扬州市江都市大桥中学2012-2013学年高一下学期开学考试数学试题


2012-2013 学年江苏省扬州市江都市大 桥中学高一(下)开学数学试卷
一、填空题 1. 分)不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|<0 的解集为 (3 {x|﹣1<x<1} . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|<0 的解集,可以考虑平方去绝对的方法,先移 向,平方,然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案. 解答: 解:|2x﹣1|﹣|x﹣2|<0 移向得:丨 2x﹣1 丨<丨 x﹣2 丨 两边同时平方得(2x﹣1) <(x﹣2) 2 2 即:4x ﹣4x+1<x ﹣4x+4, 2 整理得:x <1,即﹣1<x<1 故答案为:{x|﹣1<x<1}. 点评: 此题主要考查绝对值不等式的解法的问题,其中涉及到平方去绝对值的方法,对于绝 对值不等式属于比较基础的知识点,需要同学们掌握.
2 2

2. 分)已知向量 =(1,2) =(x,4) (3 , ,且 ⊥ ,则 x=

﹣8 .

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由两向量垂直的坐标表示直接代入坐标求解. 解答: 解:由向量 =(1,2) =(x,4) , ,且 ⊥ , 则 1×x+2×4=0,所以 x=﹣8. 故答案为﹣8. 点评: 本题考查了数量积判断两个向量的垂直关系,若 =(a1,a2) =(b1,b2) , ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0,此题是基础题. 3. 分) (3 (2010?宣武区二模)数列 a1,a2,…,a7 中,恰好有 5 个 a,2 个 b(a≠b) ,则不 相同的数列共有 21 个. 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 个元素进行全排列共有 A77 种结果,在这些结果中有 5 个 a,2 个 b,这样前面的全 7 排列就出现了重复,共重复了 A5 A2 次,得到不同的排列共有
5 2

种结果.

1

解答: 解:∵ 数列 a1,a2,…,a7 中,恰好有 5 个 a,2 个 b 7 7 个元素进行全排列共有 A7 种结果, 5 2 在这些结果中有 5 个 a,2 个 b,这样前面的全排列就出现了重复,共重复了 A5 A2 次, ∴ 不同的排列共有 =21 种结果,

故答案为:21. 点评: 本题考查在排列组合中出现重复的元素的排列,这种问题,首先要进行正常排列,后 面要除以重复的次数,重复的次数是相同元素的一个全排列. 4. 分) (3 给出以下变量① 吸烟, 性别, 宗教信仰, 国籍, ② ③ ④ 其中属于分类变量的有 ②④ . ③ 考点: 独立性检验. 专题: 探究型. 分析: 根据分类变量的定义判断. 解答: 解:① 因为吸烟不是分类变量,是否吸烟才是分类变量,其他②④ ③属于分类变量. 故答案为:②④ ③. 点评: 本题主要考查分类变量的判断.分类变量的变量值是定性的,表现为互不相容的类别 或属性.分类变量可分为无序变量和有序变量两类. 5. 分)对于函数 f(x) (3 ,若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称点(x0,x0)为函数的 2 不动点,对于任意实数 b,函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有相异不动点,实数 a 的取值范围是 0 <a<1 . 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;新定义. 2 2 分析: 函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点,则方程 ax +bx﹣b=x 有两个相异的实 根,由此可以构造出一个不等式,结合函数的性质,解不等式即可得到 a 的范围. 2 解答: 解:由题意可得)函数 f(x)=ax +bx﹣b 总有两个相异的不动点, 即关于 x 的方程 f(x)=x 有两个不等根. 2 化简 f(x)=x 得到 ax +(b﹣1)x﹣b=0. 2 2 所以(b﹣1) +4ab>0,即 b +(4a﹣2)b+1>0 恒成立, 2 所以(4a﹣2) ﹣4<0. 解之得:0<a<1 故答案为:0<a<1 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次函数、二次方程、二次不等式之 间的关系,将函数问题转化为不等式或方程问题是解答本题的关键.

6. 分)已知△ (3 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 那么∠ C= .



2

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理的面积公式结合余弦定理,化简可得 cosC=sinC 即 tanC=1,结合三角形内 角的范围,可得 C 的大小. 2 2 2 解答: 解:∵ 根据余弦定理,得 a +b ﹣c =2abcosC ∴ = abcosC

∵ 由正弦定理得 S△ABC= absinC ∴ abcosC= absinC,得 cosC=sinC 即 tanC=1,C∈(0,π)得 C= 故答案为:
2 2 2 点评: 本题给出三角形面积公式关于 a 、b 、c 的式子,求角 C 大小.着重考查了三角形面 积公式和正余弦定理等知识,属于基础题.

