黑龙江省大庆第一中学2017届高三上学期第三阶段测试数学(文)试题Word版含答案.doc

大庆一中高三年级上学期第三阶段考试 数学(文科)试卷 出题人:贾桂华 审题人:刘丽

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x2-3x-10<0} B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的 集合为( ) B.(-2,5) D.(5,+∞)

A.(-2,+∞) C.(3,5) 2.若 cos(2? ? ? ) ? A.

2 2 ? ,且 ? ? (? ,0) ,则 sin(? ? ? ) ? ( 3 2
B.

)

1 3

2 3

C.-

1 3

D.-

2 3

? ?x ? ?1? ?x ? 2 ? ? 7 ?? ? 3.已知函数 f ? x ? ? ? 2 x 则 f ? f ? ? ?? ? ( ?? 1 ? x ? 2? ? ? 4 ?? ? x2 ? ? x ? 2 ? ? 2 1 1 1 A. B. ? 7 C. D. 8 4 2 2?i 4.若复数 z 满足 z ? i ? ,则复数 z 的模为( ) i
A. 10 B. 10 C. 4 D. 3 ) 5.若点 P(1,-2)位于角 ? 终边上,则 sin 2? ? 2 cos 2? =( A. ?



14 5

B. ?

7 5

C. ?2

D.

4 5
)

6.已知数列 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于(

A. ?

2 3

B. ?

1 3

1 C. 3

2 D. 3

7.在锐角三角形 ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,a ? 2b sin A ,a ? 3 3 ,c ? 5 , 则b ? ( A.7 ) B. 7 C. 97 D. 7 或 97

8.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5 a6 ? 9,则log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 等于( )

A.12

B.10

C.8

D. 2 ? log3 5

9.设函数 f ( x) ? lg x ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 z ? A. 2 B. 2 2 C.

2 5 ? 的最小值是( a b

)

10

D. 2 10
?
4

10. 要得到函数 y= 2 cosx 的图像,只需将函数 y= 2 sin(2x+ ( ) A.横坐标缩短到原来的
1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 2 8 1 2

) 的图像上所有的点的

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向右平行移动 C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平行移动

?
4

?
4

?
8

11. 已 知 数列 {an } 满 足 a1 ? 2, an?1 ?

an ? 1 (n ? N ?) , 则 该 数 列 的 前 2017 项的乘 积 an ? 1

a1a2 a3 ?a2017 ? (
A.2



1
B. 3

1
C. 3 D.—2

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 已知向量 a 与 b 的夹角是

?

?

? ? ? ? ? ? ,且 a ? 1, b ? 4 ,若 (3a+?b) ? a ,则实数 ? ? _______. 3

π → → 14.已知 M 是△ABC 内的一点,且AB·AC=2 3,∠BAC= ,若△MBC,△MCA,△ 6 1 1 4 MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值为_____ 2 x y 15. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) , 则不等式 ( x ?1) f ( x ? 1) ? f ( x ?1) 的解集是_____________
2

16.已知 a∈ R,若实数 x, y 满足 y=- x 2+3ln x,则( a-x) 2+( a+2-y) 2 的最小值是 _________. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答 写在答题卡上的指定区域内)

17.在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行 学生互评.某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影 响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表一:男生 表二:女生 等级 频数 等级 频数 优秀 15 优秀 15 合格 x 合格 3 尚待改进 5 尚待改进 y

(1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格 的概率; (2)由表中统计数据填写下面的列联表,并判断是否有 90%的把握认为“测评结果优秀 与性别有关”. 参考数据与公 临界值表: 优秀 非优秀 总计 P(K2>k0) k0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.01 6.635 男生 女生 总计 式:

n?ad-bc?2 K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? 18.已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x (1)求 f ( x ) 的最小正周期和值域; ( 2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,若 f ( ) ? 2 且 a 2 ? bc ,试判断
?ABC

A 2

的形状.

