12387.C0m:圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

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课程星级:★★★★★

知能梳理

【椭圆】 一、椭圆的定义

1 、 椭 圆 的 第 一 定 义 : 平 面 内 一 个 动 点 P 到 两 个 定 点 F1 、 F2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 ) ,这个动点 P 的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作
椭圆的焦距。
注意:若 ( PF1 ? PF2 ? F1F2 ) ,则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ;

若 ( PF1 ? PF2 ? F1F2 ) ,则动点 P 的轨迹无图形。

二、椭圆的方程 1、椭圆的标准方程(端点为 a、b,焦点为 c)

(1)当焦点在

x

轴上时,椭圆的标准方程:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c2

? a2

? b2 ;

(2)当焦点在

y

轴上时,椭圆的标准方程:

y a

2 2

? x2 b2

? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c2

? a2

?b2 ;

2、两种标准方程可用一般形式表示: x2 ? y2 ? 1 或者 mx2+ny2=1 mn

三、椭圆的性质(以 x 2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 为例)

1、对称性:

对于椭圆标准方程 x 2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) :是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形;并且是以原点为对

称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 2、范围:

椭圆上所有的点都位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x ? a ,

y ?b。

3、顶点: ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 A1 (?a,0) ,

A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0,b) 。 ③线段 A1 A2 , B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 ? 2a , B1B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭圆
的长半轴长和短半轴长。 4、离心率:
① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记作 e ? 2c ? c 。 2a a

② 因为 (a ? c ? 0) ,所以 e 的取值范围是 (0 ? e ? 1) 。

e 越接近 1,则 c 就越接近 a ,从而 b ? a2 ? c2 越小,因此椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0, c 就越接近 0,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为 x 2 ? y 2 ? a 。
③ 离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
注意:椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的图像中线段的几何特征(如下图): a2 b2

PF1 ? PF2 ? e

PM 1

PM 2

( PF1 ? PF2 ? 2a)

2a 2

( PM1

? PM2

?

) c

5、椭圆的第二定义:

平面内与一个定点(焦点)和一条定直线(准线)的距离的比为常数 e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆

( | PF | ? e )。 d

即:到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图中有 PF1 ? PF2 ? e 。

PM 1

PM 2

①焦点在 x 轴上: x 2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)准线方程: x

?

? a2 c

②焦点在 y 轴上: y 2 ? x 2 ? 1(a>b>0)准线方程: y ? ? a 2

a2 b2

c

6、椭圆的内外部 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

(1)点

P(

x0

,

y0

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的内部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1

(2)点

P(

x0

,

y0

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的外部 ?

x02 a2

?

y02 b2

?1

四、椭圆的两个标准方程的区别和联系

标准方程

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0)

y2 a2

?

x2 b2

?1

(a ? b ? 0)

图形

焦点

焦距

性质

范围 对称性

顶点

轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1F2 ? 2c x ? a, y ?b

F1F2 ? 2c x ?b, y ?a

关于 x 轴、 y 轴和原点对称

(?a,0) , (0,?b)

(0,?a) , (?b,0)

长轴长= 2a ,短轴长= 2b

离心率 准线方程 焦半径

e ? c (0 ? e ? 1) a

x ? ? a2 c

y ? ? a2 c

PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0

PF1 ? a ? ey0 , PF2 ? a ? ey0

五、其他结论 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

1、若 P0 (x0 ,

y0 ) 在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

?1

2、若

P0

( x0

,

y0

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?1外

,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线

方程是 x0 x ? y0 y ? 1 a2 b2

3、椭圆

x2 a2

y2 ? b2

?1

(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F1PF2

? ? ,则椭圆

的焦点角形的面积为 S?F1PF2

? b2

tan ? 2

4、椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?1 (a>b>0)的焦半径公式:

| MF1 |? a ? ex0

,

| MF2

|? a ? ex0

(

F1(?c, 0)

,

F2 (c, 0) M (x0 , y0 ) )

5、设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相

应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF。

6、过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M, A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF。

7、AB

是椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1的不平行于对称轴的弦,M (x0 , y0 ) 为

AB

的中点,则 kOM

? kAB

?

?

b2 a2

,即

K AB

?

? b2 x0 a2 y0



8、若

P0

( x0

,

y0

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是

x0 x a2

?

y0 y b2

?

x02 a2

?

y02 b2

9、若

P0

( x0

,

y0

)

在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

?

1

内,则过

Po

的弦中点的轨迹方程是

x2 a2

?

y2 b2

?

x0 x a2

?

y0 y b2

【双曲线】 一、双曲线的定义 1 、 第 一 定 义 : 到 两 个 定 点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 ( < |F1F2| ) 的 点 的 轨 迹
( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1F2 ( a 为常数))。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点:(1)距离之差
的绝对值。(2)2a<|F1F2|。 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支; 当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线; 当 2a>|F1F2|时,动点轨迹不存在。

2、第二定义:动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲 线。这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线。

二、双曲线的标准方程( b2 ? c2 ? a2 ,其中| F1 F2 |=2c)
需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” 三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系
1、点与双曲线

2、直线与双曲线 四、双曲线与渐近线的关系 五、双曲线与切线方程 六、双曲线的性质 七、 弦长公式
1、若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐标,

则 AB ?

