【高考领航】2017届高三数学(理)大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时规范训练2

课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2014· 高考福建卷)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是 ( A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析:由题意知,A 选项中 e1=0,C、D 选项中两向量均共线,都不符合 基底条件,故选 B(事实上,a=(3,2)=2e1+e2). 答案:B 2.e1,e2 是平面内一组基底,那么( ) )

A.若实数 λ1,λ2 使 λ1e1+λ2e2=0,则 λ1=λ2=0 B.空间内任一向量 a 可以表示为 a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2 为实数) C.对实数 λ1,λ2,λ1e1+λ2e2 不一定在该平面内 D.对平面内任一向量 a,使 a=λ1e1+λ2e2 的实数 λ1,λ2 有无数对 解析: 对于 A,∵e1,e2 不共线,故 λ1=λ2=0 正确;对于 B,空间向量 a 应改为与 e1,e2 共面的向量才可以;C 中,λ1e1+λ2e2 一定与 e1,e2 共面;D 中, 根据平面向量基本定理,λ1,λ2 应是惟一一对. 答案:A → 2→ 1→ 3.(2016· 郑州质检)已知△ABC 中,平面内一点 P 满足CP=3CA+3CB,若 → → |PB|=t|PA|,则 t 的值为( A.3 C.2 ) 1 B.3 1 D.2

→ → → → ?2 → 1 → ? 2 → → 2 → 解析:由题意可知PB=CB-CP=CB-? CA+ CB?=3(CB-CA)=3AB,同 3 ? ?3

→ → → 1→ 理可得PA=-3AB,∴|PB|=2|PA|,即 t=2. 答案:C 4.(2015· 高考江苏卷)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+nb=(9,- 8)(m,n∈R),则 m-n 的值为________. 解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8), ?2m+n=9, ?m=2, ∴? ∴? ?m-2n=-8, ?n=5, ∴m-n=2-5=-3. 答案:-3 → → → 5.(2016· 荆州模拟)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(-k,10),且 A, B,C 三点共线,则 k=________. → → 解析:AB=(4-k,-7),AC=(-2k,-2),∵A,B,C 三点共线,∴-2(4 2 -k)-14k=0,解得 k=-3. 2 答案:-3 6.(2016· 江西南昌模拟)已知向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=( 2cos α, 2 sin α)(α∈R), 实数 m, n 满足 ma+nb=c, 则(m-3)2+n2 的最大值为__________. ?m+n= 2cos α, 解析:由 ma+nb=c,可得? 故(m+n)2+(m-n)2=2,即 ?m-n= 2sin α, m2+n2=1, 故点 M(m, n)在单位圆上,则点 P(3,0)到点 M 的距离的最大值为|OP| +1=3+1=4,故(m-3)2+n2 的最大值为 42=16. 答案:16 7.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标. → → 解:(1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,B-*4/5),

→ → ∵A、B、C 三点共线,∴AB∥AC, ∴2(B-*4/5)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2AB, ∴(a-1,B-*4/5)=2(2,-2), ?a-1=4, ?a=5, ∴? 解得? ?B-*4/5=-4, ?b=-3, ∴点 C 的坐标为(5,-3). → → → 8.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6),OM=t1OA+t2AB. (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线. → → → 解:(1)OM=t1OA+t2AB=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2). 当点 M 在第二或第三象限时, ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, 故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时, → 由(1)知OM=(4t2,4t2+2), → → → ∵AB=OB-OA=(4,4), → → → AM=OM-OA=(4t2,4t2) → =t2(4,4)=t2AB, ∴A,B,M 三点共线. [B 级 能力突破]

1.(2015· 高考湖南卷)已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上运动,且 AB⊥BC. → → → 若点 P 的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为( A.6 B.7 )

C.8

D.9

解析:法一:AC 为 Rt△ABC 的斜边,则 AC 为圆 x2+y2=1 的一条直径, → → → → → → → → → 故 AC 必经过原点, 如图, 则PA+PC=2PO,|PA+PB+PC|=|2 PO+PB|≤2 |PO → → → → |+|PB|,当 P,O,B 三点共线时取等号,即当 B 落在点(-1,0)处时|PA+PB+PC → → → → |取得最大值,此时,PO=(-2,0),PB=(-3,0),2 |PO|+|PB|=2×2+3=7,故 → → → |PA+PB+PC|的最大值为 7.