7. 分)在△ (3 ABC 中,

,C=150°,BC=1,则 AB=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: A 为三角形的内角,根据 cosA 的值求出 sinA 的值,再由 sinC 及 a 的值,利用正 由 弦定理求出 c 的值,即为 AB 的值. 解答: 解:∵ 为三角形的内角,cosA= A , ∴ sinA= = ,

∵ sinC=sin150°= ,BC=a=1,

∴ 由正弦定理

=

得:AB=c=

=

=



故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练 掌握正弦定理是解本题的关键.

3

8. 分) (3 (2004?福建)如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边 形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 时,其容积最大.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 压轴题. 分析: 要求正六棱柱容器的容积最大,得需要得出容积表达式;由柱体的体积公式知,底面 积是正六边形, 是六个全等小正△ 的和, 高是 Rt△ 60°角所对的直角边, 中 由高和底面积得出容积函数, 用求导法可以求出最大值时的自变量取值. 解答: 解:如图,设底面六边形的边长为 x,高为 d,则 d= ? (1﹣x) 又底面六边形的面积为: ;
2

S=6? ?X ?sin60°= V=Sd= x?
2 2

x ;所以,这个正六棱柱容器的容积为: ,则对 V 求导,则

2

(1﹣x)=

V′ (2x﹣3x ) = ,令 V′ =0,得 x=0 或 x= , 当 0<x< 时,V′ >0,V 是增函数;当 x> 时,V′ <0,V 是减函数;∴ 时,V x= 有最大值. 故答案为:

点评: 本题通过建立体积函数表达式, 由求导的方法求函数最大值, 是比较常用的解题思路, 也是中学数学的重要内容. 9. 分)函数 y=x ﹣4x+3 在区间[﹣2,3]上的最大值为 72 . (3 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用.
4
4

分析: 先对函数进行求导,然后判断函数在[﹣2,3]上的单调性,进而确定最值. 4 解答: 解:∵ ﹣4x+3, y=x 3 ∴ y'=4x ﹣4 3 4 当 y'=4x ﹣4≥0 时,x≥1,函数 y=x ﹣4x+3 单调递增 ∴ 在[1,3]上,当 x=3 时函数取到最大值 72, 3 4 当 y'=4x ﹣4<0 时,x<1,函数 y=x ﹣4x+3 单调递减 ∴ 在[﹣2,1]上,当 x=﹣2 时函数取到最大值 27. 4 ∴ 函数 y=x ﹣4x+3 在区间[﹣2,3]上的最大值为 72. 故答案为:72. 点评: 本题主要考查利用导数求函数的最值的问题.属基础题. 10. 分)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1, (3 ,BD⊥ CD.将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′ ﹣BCD,使平面 A'BD⊥ 平面 BCD,则 BC 与平面 A′ 所成的 CD 角的正弦值为 .

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 先证明 BA′平面 A′ ⊥ CD,可得∠ BCA′ BC 与平面 A′ 所成的角,即可求出 BC 为 CD 与平面 A′ 所成的角的正弦值. CD 2 2 2 解答: 解:∵ B=A′ A′ D=1, ,∴ B +A′ =BD A′ D ∴ ⊥ D BA′A′ ∵ 平面 A'BD⊥ 平面 BCD,BD⊥ CD,平面 A'BD∩ 平面 BCD=BD ∴ 平面 A'BD CD⊥ ∵ ?平面 A'BD BA′ ∴ ⊥ BA′CD ∵ D∩ A′ CD=D ∴ ⊥ BA′平面 A′ CD ∴BCA′ BC 与平面 A′ 所成的角 ∠ 为 CD ∵ CD=1, , ∴ BC= ∴ 与平面 A′ 所成的角的正弦值为 BC CD 故答案为: 点评: 本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质及线面垂直的判定与性质, 其中利用面面 垂直的性质定理,确定 BA′平面 A′ 是解答本题的关键. ⊥ CD =

5

11. 分)一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为 45°,腰 (3 和上底均为 1(如图) ,则平面图形的实际面积为 2+ .