(x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 , AB ?

k 2 ?1 x1 ? x2 ?

k 2 ?1 ? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ?

1? k2 ? , |a|

若 y1, y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB ?

1 k2

?1

y1 ? y2

?

1 k2

?1

? y1 ? y2 ?2 ? 4 y1 y2 。

2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长| AB |? 2b2 。 a

3、若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1? k 2 y1 ? y2 。
4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 八、焦半径公式 九、等轴双曲线 十、共轭双曲线 需要双曲线的详细资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细 解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

【抛物线】 一、抛物线的概念
平面内与一定点 F 和一条定直线 l (l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点 F 叫做抛物 线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线。 二、抛物线的性质 三、相关定义 1、通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦 H1H2 称为通径;通径:|H1H2|=2P

2、弦长公式:| AB |?

1? k 2 | x1 ? x2 |?

1 1? k 2 | y1 ? y2 |

3、焦点弦:过抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点 F 的弦 AB ,若 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ,则

(1)

|

AF

|?

x0+

p 2



(2) x1x2 ?

p2 4

, y1 y2 ? -p2

(3) 弦长 AB ? p ? (x1 ? x2 ) , x1 ? x2 ? 2 x1x2 ? p ,即当 x1=x2 时,通径最短为 2p

(4)

若 AB 的倾斜角为 θ,则

2p AB = sin 2 ?

(5)

1

+

1

2
=

AF BF P

四、点、直线与抛物线的位置关系 需要详细的抛物线的资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详 细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

【圆锥曲线与方程】 一、圆锥曲线的统一定义
平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常 数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心 率。
当 0<e<1 时,轨迹为椭圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 特别注意:当 e ? 0时,轨迹为圆( e ? c ,当 c ? 0, a ? b 时)。
a 二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

三、曲线与方程

四、坐标变换 1、坐标变换: 2、坐标轴的平移: 3、中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

精讲精练

【例】以抛物线 y2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为

___________________.





抛物线 y2 ? 8 3x 的焦点 F 为 (2 3,0) ,设双曲线方程为 x2 ? 3y2 ? ? ,? 4? ? (2 3)2 ?? ? 9 ,双 3

曲线方程为 x2 ? y2 ? 1 93

【例】双曲线 x 2 4

?

y2 b2

=1(b∈N)的两个焦点 F1、F2,P 为双曲线上一点,|OP|<5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数

列,则 b2=_________。

解:设 F1(-c,0)、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)<2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2<50+2c2,

又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义,有|PF1|-|PF2|=4,

依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2

∴16+8c2<50+2c2,∴c2< 17 , 3

又∵c2=4+b2< 17 ,∴b2< 5 ,∴b2=1。

3

3

【例】当 m 取何值时,直线 l : y ? x ? m 与椭圆 9x2 ?16 y2 ? 144 相切,相交,相离?

? 解:

y? x?m …… … ① 9 x2 ?16 y2 ?144 … ②

①代入②得 9x2 ?16(x ? m)2 ? 144 化简得 25x2 ? 32mx ?16m2 ?144 ? 0

? ? (32m)2 ? 4? 25(16m2 ?144) ? ?576m2 ?14400

当 ? ? 0, 即 m ? ?5 时,直线 l 与椭圆相切;

当 ? ? 0 ,即 ?5 ? m ? 5 时,直线与椭圆相交; 当 ? ? 0 ,即 m ? ?5 或 m ? 5 时,直线与椭圆相离。
【例】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,|MF|的最

大值和最小值的几何平均数为

2,椭圆上存在着以

y=x

为轴的对称点

M1 和

M2,且|M1M2|=

4

10 3

,试求椭

圆的方程。

解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2,

∴b2=4,设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1



a2 4

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m



将②代入①得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0



设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0),



x0=

1 2

(x1+x2)=

a2m 4 ? a2

,y0=-x0+m=

4m 4 ? a2



代入 y=x,得 a 2m ? 4m , 4 ? a2 4 ? a2

由于

a2>4,∴m=0,∴由③知 x1+x2=0,x1x2=-

4a 2 4 ? a2

,又|M1M2|=

2

( x1

?

x2 )2

? 4x1x2

?

4

10 3



代入

x1+x2,x1x2 可解

a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 5

?

y2 4

=1。

【例】某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的

长。需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总

结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系, 如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4)、(10,-4) 设抛物线方程为 x2=-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12。5, 于是抛物线方程为 x2=-25y。

由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0。16,从而|EE′|=(-0.16)-(-

4)=3.84。 故最长支柱长应为 3.84 米。
【例】已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆交于 P 和 Q,且 OP⊥OQ,

|PQ|= 10 ,求椭圆方程。 2
解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0),P(x1,y1),Q(x2,y2)



?? y ? ??m

? x ?1 x2 ? ny

2

?1

得(m+n)x2+2nx+n-1=0,Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即 m+n-mn>0,



OP⊥OQ,所以

x1x2+y1y2=0,即

2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴

2(n ? 1) m?n

?

2n m?n

+1=0,∴m+n=2



又 2 4(m ? n ? mn) ? ( 10 ) 2,将 m+n=2,代入得 m·n= 3



m?n

2

4

由①、②式得 m= 1 ,n= 3 或 m= 3 ,n= 1

2

2

2

2

故椭圆方程为 x2 + 3 y2=1 或 3 x2+ 1 y2=1。

22

22

? ? 【例】已知圆

C1 的方程为 ?x ? 2?2

? ?y ?1?2

?