→ → → → → 法二:同解法一,得|PA+PB+PC|=|2 PO+PB|. → → → 又PB=OB-OP, → → → → → → → → ∴|PA+PB+PC|=|2 PO+OB-OP|=|OB-3 OP| = = → → → → OB2+9 OP2-6 OB· OP 12+9×22-6×1×2cos∠POB

= 37-12cos∠POB≤ 37+12=7, → → → 当且仅当∠POB=180° 时取“等号”,故|PA+PB+PC|的最大值为 7. → → → → → 法三:同法一,得|PA+PB+PC|=|2 PO+PB|. → → 设 B(cos α,sin α),则|2 PO+PB|=|2(-2,0)+(cos α-2,sin α)|=|(-6+cos α,sin α)|= ?-6+cos α?2+sin2α= 37-12cos α≤ 37+12=7(当 cos α=-1, 即 B 落在点(-1,0)处时取等号). → → → 故|PA+PB+PC|的最大值为 7. 答案:B

2.(2016· 保定模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,设 向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( A.30° C.90° B.60° D.120° )

解析:由 p∥q 得(a+c)(c-a)=b(b-a),整理得 b2+a2-c2=ab, a2+b2-c2 1 由余弦定理得 cos C= 2ab =2,∴C=60° . 答案:B 3.(2016· 河北邯郸一模)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a- m 2b),则 n 等于( A.-2 1 C.-2 ) B.2 1 D.2

解析:由题意得 ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),∵(ma+nb) m 1 ∥(a-2b),∴-(2m-n)-4(3m+2n)=0,∴ n =-2,故选 C. 答案:C 4.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC → → → =135° ,设OC=-OA+λOB(λ∈R),则 λ 的值为________. 解析:由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a, ?a=-1+λ, 1 -a),a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得? 消去 a 得 λ=2. ?-a=λ, 1 答案:2 → → 5.如图,在△ABC 中,设AB=a,AC=b,AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R, → CR 的中点恰好为 P,则AP=________.(用 a,b 表示)

→ → → → 解析:如图,连接 BP,则AP=AC+CP=b+PR①

→ → → → → AP=AB+BP=a+RP-RB② → → ①+②得,2AP=a+b-RB③ → 又RB 1→ 1 → → =2QB=2(AB-AQ) 1? 1→? =2?a- AP?④ 2 ? ? 将④代入③得, → 1 1→ 2AP=a+b-2(a-2AP), → 2 4 解得AP=7a+7b. 2 4 答案:7a+7b. 6.(2014· 高考湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3), → → → → C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是________. → → 解析:设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1 知(x-3)2+y2=1,即动点 D 的轨迹为以点 C 为圆心的单位圆. → → → → → 又OA+OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3).∴|OA+OB+ → OC|= ?x-1?2+?y+ 3?2. 问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,

故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1. 答案: 7+1 7.已知向量 u=(x,y)与向量 v=(y,2y-x)的对应关系用 v=f(u)表示. (1)设 a=(1,1),b=(1,0),求向量 f(a)与 f(b)的坐标; (2)求使 f(c)=(p,q)(p、q 为常数)的向量 c 的坐标; (3)证明:对任意的向量 a、b 及常数 m、n,恒有 f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成 立. 解:(1)∵a=(1,1), ∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1). 又∵b=(1,0), ∴f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1). (2)设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q), ?y=p, ?x=2p-q, ∴? ∴? ?2y-x=q, ?y=p, ∴c=(2p-q,p). (3)证明:设 a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则 ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2), ∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1). ∵mf(a)=m(a2,2a2-a1), nf(b)=n(b2,2b2-b1),∴mf(a)+nf(b) =(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1), ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.


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