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 利用原图和直观图的关系,可得直观图,利用梯形面积公式求解即可. 解答: 解: 恢复后的原图形为一直角梯形, 上底为 1, 高为 2, 下底为 1+ , (1+ S= ×2=2+ . 故答案为:2+ 点评: 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法,属基础知识的考查. 12. 分)按如图所示的流程图运算,则输出的 S= 60 . (3

+1)

考点: 循环结构. 专题: 图表型. 分析: 根据流程图,先进行判定条件,不满足条件则运行循环体,一直执行到满足条件即跳 出循环体,输出结果即可. 解答: 解:第一次运行得:S=5,a=4,满足 a≥3,则继续运行 第二次运行得:S=20,a=3,不满足 a≥3,则继续运行 第三次运行得:S=60,a=2,满足 a≥3,则停止运行 输出 S=60. 故答案为:60.

6

点评: 本题主要考查了当型循环结构,循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结 构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,在近两年的新课标地区 高考都考查到了,属于基础题. 13. 分)某学校为了解该校 1200 名男生的百米成绩(单位:秒) (3 ,随机选择了 50 名学生 进行调查.如图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这 1200 名学生中成绩在[13,15](单位:秒)内的人数大约是 240 .

考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 概率与统计. 分析: 先算出频率分布直方图前面两个成绩在[13,15](单位:s)内的频率,再利用频数等 于频率乘以样本总数即可解得 600 名学生中成绩在[13,15]内的人数. 解答: 解:∵ 由图知,前面两个小矩形的面积=0.02×1+0.18×1=0.2,即频率, ∴ 1200 名学生中成绩在[13,15](单位:s)内的人数大约是 0.2×1200=240. 故答案为 240. 点评: 在频率分布直方图中,每一个小矩形都是等宽的,即等于组距,其面积表示数据的取 值落在相应区间上的频率,因此,每一个小矩形的高表示该组上的个体在样本中出现 的频率与组距的比值. 14. 分) (3 如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是矩形, 平面 ABCD⊥ 平面 ABE, 已知 AB=2, BC=1,AE=BE= ,若 M,N 分别是线段 DE,CE 上的动点,则 AM+MN+NB 的最小值为 3 .

7

考点: 平面与平面垂直的性质. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由面面垂直性质定理,得到 AD⊥ 平面 ABCD,从而 Rt△ ADE 中,根据题中数据算出 ∠ AED=∠ AED=30°.证出△ CDE 中,是边长为 2 的等边三角形,从而∠ DEC=60°.将四 棱锥 E﹣ABCD 的侧面沿展开铺平如图,在展开图△ ABE 中由余弦定理算出 AB 长等 于 3,即为 AM+MN+NB 的最小值. 解答: 解:∵ 平面 ABCD⊥ 平面 ABE,平面 ABCD∩ 平面 ABE=AB,AD⊥ AB ∴ 平面 ABCD, AD⊥ 可得 Rt△ ADE 中,AD=1,AE= , ∴AED=30°,同理得到∠ ∠ BEC=30° ∵CDE 中,CD=DE=CE=2,∴DEC=60°, △ ∠ 将四棱锥 E﹣ABCD 的侧面 AED、DEC、CEB 沿 DE、CE 展开铺平如图, 则展开图△ ABE 中,∠ AEB=120°,由余弦定理得 AB =AE +BE ﹣2AE?BE?cos120°=3+3﹣2×3×(﹣ )=9, 解之得 AB=3,即 AM+MN+BN 的最小值为 3. 故答案为:3.
2 2 2

点评: 本题给出四棱锥 E﹣ABCD,求折线 AM+MN+BN 的最小值.着重考查了面面垂直性 质定理解三角形和空间问题平面化的思路等知识,属于中档题. 二、解答题 15. (12 分)如图,在三棱柱 ABC﹣A'B'C'中,点 D 是 BC 的中点,欲过点 A'作一截面与平 面 AC'D 平行,问应当怎样画线,并说明理由.

8

考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 计算题. 分析: B'C'的中点 E,连接 A'E、A'B、BE,则平面 A'EB∥ 取 平面 AC'D,A'E、A'B、BE 即 为应画的线.再利用平面和平面平行的判定定理即可证得平面 A'EB∥ 平面 AC'D. 解答: 解:在三棱柱 ABC﹣A'B'C'中,点 D 是 BC 的中点,取 B'C'的中点 E,连接 A'E、A'B、 BE,则平面 A'EB∥ 平面 AC'D,A'E、A'B、BE 即为应画的线. 证明:∵ 为 BC 的中点,E 为 B'C'的中点,∴ D BD=C'E,又∵ B'C',∴ BC∥ 四边形 BDC'E 为平行四边形,∴ DC'∥ BE. 连接 DE,则 DE BB',∴ DE AA',∴ 四边形 AA'ED 是平行四边形,∴ A'E. AD∥ 又∵ A'E∩ BE=E, A'E?平面 A'BE, BE?平面 A'BE, AD∩ DC'=D, AD?平面 AC'D, DC'? 平面 AC'D, ∴ 平面 A'EB∥ 平面 AC'D.