20 3

,椭圆

C2 的方程为

x2 a2

?

y2 b2

?1

a?b?0

,C2 的离心率



2 2

,如果

C1 与

C2 相交于

A、B

两点,且线段

AB

恰为圆

C1 的直径,求直线

AB

的方程和椭圆

C2 的方

程。

y

A

C1

F2

O

F1

x

B

解:由 e ?

2 ,得 c ? 2a

2 ,a2 2

? 2c2 , b2

?

c

2.

设椭圆方程为

x2 2b 2

?

y2 b2

? 1.

设 A(x1, y1).B(x2 , y2 ).由圆心为(2,1). ? x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ? 2.



x 12

? y12

? 1,

x22

?

y

2 2

? 1,

2b2 b2

2b2 b2

两式相减,得

x 12

? x22

?

y12

?

y

2 2

? 0.

2b 2

b2

(x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 )(y1 ? y2 ) ? 0,

又 x1

? x2

? 4.y1 ?

y2

? 2.得

y1 ? y2 x1 ? x2

? ?1. ?直线AB的方程为

将 y ? ?x ? 3代入 x2 2b 2

?

y2 b2

? 1,得

3x 2

?12x ?18 ? 2b2

? 0.

y ?1 ? ?(x ? 2)..即 y ? ?x ? 3

?直线AB与椭圆C2相交.?? ? 24b2 ? 72 ? 0. 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高

考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

由 AB ?

2 x1 ? x2 ?

2 (x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ?

20 . 得 3

2?

24b2 ? 72 ? 3

20 . 3

解得 b2 ? 8.

故所有椭圆方程 x2 ? y2 ? 1. 16 8

【例】过点(1,0)的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为 2 的椭圆 C 相交于 A、B 两点,直线 2
y= 1 x 过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程。 2

y

1

y= x

B

2

F2

o

F1

x

A

解法一:由 e= c ? a

2 2

,得

a2 ? b2 a2

?

1 2

,从而

a2=2b2,c=b。设椭圆方程为

x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,

y2)在椭圆上。

则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,

y1 x1

? y2 ? x2

? ? x1 ? x2 . 2( y1 ? y2 )



AB

中点为(x0,y0),则

kAB=-

x0 2 y0

,又(x0,y0)在直线

y=

1 2

x

上,y0=

1 2

x0,于是-

x0 2y0

=-1,kAB=-1,



l

的方程为

y=-x+1。右焦点(b,0)关于

l

的对称点设为(x′,y′),

? 则 ???
? ??

y? x? ? b y? ? ? 2

?1
x? ? 2

b

?

1

解得???xy??

?1 ?1

?

b

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= 9 , a 2 ? 9 。

16

8

∴所求椭圆 C 的方程为 8x 2 ? 16 y 2 =1,l 的方程为 y=-x+1。 99

解法二:需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识

点总结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”由 e= c ? 2 , 得 a 2 ? b2 ? 1 ,

a2

a2

2

从而 a2=2b2,c=b。设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k(x-1),

将 l 的方程代入 C 的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,



x1+x2=

1

4k 2 ? 2k

2

,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-

1

2k ? 2k

2



直线 l:y= 1 x 过 AB 的中点( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),则 ? k ? 1 ? 2k 2 ,解得 k=0,或 k=-1。

2

2

2

1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上,所以 k=0

舍去,从而 k=-1,直线 l 的方程为 y=-(x-1),即 y=-x+1,以下同解法一。 解法三:设椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0)(1)
a2 b2
直 线 l 不 平 行 于 y 轴 , 否 则 AB 中 点 在 x 轴 上 与 直 线 y ? 1 x过AB 中 点 矛 盾 。 故 可 设 直 线
2

l的方程为y ? k(x ?1) (2)

(2)代入(1)消y整理得:(k 2a 2 ? b2 )x2 ? 2k 2a 2 x ? a 2k 2 ? a 2b2 ? 0 (3)

设A( x1,y1 )

B(x2,y2 )

, 知:x1

?

x2

?

2k 2a 2 k2a2 ? b2

又y1 ? y2 ? k(x1 ? x2 ) ? 2k代 入 上 式 得 :

k ? 2k ? 1 ,?k ? 2k ? k 2a 2 ? b2 ? 1 ,?k ? k ? b2 ? 1 , 又e ? 2

x1 ? x2 2

2k 2a 2 2

ka 2 2

2

?k ? ? 2b2 ? ? 2(a 2 ? c 2 ) ? ?2 ? 2e2 ? ?1 ,?直线l的方程为y ? 1 ? x ,

a2

a2

此时a2 ? 2b2 , 方程(3)化为3x 2 ? 4x ? 2 ? 2b2 ? 0 , ? ? 16 ? 24(1? b2 ) ? 8(3b2 ?1) ? 0

?b ? 3 , 椭圆C的方程可写成:x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 (4) , 又c2 ? a2 ? b2 ? b2 , 3
?右焦点F(b,0) , 设点F关于直线l的对称点(x0,y0 ) ,



? ?? ?

y0 x0 ?

b

?1

? y0 ?? 2

?1?