19.数列{a n }满足a1 =1,a n ?1 = (1)证明:数列{

2n ?1 an . an ? 2n

2n }是等差数列; an

(2)求数列{a n }的通项公式; (3)设bn =n(n+1)a n,求数列{bn }的前n项和Sn .
π 20.如右上图,三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,∠ABC= , 2 点 D,E 在线段 AC 上,且 AD=DE=EC=2,PD=PC=4, 点 F 在线段 AB 上,且 EF∥BC.

(1)证明:AB⊥平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7,求线段 BC 的长. 21.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(? 2,0), B ( 2,0) , E 为动点,且直线 EA 与直线

EB 的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; ( 2 )设过点 F (1, 0)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N . 若点 P 在 y 轴上 , 且

PM ? PN

,求点 P 的纵坐标的取值范围.

22.已知函数 f ( x) ? (ax ? 2)e x 在 x ? 1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 在 [m, m ? 1] 上的最小值; (3)求证:对任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e

大庆一中高三年级上学期第三阶段考试文科数学试题答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A

A

D

B

C

D

B

B

D

C

A

C


13.

3 2

14. 18

15.(1,2)

16. 8

m 45 17.(1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 = ,m=25,则从女生中抽取 20 人, 500 500+400 ∴x=25-15-5=5,y=20-18=2. …………2 分

表二中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a,b,c,尚待改进的 2 人为 A, B, 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),(a,A),(a, B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共 10 种. 设事件 C 表示“从表二的非优秀学生中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”, 则 C 的结果为(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共 6 种.……………4 分, 6 3 3 ∴P(C)= = ,故所求概率为 . 10 5 5 (2)列联表如下: 男生 优秀 非优秀 总计 …………7 分 ∵1-0.9=0.1,P(K2≥2.706)=0.10, 45× ? 15×5 -15× 10?2 45× 152× 52 9 而 K= = = =1.125<2.706, …………9 30× 15× 25× 20 30× 15× 25× 20 8
2

………………5 分

女生 15 5 20

总计 30 15 45

15 10 25

分 ∴没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. …………10 分

18.解:﹙1﹚ f ( x) ? cos2 x ? 2 3sin x cos x ? sin2 x

? 3 s i nx2 ?

co x s ………… 2 2分
……………3 分 )

?2 sin( x2 ?

?
6

所以最小正周期 T ? ? ,……………4 分,

f ( x) ? [?2,2]
A 2

………………5 分

﹙2﹚由 f ( ) ? 2 ,有 f ( ) ? 2sin( A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

A 2

?

) ? 2 ,所以 sin( A ? ) ? 1. 6 6

?

………………6 分

?
6

?

?
2

,即 A ?

?
3

. ……………………8 分

由余弦定理 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A 及 a 2 ? bc ,所以 (b ? c)2 ? 0 .……………10 分 所以 b ? c, 所以 B ? C ?

?
3

.……………………………………………11 分

所以 ?ABC 为等边三角形. ……………………………………………12 分

an ?1 an 2n ?1 2n 2n ?1 2n ? ? ?1 ? ?1 2n ?1 an ? 2n ,即 an ?1 an a an 19. (1)由已知可得 ,即 n ?1
? 2n ? ? ? ? an ?

∴ 数列

是公差为1的等差数列

????????5分

2n 2 2n ? ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 an ? a a1 n ?1 (2)由(1)知 n ,∴
(3)由(2)知

?????????8分

bn ? n ? 2n 2Sn ?

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? n ? 2n 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
2 3 n n ?1

??????10分

相减得:

? Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 1? 2
??????????12分



Sn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2
…………1 分

20.(1)证明:如图,由 DE=EC,PD=PC 知,故 PE⊥AC.