点评: 本题主要考查平面和平面平行的判定定理的应用,体现了数形结合的数学思想,属于 中档题. 16.已知函数 f(x)=x ﹣3x ﹣9x+11. (1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. (要列表求) 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 计算题;导数的综合应用. 3 2 2 分析: (1)由 f(x)=x ﹣3x ﹣9x+11,知 f′ (x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) (x﹣3) ,由 f′ (x) =3(x+1) (x﹣3)<0,能求出函数 f(x)的递减区间. 3 2 2 (2)由 f(x)=x ﹣3x ﹣9x+11,知 f′ (x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) (x﹣3) ,由 f′ (x)
9
3 2

=3(x+1) (x﹣3)=0,得 x1=﹣1,x2=3.列表讨论,能求出函数 f(x)的极大值和 极小值. 3 2 解答: (1)∵ 解: f(x)=x ﹣3x ﹣9x+11, 2 ∴ (x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) f′ (x﹣3) , 由 f′ (x)=3(x+1) (x﹣3)<0,得﹣1<x<3. ∴ 函数 f(x)的递减区间是(﹣1,3) . 3 2 (2)∵ f(x)=x ﹣3x ﹣9x+11, 2 ∴ (x)=3x ﹣6x﹣9=3(x+1) f′ (x﹣3) , 由 f′ (x)=3(x+1) (x﹣3)=0,得 x1=﹣1,x2=3. 列表讨论: x (﹣∞, ﹣1) ﹣1 (﹣1,3) 3 (3,+∞) + 0 0 + f(x) ﹣ ↑ ↓ ↑ f′ (x) 极大值 极小值 ∴ x=﹣1 时,函数取得极林值 f(﹣1)=﹣1﹣3+9+11=16; 当 当 x=3 时,函数取得极小值 f(3)=27﹣27﹣27+11=﹣16. 点评: 本题考样函数的单调递减区间的求法,考查函数的极值的求法.解题时要认真审题, 仔细解答,注意导数性质的合理运用. 17. (12 分)对于函数 :

(Ⅰ 是否存在实数 a 使函数 f(x)为奇函数? ) (Ⅱ 探究函数 f(x)的单调性(不用证明) ) ,并求出函数 f(x)的值域. 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: (I)因为 f(x)的定义域为 R,所以 f(0)=0,代入函数解析式即可解得 a 的值, 再利用奇函数的定义证明此时的函数为奇函数即可; (II)先利用复合函数法判断函数 f(x)的单调性,再利用复合函数法求此函数的值 域即可 解答: (Ⅰ 解: )假设存在实数 a 函数 是奇函数,因为 f(x)的定义域为 R, 所以 f(0)=a﹣1=0,所以 a=1 此时 ,则 ,

所以 f(x)为奇函数 即存在实数 a=1 使函数 f(x)为奇函数. (Ⅱ )由(Ⅰ )知 所以 ∵ +1>1, 2
x

,因为 2 +1 在 R 上递增,所以 在 R 上递增.

x

在 R 上递减,

10

∴ ∴

, ,

即函数 f(x)的值域为(﹣1,1) 点评: 本题考查了奇函数的定义和性质,复合函数法判断函数的单调性和求函数的值域,分 清复合函数的构成是解决本题的关键 18.如图组合体中,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面 圆周上不与 A,B 重合一个点. (1)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1BC⊥ 平面 A1AC; (2)当 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: (I) 欲证平面 A1BC⊥ 平面 A1AC, 根据面面垂直的判定定理可知在平面 A1BC 内一直 线与平面 A1AC 垂直,根据侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A,B 重合一个点,则 AC⊥ BC,又圆柱母线 AA1⊥ 平面 ABC,BC 属于平面 ABC,则 AA1⊥ BC,又 AA1∩ AC=A,根据线面垂直的判定定理可知 BC⊥ 平面 A1AC,而 BC 属 于平面 A1BC,满足定理所需条件; (II)设圆柱的底面半径为 r,母线长度为 h,当点 C 是弧 的中点时,求出三棱柱