x0 ? b 2

?

x0

? 1,y0

?1? b ,

又点(1,1 ? b)在椭圆上,代入(4)得:1 ? 2(1 ? b) ? 2b 2 ,?b ? 3 ? 3 , 43

?b2 ? 9 , 16

a2 ? 9 8

所以所求的椭圆方程为: x2 ? y 2 ? 1 99 8 16

【例】如图,已知△P1OP2

的面积为

27 4

,P

为线段

P1P2

的一个三等分点,求以直线

OP1、OP2

为渐近线且

过点 P 的离心率为 13 的双曲线方程。 2

y P2

P

o

x

P1

解:以 O 为原点,∠P1OP2 的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系。

设双曲线方程为 x2 ? y 2 =1(a>0,b>0),由 e2= c 2 ? 1 ? ( b )2 ? ( 13 )2 ,得 b ? 3 。

a2 b2

a2

a

2

a2

∴两渐近线

OP1、OP2 方程分别为

y=

3 2

x



y=-

3 2

x

设点 P1(x1,

3 2

x1),P2(x2,-

3 2

x2)(x1>0,x2>0),

则由点 P 分 P1P2

所成的比 λ=

P1 P PP2

=2,得 P 点坐标为(

x1

? 2x2 3

,

x1

? 2x2 2

),

又点 P 在双曲线 x 2 ? 4 y 2 =1 上,所以 (x1 ? 2x2 )2 ? (x1 ? 2x2 )2 =1,

a 2 9a 2

9a 2

9a 2

即(x1+2x2)2-(x1-2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2 ①

又 | OP1 |?

x12

?

9 4

x12

?

13 2

x1 , |

OP

|?

x22

?

9 4

x22

?

13 2 x2

sin

P1OP2

? 2 tan P1Ox 1 ? tan2 P1Ox

?

2? 1?

3
2 9

? 12 13

4

? S ?P1OP2

?

1 2

|

OP1

|

?

|

OP2

| ?sin P1OP2

?

1 2

?

13 4

x1

x2

? 12 13

?

27 , 4

即 x1x2=

9 2



由①、②得 a2=4,b2=9。 故双曲线方程为 x2 ? y 2 =1。 49

【例】需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例

题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”过椭圆 C: y 2 ? x 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一动点 P a2 b2
引圆 O:x2 +y2 =b2 的两条切线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于 M、N 两点。(1) 已

知 P 点坐标为(x0,y0 )并且 x0y0≠0,试求直线 AB 方程;(2)

若椭圆的短轴长为 8,并且 a 2 | OM |2

? b2 | ON |2

? 25 , 16

求椭圆 C 的方程;(3) 椭圆 C 上是否存在点 P,由 P 向圆 O 所引两条切线互相垂直?若存在,请求出存在 的条件;若不存在,请说明理由。

解:(1)设 A(x1,y1),B(x2, y2) 切线 PA: x1x ? y1 y ? b2 ,PB: x2 x ? y2 y ? b2

∵P 点在切线 PA、PB 上,∴ x1x0 ? y1 y0 ? b2 x2 x0 ? y2 y0 ? b2

∴直线 AB 的方程为 x0 x ? y0 y ? b2 (x0 y0 ? 0)

(2)在直线 AB 方程中,令 y=0,则 M( b2 ,0);令 x=0,则 N(0, b2 )

x0

y0



a2

? b2

?

a2

(

y

2 0

?

x02 ) ?

a2

?

25



| OM |2 | ON |2 b 2 a 2 b2 b 2 16

∵2b=8 ∴b=4 代入①得 a2 =25, b2 =16 ∴椭圆 C 方程: y 2 ? x2 ?1(xy ? 0)
25 16 (3) 假设存在点 P(x0,y0)满足 PA⊥PB,连接 OA、OB 由|PA|=|PB|知,

四边形 PAOB 为正方形,|OP|= 2 |OA| ∴ x02 ? y02 ? 2b2 ①

又∵P 点在椭圆 C 上 ∴ a 2 x02 ? b2 y02 ? a 2b2 ②

由①②知

x

2 0

?

b2 (a 2 ? 2b2 ) a2 ? b2

,

y02

?

a2b2 a2 ? b2

∵a>b>0 ∴a2 -b2>0

(1)当 a2-2b2>0,即 a> 2 b 时,椭圆 C 上存在点,由 P 点向圆所引两切线互相垂直;

(2)当 a2-2b2<0,即 b<a< 2 b 时,椭圆 C 上不存在满足条件的 P 点

【例】已知点 B(-1,0),C(1,0),P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB.

(1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论。 (3)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD,AE,且 AD,AE 的斜率 k1、k2 满 足 k1·k2=2。求证:直线 DE 过定点,并求出这个定点。

解:(1)设 P(x, y)代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 (x ?1)2 ? y2 ? 1? x,化简得y2 ? 4x.

(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4x得m ? 1,?点A的坐标为(1,2).

设直线AD的方程为y ? 2 ? k(x ?1)代入y 2 ? 4x, 得y 2 ? 4 y ? 8 ? 4 ? 0, kk

由y1

?

2可得y 2

?

4 k

4 ? 2,? D(
k2

? 1,

4 k

? 2).

