 五 校 联 考 ) 规 定 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , f(x) =
? ?2 -2,x∈?-∞,0? ? ?x-[x],x∈[0,+∞? ?
-x

x

x

x

x

x

x

x

,若方程 f(x)=ax+1 有且仅有四个实数根,则实数 a 的取值

范围是(

) 1? ? 1 B.?- ,- ? 3? ? 2 1? ? 1 D.?- ,- ? 5? ? 4

1? ? A.?-1,- ? 2? ? 1? ? 1 C.?- ,- ? 4? ? 3

解析:将方程 f(x)=ax+1 有且仅有四个实数根的问题转化为分析两个函数 y=f(x),

y=ax+1 的图像交点问题.当 x∈[0,+∞)时,f(x)是以 1 为周期的函数,且 f(x)=x-k, x∈[k,k+1)(k∈N),当 x∈(-∞,0)时,f(x)是指数型函数,将 y=? ?x 的图像向下平移 2
2 个单位,则过点(0,-1),如图所示,而 y=ax+1 为恒过定点(0,1),斜率为 a 的直线.

?1? ? ?

由图可知,当直线介于图中两条直线 l1,l2 之间时满足题意.显然直线 l1 与函数图像的

4

1 1 交点个数为 4,直线 l2 与函数图像的交点个数为 5,又 k1=- ,k2=- ,故实数 a 的取值 2 3 1? ? 1 范围为?- ,- ?. 2 3? ? 答案:B 4. (2016·荆门调研)定义在 R 上的函数 f(x), 对任意 x 均有 f(x)=f(x+2)+f(x-2) 且 f(2 016)=2 016,则 f(2 028)=__________. 解析:∵x∈R,f(x)=f(x+2)+f(x-2), ∴f(x+4)=f(x+2)-f(x)=-f(x-2), ∴f(x+6)=-f(x),∴f(x+12)=f(x), 则函数 f(x)是以 12 为周期的函数. ∵f(2 016)=2 016, ∴f(2 028)=f(2 028-12)=f(2 016)=2 016. 答案:2 016 5.(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若

f(x-1)>0,则 x 的取值范围是________.
解析:∵f(x)是偶函数,∴图像关于 y 轴对称.又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调 递减,则 f(x)的大致图像如图所示,由 f(x-1)>0,得-2<x-1<2,即-1<x<3.

答案:(-1,3) 6.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),下面关于 f(x)的判定: 其中正确命题的序号为________. ①f(4)=0; ②f(x)是以 4 为周期的函数; ③f(x)的图像关于 x=1 对称; ④f(x)的图像关于 x=2 对称. 解析:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4), 即 f(x)的周期为 4,②正确. ∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)为奇函数),即①正确, 又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x), ∴f(x)的图像关于 x=1 对称,∴③正确,

5

又∵f(1)=-f(3),当 f(1)≠0 时, 显然 f(x)的图像不关于 x=2 对称,∴④错误. 答案:①②③ 7.(2016·广东湛江月考)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x +2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x . (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)求 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 016)的值. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2]. 由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x) =-2x-x , 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x , ∴f(x)=x +2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4) +2(x-4). 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4) +2(x-4)=x -6x+8. 从而求得当 x∈[2,4]时,f(x)=x -6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,f(4)=0. 又 f(x)是周期为 4 的函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=0.
∴f(0)+f(1)+…+f(2 016)=0.

6


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