2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件第3讲逻辑联结词与四种命题充要条件_图文

? 第三讲 ? 逻辑联结词与四种命题

充要条件

? 回归课本 ? 1.逻辑联结词 ? (1) 可以判断真假的语句叫命题.不含逻辑联结 词的命题叫做简单命题;由简单命题与逻辑联 结词构成的命题,叫做复合命题. ? (2)逻辑联结词 ? 或:两个简单命题至少一个成立. ? 且:两个简单命题均成立. ? 非:对一个命题的否定.

? (3)真值表:表示命题真假的表叫真值表. ? 复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判 定: p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

? 2.四种命题 ? (1)四种命题 ? 一般地,用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论, 用綈 p 和綈 q 分别表示 p 和q 的否定.于是四种命 题的形式为:

? (2)四种命题的关系 ? 若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真 假性,若两个命题为互逆命题或互否命题,则 它们的真假性没有关系. ? 3.反证法 ? 欲证“若 p 则 q”为真命题,从否定其结论即 “非Q”出发,经过正确的逻辑推理导出矛盾, 从而“非Q”为假,即原命题为真,这样的方法 称为反证法.

? 考点陪练 ? 1.已知命题“非空集合 M的元素都是集合 P的元 素”是假命题,那么以下命题中真命题的个数 为( ) ? ①M的元素都不是P的元素; ? ②M中有不属于P的元素; ? ③M中有P的元素; ? ④M的元素不都是P的元素. ? A.1 B.2 C.3 D.4

? 解析:由命题“非空集合M的元素都是集合P的 元素 ” 是假命题,可得非空集合 M 的元素不都 是集合P的元素,故②、④正确,①、③错误. ? 答案:B

? 2.原命题:“设a、b、c∈R,若ac2>bc2,则a >b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共 有( ) ? A.0个 B.1个 ? C.2个 D.3个

? 解析: 由题意可知,原命题正确,逆命题错误, 所以否命题错误,而逆否命题正确,故选B. ? 答案:B

? 3.(2011·重庆十二校一检 )如果命题“非p或非 q”是假命题,则下列各结论中正确的是( ) ? ①命题“p且q”是真命题 ? ②命题“p且q”是假命题 ? ③命题“p或q”是真命题 ? ④命题“p或q”是假命题 ? A.①③ B.②④ ? C.②③ D.①④

? 解析:命题“非p或非q”是假命题,则“非p” 与“非q”都是假命题,命题p与命题q都是真命 题,因此 “ p 且 q” 是真命题,命题 “ p 或 q” 是 真命题. ? 答案:A

? 4.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是 A的子集,则 ? ( ) ? A.“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 ? B.“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 ? C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 ? D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是 “x∈A”的必要条件 ? 解析: 由 A∪B = C ,且 B 不是 A 的子集,知 A C , 故x∈A?x∈C,而x∈C?/ x∈A.故选B. ? 答案:B

x-1 5. (2011· 四川成都 3 月调研)设条件 p: ≥0; 条件 q: (x-1)(x x+1 +1)≥0,则 q 是 p 的________条件.( A.充分不必要 C.充要 )

B.必要不充分 D.既不充分也不必要

? 解析:p:x<-1或x≥1;q:x≤-1或x≥1,p?q. ? 因此q是p的必要不充分条件. ? 答案:B

? 类型一

复合命题真假的判断

? 解题准备: 判断一个命题的真假时常用以下方 法: ? 1.依据定义直接判定; ? 2.利用原命题与其逆否命题的真假等价关系; ? 3.利用集合的观点去解决,即建立命题p,q相 应的集合, p : A = {x|p(x) 成立 } , q : B = {x|q(x) 成立}. ? 当A?B时,则“若p则q为真”; ? 当B?A时,则“若q则p为真”.

【典例 1】

已知命题 p:方程 2x 2-2 6x+3=0 有两实根,q:

方程 2x2-2 6x+3=0 的两实根不相等,试写出由这组命题构成的 p 或 q,p 且 q,非 p 形式的复合命题,并判断真假.
[解析 ] 所求命题是由命题 p, q 及逻辑联结词构成的新命题,

判断其真假时应严格遵循真值表的相关结论. p 或 q:方程 2x2- 2 6x+ 3= 0 有两实根或两实根不相等. p 且 q:方程 2x2- 2 6x+ 3= 0 有两实根且两实根不相等. 非 p:方程 2x2- 2 6x+ 3= 0 无实根. ∵ Δ= 24- 24= 0, ∴命题 p 真而命题 q 假, ∴ p 或 q 真, p 且 q 假,非 p 假.

? [点评]三种形式的复合命题的真假往往不直接判 断,而是借助构成它们的简单命题的真假来判 断,判断时需借助真值表的相关结论.

? 类型二

四种命题之间的关系

? 解题准备: 由于互为逆否命题的两个命题是等 价命题,它们同真同假,所以一个命题的逆命 题和它的否命题同真同假;一个命题与它的逆 否命题同真同假.当一个命题的真假不易判断 时,可以通过判断其逆否命题的真假来判断.

? 【典例2】 判断下列命题的真假,写出它们的 逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题 的真假. ? (1)若ab≤0,则a≤0或b≤0. ? (2)若a>b,则ac2>bc2. ? (3)若在二次函数y=ax2+bx+c中b2-4ac<0,则 该二次函数图象与x轴有公共点.