同理可设直线 AE : y ? 2 ? ? 1 (x ?1), 代入y 2 ? 4x得E(4k 2 ?1,?4k ? 2). k

4 ? 4k

则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? k

(x ? 4k 2 ?1), 化简得

4

k 2 ? 4k

k 2 ( y ? 2) ? k(x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0,

即y ? 2 ? ? k (x ? 5), 过定点(5,?2). k 2 ?1

(3)将A(m,2)代入y2 ? 4x得m ? 1,

设直线DE的方程为y ? kx ? b, D(x1, y1), E(x1, y1)

由??? ??

y y

? kx 2 ?4

? x

b 得k

2

x2

?

2(kb

?

2) x

?

b2

?

0,

? kAD

? kAE

?

2,?

y1 ? 2 x1 ? 1

?

y2 x2

?2 ?1

?

2(x1, x2

? 1),

且y1 ? kx1 ? b, y2 ? kx2 ? b

?(k 2 ? 2)x1x2 ? (kb ? 2k ? 2)(x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 2 ? 0,

将x1

?

x2

?

? 2(kb ? 2) k2

, x1 x2

?

b2 k2

代入化简得 b 2

? (k

? 2) 2 ,?b

?

?(k

? 2).

?b ? ?(k ? 2).

将b ? k ? 2代入y ? kx ? b得y ? kx ? k ? 2 ? k(x ?1) ? 2, 过定点(?1,?2).

将b ? 2 ? k代入y ? kx ? b得y ? kx ? 2 ? k ? k(x ?1) ? 2, 过定点(1,2),不合, 舍去,

?定点为(?1,?2)

【例】需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题 精 讲 ( 详 细 解 答 ) ” 或 者 搜 . 店 . 铺 .. “ 龙 奇 迹 【 学 习 资 料 网 】” 已 知 曲 线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)的离心率e ? 2 3 ,直线 l 过 A(a,0)、B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离是 3 .

a2 b2

3

2

(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的 方程。

解:(Ⅰ)依题意,l方程 x ? y ? 1,即bx ? ay ? ab ? 0, 由原点 O 到 l 的距离为 3 ,得

a ?b

2

又e ? c ? 2 3
a3

? b ? 1, a ? 3 。 故所求双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,

ab ab 3 ??
a2 ? b2 c 2

则点 M、N 坐标( x1 , y1 )、( x2 , y2 )是方程组

?y ? kx?1

?

?x2 ?? 3

?

y2

?1

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6kx ? 6 ? 0 ①

依设,1 ? 3k 2

?

0, 由根与系数关系,知 x1

? x2

?

6k

3k 2

, ?1

x1 x2

?

6 3k 2 ?1

OM ? ON ? (x1, y1) ? (x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ?1)(kx2 ?1) = (1 ? k 2 )x1x2 ? k(x1 ? x2 ) ? 1 =

6(1 ? k 2 ) ? 6k 2 ? 1 3k 2 ?1 3k 2 ?1

= 6 ?1 3k 2 ?1

? OM ? ON ? ?23



3k

6 2 ?1

?

1 =-23,k=±1 2





1
k=±

时,方程①有两个不等的实数根

2

故直线 l 方程为 y ? 1 x ?1,或y ? ? 1 x ?1

2

2

【例】已知动点 P 与双曲线

x2 2

?

y2 3

? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且

cos?F1PF2 的最小值

为?1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程;

(2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围.

解:(1)由已知可得: c ? 5 , a 2 ? a2 ? (2c)2 ? ? 1 ∴ a2 ? 9 , b2 ? a2 ? c2 ? 4

2a 2

9

∴ 所求的椭圆方程为 x2 ? y 2 ? 1 。 94
(2)方法一:由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程为

y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0



由判别式

? ? (54k)2

? 4 ? (4 ? 9k 2 ) ? 45 ? 0 ,得 k 2

?

5 9



再设 M (x 1

, y 1 ), N ( x 2

, y 2),则一方面有

DM

?

(x1

,

y1

?

3)

?

?DN

?

?(x2 ,

y2

?

3)

?

(?x2 ,

?( y2

?

3))

,得

???xy11

? ?

?x2 3 ? ?(

y2

?

3)

另一方面有

x1

?

x2

?

?

54k 4 ? 9k 2



x1x2

?

45 4 ? 9k 2



将 x1 ? ?x2 代入②式并消去

x

2

可得

324? 5(1 ? ?)

2

?

4 k2

? 9 ,由前面知,

0 ? 4 ? 36 k2 5

∴ 9 ? 324? ? 81 ,解得 5(1 ? ?)2 5

1 ?? ?5。 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? ? 1 或? ? 5 ,所以 1 ? ? ? 5 为所求。

5

5

方法二:同上得

? ? ?

x1 y1

? ?

?x2 3 ? ?(y2

?

3)

设点 M (3cosα,2sinα),N (3cosβ,2sinβ)

则有

?cos? ? ? cos ? ??2sin ? ? 3 ? ?(2

sin

?

?

3)

由上式消去 α 并整理得 sin ? ? 13?2 ?18? ? 5 , 12(?2 ? ?)

由于 ?1 ? sin ? ? 1



?1

?

13?2 ?18? ? 12(?2 ? ?)

5

?