ABC﹣A1B1C1 的体积, 求出三棱锥 A1﹣ABC 的体积为, 从而求出四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积,再求出圆柱的体积,即可求出四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比. 解答: (I)因为侧面 ABB1A1 是圆柱的轴截面,C 是圆柱底面圆周上不与 A,B 重合一 解: 个点,所以 AC⊥ BC(2 分) 又圆柱母线 AA1⊥ 平面 ABC,BC 属于平面 ABC,所以 AA1⊥ BC, 又 AA1∩ AC=A,所以 BC⊥ 平面 A1AC, 因为 BC?平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥ 平面 A1AC; 分) (6 (II)设圆柱的底面半径 为 r,母线长度为 h, 当点 C 是弧 的中点时,三角形 ABC 的面积为 r ,
2 2

三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积为 r h, 三棱锥 A1﹣ABC 的体积为
2

, = , (10 分)

四棱锥 A1﹣BCC1B1 的体积为 r h﹣

11

圆柱的体积为 πr h, 四棱锥 A1﹣BCC1B1 与圆柱的体积比为 2:3π. (12 分)

2

点评: 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体 积等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思 想、化归与转化思想,属于中档题. 19. (16 分)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a∈N ) ,若不等式 f(x)<2x 的解集为(1, 4) ,且方程 f(x)=x 有两个相等的实数根. (1)求 f(x)的解析式; (2)若不等式 f(x)>mx 在 x∈(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用“3 个二次”的关系即可得出; (2)不等式恒成立问题,通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值. 解答: (1)∵ 解: 不等式 f(x)<2x 的解集为(1,4) , ∴ f(1)﹣2=0,f(4)﹣8=0,且 a>0. 2 2 又方程 f(x)=x 有两个相等的实数根,即 ax +(b﹣1)x+c=0 的△ =(b﹣1) ﹣4ac=0.
2 *

联立

,解得



∴ f(x)=x ﹣3x+4. (2)不等式 f(x)>mx 在 x∈(1,+∞)上恒成立? +∞)上恒成立; 令 g(x)= ,则 ,当且仅当 x=2 在 x∈(1,

2

时取等号. ∴ m<1. 点评: 解本题的关键是根据一元二次不等式的解集得到对应方程的根, 对于不等式恒成立问 题,通过分离参数转化为可以利用基本不等式求函数的最值得到. 20. (12 分) (2010?台州模拟)已知函数 f(x)=ax +bx ﹣9x 在 x=3 处取得极大值 0. (Ⅰ )求 f(x)在区间[0,1]上的最大值;
12
3 2

(Ⅱ )若过点 P(﹣1,m)可作曲线 y=f(x)的切线有三条,求实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 综合题. 分析: 2 (Ⅰ )由 f′ (x)=3ax +2bx﹣9,知

,由此能

求出 fmax(x) . 2 (Ⅱ )设过 P 点的切线切曲线于点(x0,y0) ,则切线的斜率 k=﹣3x0 +12x0﹣9,所以 2 2 切线方程为 y=(﹣3x0 +12x0﹣9) (x+1)+mw,故 y0=(﹣3x0 +12x0﹣9) 0+1)+m= (x 3 2 ﹣x0 +6x0 ﹣9x0.由此能求出满足条件的 m 的取值范围. 2 解答: (Ⅰ f′ 解: )∵ (x)=3ax +2bx﹣9, 且在 x=3 处取得极大值 0. ∴ ∴ (x)=﹣3x +12x﹣9=﹣3(x﹣1) f′ (x﹣3) 当 x∈[0,1]时,f′ (x)≤0, ∴ f(x)在[0,1]上单调递减. ∴max(x)=f(0)=0.…(6 分) f 2 (Ⅱ )设过 P 点的切线切曲线于点(x0,y0) ,则切线的斜率 k=﹣3x0 +12x0﹣9 2 所以切线方程为 y=(﹣3x0 +12x0﹣9) (x+1)+mw 2 3 2 故 y0=(﹣3x0 +12x0﹣9) 0+1)+m=﹣x0 +6x0 ﹣9x0…(9 分) (x 要使过 P 可作曲线 y=f(x)的切线有三条, 则方程 (﹣3x0 +12x0﹣9) 0+1) (x +m=﹣x0 +6x0 ﹣9x0 有三解∴ m=2x° ﹣3x° ﹣12x°+9, 3 2 令 g(x)=2x ﹣3x ﹣12x+9 2 则 g′ (x)=6x ﹣6x﹣12=6(x+1) (x﹣2)…(12 分) 易知 x=﹣1,2 为 g(x)的极值大、极小值点,又 g(x)极小=﹣11,g(x)极大=16, 故满足条件的 m 的取值范围﹣11<m<16.…(15 分) 点评: 本题考查 f(x)在区间[0, 1]上的最大值和求实数 m 的取值范围.解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
2 3 2 3 2 2

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