? [解析] 先判断各个命题的真假,再由四种命题 的定义写出其他三种命题,判断真假. ? (1)该命题为真. ? 逆命题:若a≤0或b≤0,则ab≤0.为假. ? 否命题:若ab>0,则a>0,b>0.为假. ? 逆否命题:若a>0,b>0,则ab>0.为真. ? (2)该命题为假. ? 逆命题:若ac2>bc2,则a>b.为真. ? 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2.为真. ? 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b.为假.

? (3)该命题为假. ? 逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴 有公共点,则b2-4ac<0.为假. ? 否命题:若二次函数 y=ax2+bx+c中b2-4ac≥0, 则该二次函数图象与x轴没有公共点.为假. ? 逆否命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴没有公共点,则b2-4ac≥0.为假. ? [点评] 根据四种命题的定义,分别写出各种命 题,然后再进行判断,特别是否命题的真假, 可以从逆命题的真假来判断.四种命题之间的 等价关系,经常应用在真假性的判断上.

? 类型三

反证法在证明题中的应用

? 解题准备: 反证法是一种常用的数学方法,属 于一种间接证法.高考中证明问题的正面思考 有困难时常考虑此方法 .当待证命题中出现 “ 不可能 ” 、 “ 一定 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 唯一 ” 等词语时,多运用反证法.

? 【典例3】 a,b,c为实数,且a=b+c+1, 证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax +c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数 根. ? [分析] 本题若直接分析要分两种情况讨论,要 证明两次,过程比较繁琐,可以从结论的对立 面分析,即两个方程都没有两个不等的实数根, 用反证法进行证明.

? [证明] 假设两个方程都没有两个不等的实数根,则 ? Δ1=1-4b≤0, Δ2=a2 - 4c≤0, ∴ Δ1+ Δ2=1 - 4b + a2- 4c≤0.∵a =b+c+1,∴b+c=a-1.∴1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0. 但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾. ? 所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程 有两个不相等的实数根. ? [点评] 反证法可应用于数学证明的各个方面,只要是直接证明 有困难的,且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以.本题是 方程的根的分布问题,所以要考虑方程的判别式. ? 在假设时,应该设问题的直接对立面,所以是两个方程都没有 不等的实数根,再从判别式的特点入手,推出矛盾.

? 类型四

充要条件的判断与探求

? 解题准备: 证明和判断充要条件的基本思路和 方法: ? 充要条件的证明应首先分清充分条件与必要条 件,即明确推出符号 “ ? ” 的推理方向,从而 确立已知和结论,其次结合已知条件逐步进行 论证.

? 【典例4】 求关于x的方程x2-mx+3m-2=0 的两根均大于1的充要条件.

[解析 ]

设方程的两根分别为 x1、 x2,则原方程有两个大于 1 的

根的充要条件是

?Δ= m2- 4?3m-2?≥ 0, ? ??x1-1?+?x2-1?>0, ? ??x1-1??x2- 1?>0,

?Δ=m2- 12m+8≥0, ? 即??x1+ x2?- 2>0, ? ?x1x2-?x+ x2?+1>0.

又∵ x1+ x2= m, x1x2= 3m- 2,

?m≥6+2 7或m≤6-2 7, ?m>2, ∴? ?m>1. ? 2
故所求的充要条件为 m≥6+ 2 7.

[点评 ]

本题除了利用根与系数关系外,还可利用二次函数的图

象及一元二次方程有根的分布情况来探求满足题意的充要条件. 接着
?x1+ x2>2, 请思考以下问题:? ?x1x2>1

是方程的两根均大于 1 的充要条件

吗?为什么不对?

? 探究:求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个 负实根的充要条件是m≥2. ? 证明: (1) 充分性:因为 m≥2 ,所以 Δ = m2- 4≥0 , ? 方程x2+mx+1=0有实根. ? 设x2+mx+1=0的两个实根为x1、x2, ? 由根与系数的关系知x1x2=1>0. ? 所以x1、x2同号. ? 又因为x1+x2=-m≤-2, ? 所以x1、x2同为负根.

(2)必要性: 因为 x2+ mx+ 1= 0 的两个实根 x1、 x2 均为负, 且 x1x2 = 1, 所以
? 1? m- 2=- (x1+ x2)- 2=-?x1+ ?- 2 x1 ? ?

x12+ 2x 1+ 1 ?x1+ 1?2 =- =- ≥0, x1 x1 所以 m≥2. 综合(1)(2)知命题得证.

? 快速解题 ? 技法 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛, 组委会只设一名特别奖.赛前观众 A猜:不是 1 号就是2号能获特别奖;B猜:3号不可能获特别 奖;C猜:4、5、6号都不可能获特别奖;D猜; 能获特别奖的是4、5、6号中的一个,赛后结果 表明,四人中只有一人猜对了.问:谁猜对了? 几号歌手获特别奖?

? 快解:将所猜能获奖的记为√,不能获奖的记为 ×,由题意得下表:
歌手 观众 A B C D 1 √ √ √ × 2 √ √ √ × 3 × × √ × 4 × √ × √ 5 × √ × √ 6 × √ × √

? 从表中可以看出,所猜3号的结果只有一人猜对, 是C猜对的,3号歌手获得了特别奖.


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