1,

解得 1 ? ? ? 5 为所求。 5

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方法三:设法求出椭圆上的点到点 D 的距离的最大值为 5,最小值为 1。进而推得 ? 的取值范围为 1 ? ? ? 5 。
5
【例】 如图所示,抛物线 y2=4x 的顶点为 O,点 A 的坐标为(5,0),倾斜角为 ? 的直线 l 与线段 4
OA 相交(不经过点 O 或点 A)且交抛物线于 M、N 两点,求△AMN 面积最大时直线 l 的方程,并 求△AMN 的最大面积。 解:由题意,可设 l 的方程为 y=x+m,-5<m<0。

由方程组

?? y ? ?? y

?x?m 2 ? 4x

,消去

y,得

x2+(2m-4)x+m2=0……………①

∵直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N,∴方程①的判别式 Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0,

解得 m<1,又-5<m<0,∴m 的范围为(-5,0)

设 M(x1,y1),N(x2,y2)则 x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,∴|MN|=4 2(1 ? m) 。 点 A 到直线 l 的距离为 d= 5 ? m 。
2 ∴S△=2(5+m) 1? m ,从而 S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m)≤2( 2 ? 2m ? 5 ? m ? 5 ? m )3=128。
3
∴S△≤8 2 ,当且仅当 2-2m=5+m,即 m=-1 时取等号。 故直线 l 的方程为 y=x-1,△AMN 的最大面积为 8 2 。 【例】已知双曲线 C:2x2-y2=2 与点 P(1,2)。(1)求过 P(1,2)点的直线 l 的斜率取值范围,使 l 与 C 分别 有一个交点,两个交点,没有交点。(2)若 Q(1,1),试判断以 Q 为中点的弦是 否存在。 解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点。 当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 代入 C 的方程,并整理得(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0………………(*)
(ⅰ)当 2-k2=0,即 k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点

(ⅱ)当 2-k2≠0,即 k≠± 2 时 Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)

①当 Δ=0,即 3-2k=0,k= 3 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点。 2

②当 Δ>0,即 k< 3 ,又 k≠± 2 ,故当 k<- 2 或- 2 <k< 2 或 2 <k< 3 时,方程(*)有两不

2

2

等实根,l 与 C 有两个交点。

③当 Δ<0,即 k> 3 时,方程(*)无解,l 与 C 无交点。 2
综上知:当 k=± 2 ,或 k= 3 ,或 k 不存在时,l 与 C 只有一个交点;
2
当 2 <k< 3 ,或- 2 <k< 2 ,或 k<- 2 时,l 与 C 有两个交点;
2 当 k> 3 时,l 与 C 没有交点。
2

(2)假设以 Q 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 2x12-y12=2,2x22-y22=2 两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)

又∵x1+x2=2,y1+y2=2∴2(x1-x2)=y1-y1 即

kAB=

y1 x1

? ?

y2 x2

=2

但渐近线斜率为± 2 ,结合图形知直线 AB 与 C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不存在。

【例】已知双曲线 G 的中心在原点,它的渐近线与圆 x2 ? y2 ?10x ? 20 ? 0 相切.过点 P??4, 0? 作斜率
为 1 的 直 线 l , 使 得 l 和 G 交 于 A, B 两 点 , 和 y 轴 交 于 点 C , 并 且 点 P 在 线 段 AB 上 , 又 满 足 4
PA ? PB ? PC 2 .

(1)求双曲线 G 的渐近线的方程; (2)求双曲线 G 的方程; (3)椭圆 S 的中心在原点,它的短轴是 G 的实轴.如果 S 中垂直于 l 的平行弦的中点的轨迹恰好是 G 的 渐近线截在 S 内的部分,求椭圆 S 的方程. 解:(1)设双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? kx ,则由渐近线与圆 x2 ? y2 ?10x ? 20 ? 0 相切可得:

5k ? 5.
k2 ?1

所以, k ? ? 1 .双曲线 G 的渐近线的方程为: y ? ? 1 x .

2

2

(2)由(1)可设双曲线 G 的方程为: x2 ? 4 y2 ? m .

把直线 l 的方程 y ? 1 ? x ? 4? 代入双曲线方程,整理得 3x2 ? 8x ?16 ? 4m ? 0 .
4

则 xA

?

xB

?

8, 3

xA xB

?

? 16 ? 4m 3

(*)

∵ PA ? PB ? PC 2 , P, A, B,C 共线且 P 在线段 AB 上,

∴ ? xP ? xA ?? xB ? xP ? ? ? xP ? xC ?2 ,即:? xB ? 4???4 ? xA ? ? 16 ,整理得:4? xA ? xB ? ? xAxB ? 32 ? 0
将(*)代入上式可解得: m ? 28 .所以,双曲线的方程为 x2 ? y2 ? 1. 28 7

? ? (3)由题可设椭圆 S 的方程为: x2 ? 28

y2 a2

?1

a

?2

7

.下面我们来求出 S 中垂直于 l 的平行弦中点的

轨迹.需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例 题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”

设弦的两个端点分别为 M ? x1, y1 ?, N ? x2 , y2 ? , MN 的中点为 P? x0 , y0 ? ,则

? ?? ? ? ??

x12 28 x22 28

? ?

y12 a2
y22 a2

?1
.两式作差得:
?1

?

x1

?

x2 ? ? x1
28

?

x2

?