因为平面 PAC⊥平面 ABC, 平面 PAC∩平面 ABC=AC, PE? 平面 PAC, PE⊥AC, 所以 PE⊥平面 ABC.因为 AB? 平面 ABC,所以 PE⊥AB.……………4 分,

π 因为∠ABC= ,EF∥BC,所以 AB⊥EF. 2 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE,EF 都垂直, 所以 AB⊥平面 PFE.……………6 分, 1 (2)解:设 BC=x,则在 Rt△ABC 中,AB= AC2-BC2= 36-x2.从而 S△ABC= AB· BC 2 1 = x 36-x2. 2 AF AE 2 由 EF∥BC 知, = = ,得△AFE∽△ABC,故 AB AC 3 S△AFE 2 2 4 4 1 =( ) = ,S△AFE= S△ABC.由 AD= AE,得 3 9 9 2 S△ABC 1 14 2 S△AFD= S△AFE= · S△ABC= S△ABC. 2 29 9 四边形 DFBC 的面积 7 7 S 四边形 DFBC=S△ABC-S△AFD= S△ABC= x 36-x2. 9 18 ……………8 分,

由(1)知,PE⊥平面 ABC,所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在 Rt△PEC 中,PE= PC2-EC2= 42-22=2 3 1 1 7 所以 VP-DFBC= · S · PE= · x 36-x2· 2 3=7. 3 DFBC 3 18 故 x4-36x2+243=0,解得 x2=9 或 x2=27. 因为 x>0,所以 x=3 或 x=3 3. 所以 BC=3 或 BC=3 3. ……………12 分 .……………10 分,

21.解: (1)设动点 E 的坐标为 ( x, y)( x ? ? 2) ,依题意可知

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) ,所以动点 E 的轨迹 C 的 整理得 2
方程为

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) , 2

……4 分

(2)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 ; ……………5 分 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

x2 ? y 2 ? 1并整理得, 将 y ? k ( x ? 1) 代入 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? ?8k 2 ?8 ?0

4k 2 , 2k 2 ? 1

设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ?

k 2k 2 , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
…………8 分

2k 2 k 所以 Q( 2 ,? 2 ) . 2k ? 1 2k ? 1
由题意可知 k ? 0 , 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 yP ?

1 2k 2 ? ? ( x ? ). 2k 2 ? 1 k 2k 2 ? 1 k
……………10 分

k 2k ? 1
2

?

1 1 2k ? k

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 1 2 ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; ? k 4 2 2 1 1 2 ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? ?? k 4 2 2

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [? 分

2 2 , ] 4 4

…………………12

22.解: (1) f '( x) ? ae x ? (ax ? 2)e x ? (ax ? a ? 2)e x , 分 由 已 知 得

??????1

f '(1) ? 0





( a? 2 ex ? 2

, )

解 0 得

a ? 1.


?????????3 分

a ?1



,

f ( x)



x ?1













,





a ? 1.

?????????4 分

(2) f ( x) ? ( x ? 2)e x , f '( x) ? e x ? ( x ? 2)e x ? ( x ?1)e x , 令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ,令 f '( x) ? 0 得 x ? 1 ,

所 以 函 数 f ( x) 在 (??,1) 上 单 调 递 减 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 增, ????????5 分

m ①当 m ? 1 时, f ( x) 在 [m, m ? 1] 上单调递增, f ( x)min ? f (m) ? (m ? 2)e ;

②当 0 ? m ? 1 时,m ? 1 ? m ? 1 , f ( x) 在 [ m,1] 上单调递减,在 [1, m ? 1] 上单调递增,

f ( x)min ? f (1) ? ?e ;
③ 当 m ? 0 时 , m ?1 ? 1 ,

f ( x) 在 [m, m ? 1] 上 单 调 递 减 ,

f( x ) i? n m
综 上

f ( ?m 1 ?)


m?1 m ? ( .

1 e )


f ( x)

[m, m ? 1]











f ( x) min

?(m ? 2)e m m ? 1 ? ? ? ?e 0 ? m ?1 ?(m ? 1)em ?1 m ? 0 ?
x

??………… 9 分

(3)由(1)知 f ( x) ? ? x ? 2? e , f '( x) ? ( x ? 1)e x . 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,因为 f (0) ? ?2, f (1) ? ?e, f (2) ? 0 , 所以, x ? [0, 2] 时, f ( x)max ? 0, f ( x)min ? ?e . 11 分 所 以 , 对 任
m

??…?……



x1 , x2 ?[0, 2]
m

,
i


n



|f

1

?(x

) 2 f?

(x

) ? . af?|………… ? (分 12 x x

)f

x

(

)

e


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