?

?

y1

?

y2 ??
a2

y1

?

y2

?

?

0

由于

y1 ? y2 x1 ? x2

? ?4 , x1 ? x2

? 2x0 , y1 ?

y2

? 2 y0

所以, x0 ? 28

4 y0 a2

? 0,

所以,垂直于 l 的平行弦中点的轨迹为直线

x 28

?

4y a2

?

0 截在椭圆

S

内的部分.

又由题,这个轨迹恰好是 G 的渐近线截在 S 内的部分,所以, a2 ? 1 . 112 2

所以, a2 ? 56 ,椭圆 S 的方程为: x2 ? y2 ? 1 . 28 56
点评:解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上(也即化线段的关系为横坐标(或纵坐标) 之间的关系)是常用的简化问题的手段;有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法;判别式和韦达 定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具).

【例】已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别 是 7 和 1。需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总 结 例题精讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】” (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, OP =λ,求点 M 的轨迹方程, OM

并说明轨迹是什么曲线。 需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝. “高考复习资料 高中数学 知识点总结 例题精 讲(详细解答)” 或者搜.店.铺..“龙奇迹【学习资料网】”
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

?a ??a

? ?

c c

? ?

1 7

,

解得a

?

4,

c

?

3

,w。w。w。k。s。5。u。c。o。m

所以椭圆 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 16 7

(Ⅱ)设 M (x, y)

,其中 x ???4, 4?。由已知

OP 2 OM 2

?

? 2 及点 P 在椭圆 C

上可得

9x2 ?112 16(x2 ? y2 )

?

? 2 。整理得 (16? 2

? 9)x2

?16? 2 y2

? 112

,其中

x ???4, 4? 。

(i) ? ? 3 时。化简得 9 y2 ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3

(ii) ? ? 3 时,方程变形为 4

x2 112

?

y2 112

? 1,其中 x ???4, 4?

16? 2 ? 9 16? 2

当 0 ? ? ? 3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的部分。 4
当 3 ? ? ? 1时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4
当 ? ?1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;

【例】已知椭圆

C∶x a

2 2



y2 b2

=1?

a>b>0?

的离心率为

3 ,过右焦点 F 的直线 L 与 C 相交于 A、B 两点, 3

当 L 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 L 的距离为 2 。 2
(Ⅰ) 求 a,b 的值;
(Ⅱ) C 上是否存在点 P,使得当 L 绕 F 转到某一位置时,有 OP=OA+OB 成立?若存在,求出所有的 P
的坐标与 L 的方程;若不存在,说明理由 考点:本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有 关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处 理。
解:(Ⅰ)设 F ?c,0?, 当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x ? y ? c ? 0,O 到 l 的距离为

0?0?c ?

c



2

2

故 c ? 2 , c ?1 22

由 e ? c ? 3 ,得 a ? 3 , b ? a2 ? c2 = 2 a3

(Ⅱ)C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 2x 2 + 3 y 2 =6。 设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ). (ⅰ) 当l不垂直x轴时,设l的方程为y ? k(x ?1)

C 上的点P使OP ? OA ? OB 成 立 的 充 要 条 件 是 P点的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2) 且 2(x1 ? x2 )2 ? 3( y1 ? y2 )2 ? 6 整理得 2x12 ? 3y12 ? 2x2 2 ? 3y2 2 ? 4x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6 又A、B在C上,即2x12 ? 3y1 2 ? 6,2x22 ? 3y22 ? 6 。 故 2x1x2 ? 3y1 y2 ? 3 ? 0 ① 将 y ? k(x ?1)代入2x2 ? 3y 2 ? 6,并化简得 (2 ? 3k 2 )x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0

于是

x1

?

x2

?

6k 2 2 ? 3k 2

,

x1 x2 =

3k 2 ? 6 2 ? 3k 2

,

y1 y2

?

k 2 (x1

?1)( x2

? 2)

?

? 4k 2 2 ? 3k 2

代入①解得, k 2

? 2 ,此时 x1 ? x2

? 3。 2

于是 y1 ? y2 ? k(x1

?

x2

?

2)

=

?

k 2



即 P(3 ,? k ) 22

因此, 当 k ? ? 2 时, P( 3 , 2 ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 ; 22

当 k ? 2 时, P( 3 ,? 2 ) , l的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 。 22

(ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA ? OB ? (2,0) 知,C 上不存在点 P 使 OP ? OA ? OB 成立。

综上,C上存在点 P( 3 ,? 2 ) 使 OP ? OA ? OB 成立,此时 l 的方程为 2x ? y ? 2 ? 0 22

【例】已知椭圆 C1 :

y2 a2

?

x2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1.

(I)求椭圆 C1 的方程;

(II)设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h (h ? R) 上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M , N .当线段 AP 的

中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

?b ? 1

解:(I)由题意得

? ? ??2

?

b2 a

?a

?

,? 1

??b

? 2, 所求的椭圆方程为 ?1

y2 4

?

x2

?1

(II)不妨设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ), P(t, t 2 ? h), 则

抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y? x?t ? 2t ,直线 MN 的方程为 y ? 2tx ? t 2 ? h ,

将 上 式 代 入 椭 圆 C1 的 方 程 中 , 得 4x2 ? (2tx ? t2 ? h)2 ? 4 ? 0 , 即

? ? 4 ?1t2 x2 ? 4t 2(t? h)? x2 (? t ,2 )?h ?4 0

因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点,所以有 ?1 ? 16 ???t4 ? 2(h ? 2)t2 ? h2 ? 4?? ? 0 ,

设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 ,则 x3

?

x1 ? x2 2

?

t(t 2 ? h) 2(1? t2 )

设线段

PA

的中点的横坐标是

x4

,则

x4

?

t

?1, 2

由题意得 x3 ? x4 ,即有 t2 ? (1? h)t ?1 ? 0 ,其中的 ?2 ? (1? h)2 ? 4 ? 0,? h ? 1或 h ? ?3 ;

当 h ? ?3 时有 h ? 2 ? 0, 4 ? h2 ? 0 ,因此不等式 ?1 ? 16 ???t4 ? 2(h ? 2)t2 ? h2 ? 4?? ? 0 不成立;

因此 h ?1,当 h ?1时代入方程 t2 ? (1? h)t ?1 ? 0 得 t ? ?1,

将 h ? 1,t ? ?1代入不等式 ?1 ? 16 ???t4 ? 2(h ? 2)t2 ? h2 ? 4?? ? 0 成立,因此 h 的最小值为1.

【例】设椭圆 E:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N(

6 ,1)两点,O 为坐标原点,

(I)求椭圆 E 的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB ?
若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。 考点:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆 的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。

解:(1)因为椭圆 E:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a,b>0)过 M(2,

2 ) ,N(

6 ,1)两点,

?4

所以

?? ? ?

a2 6

?? a2

? ?

2 b2 1 b2

? ?

1 1

解得

?
?? ?
? ??

1 a2 1 b2

? ?

1 8 1 4

所以

?a2 ??b2

? 8 椭圆 E 的方程为 ?4

x2 8

?

y2 4

?1

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ? OB , 设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 。

? y ? kx ? m

解方程组

? ?

x2

y2

得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (1? 2k 2 )x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

?? 8 ? 4 ? 1

则△=16k 2m2 ? 4(1? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

? ??

x1

?

x2

?

? 4km 1? 2k 2

? ? ??

x1 x2

?

2m2 ? 8 1? 2k 2

,

y1 y2

?

(kx1

?

m)(kx2

?

m)

?

k 2 x1x2

?

km(x1

?

x2 ) ?

m2

?

k 2 (2m2 ? 8) 1? 2k 2

?

4k 1?

2m2 2k 2

?

m2

?

m2 ? 8k 2 1? 2k 2

要 使 O A?

O B, 需 使 x1 x2?

y1

y?2 0

,即

2m2 ? 8 1? 2k 2

?

m2 ? 8k 1? 2k 2

2

?0

,所以

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0

,所以

k 2 ? 3m2 ? 8 ? 0 8

又 8k 2

? m2

?4

?

0

,所以

? m2 ??3m2

?2 ?8

,所以

m

2

?

8 3

,即 m

?

26 3

或m

?

?

26 3

,

因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为 r ?

m 1? k2

,r2

?

1

m2 ?k

2

?

1

?

m2 3m2

?8

? 8,r 3

?

26 3

,

8

所求的圆为 x2 ? y2 ? 8 ,此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ? 2

6 或m??2

6
,

3

3

3

而 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 切 线 为 x ? ? 2 6 与 椭 圆 x2 ? y2 ? 1 的 两 个 交 点 为 ( 2 6 ,? 2 6)或

3

84

33

(? 2 6 , ? 2 6 )

3

3

满足 OA ? OB , 综上, 存在圆心在原点的圆 x2 ? y2 ? 8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
3 OA ? OB 。





? ??

x1

?

x2

?

4km ?
1? 2k 2

? ? ??

x1 x2

?

2m2 ? 8 1? 2k 2

,





(x1 ? 2

x2 ) ?

24k 1?

k

2(

x1

?

2m? 2

x2

)2

? ?

2
k2

,

2m?4 1

x18

?

?

2k

2 2

x?2

8(?k

| AB |?

(x1 ? x2 )2 ? ? y1 ? ?y2 2 ?

(1? k 2 )(x1 ? x2 )2 ?

(1? k 2 ) 8(8k 2 ? m2 ? 4) (1? 2k 2 )2

? 32 ? 4k4 ? 5k2 ?1 ? 32 [1?

k2

],

3 4k 4 ? 4k 2 ?1 3 4k 4 ? 4k 2 ?1

①当 k ? 0 时| AB |?

32 [1? 3

4k 2

1

?

1 k2

]。 ?4

因为 4k 2

?

1 k2

? 4 ? 8 所以 0 ?

4k 2

1

?

1 k2

?4

?

1 8

,

所以 32 ? 32 [1?

1

] ? 12 , 所以 4 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 k ? ? 2 时取”=”。

33

4k 2

?

1 k2

?

4

3

2

② 当 k ? 0 时,| AB |? 4 6 。 3



当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 ( 2

6 ,? 2

6 ) 或 (? 2

6 ,? 2

6 ) ,所以此时| AB |? 4

6
,

33

33

3

综上, |AB |的取值范围为 4 6 ?| AB |? 2 3 即: | AB |?[ 4 6, 2 3]

3

3

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