空间向量试题和答案

空间向量及运算
一、选择题: 1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 AC1 ? xAB ? 2 yBC ? 3zCC1 ,则 x+y+z 等于 A.1 2 B. 3 5 C. 6 11 D. 6 64 D. 9

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

2.设 a=(x,4,3),b=(3,2,z),且 a∥b,则 xz 的值为 A.9 B.-9 C.4

3.已知 A(1,2,-1)关于面 xoy 的对称点为 B,而 B 关于 x 轴对称的点为 C,则 BC ? A. (0,4,2) B. (0,-4,-2) C. (0,4,0) D. (2,0,-2)

??? ?

4.如图,在四面体 O—ABC 中,是 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 中点,则 MN ?

???? ?

? 2 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 2 3 2 ? 1 ??? ? 1 ???? 2 ??? C. ? OA ? OB ? OC 3 2 2
A.

? 1 ??? ? 2 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 2 2 3 ??? ? ??? ? 2 2 1 ???? D. OA ? OB ? OC 3 3 2
B. D.-15

5.已知 a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则 5a 与 3b 的数量积等于 A.-1 B.-3 C.-5 6.设空间四点 O,A,B,P,满足 OP ? OA ? t AB,

??? ?

??? ?

??? ?

其中 0<t<1,则有

A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 C.点 P 在线段 BA 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上 7.已知向量 a=(1,1,0) ,b=(-1,0,2) ,且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 等于 A.1 1 B. 5 3 C. 5 7 D. 5

8.设 A、B、C、D 是空间不共面的四点,且满足 AB ? AC ? 0, AC ? AD ? 0, AB ? AD ? 0, 则 B、C、D 三点构成 A.直角三角形

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.形状不能确定

9.若向量 MA, MB, MC 的起点与终点 M、A、B、C 互不重合且无三点共线,且满足下列关 系(O 为空间任一点) ,则能使向量 MA, MB, MC 成为空间一组基底的关系是 A. OM ?

??? ? ???? ???? ?

??? ? ???? ???? ?

? 1 ??? ? 1 ???? 1 ??? OA ? OB ? OC 3 3 3 ???? ? ??? ? 1 ??? ? 2 ???? C. OM ? OA ? OB ? OC 3 3

???? ?

B. MA ? MB ? MC

????

???? ???? ? ???? ???? ?

D. MA ? 2MB ? MC

????

10.已知 a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),且 sinα≠cosα,则向量 a+b 与 a-b 的 夹角是

A.0°

B.30° 答题卡

C.60°

D.90°

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: 11. 已知 a= (2, -1, 2) , b= (2, 2, 1) , 则以 a, b 为邻边的平行四边形的面积为 12.与向量 a=(2,-1,2)共线,且满足方程 a·x= -18 的向量 x=

. . .

??? ? 13. 若点 A、 B 的坐标为 A (3cosα, 3sinα, 1) 、 B (2cosθ, 2sinθ, 1) 则 | AB | 取值范围
??? ? ??? ? ??? ? ????

14.已知 G 是△ABC 的重心,O 是空间与 G 不重合的任一点,若 OA ? OB ? OC ? ? OG , 则 λ= .

15. 已知 a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3), 且|a|=5, |b|=6, a· b=30, 则

a1 ?a2 ? a3 b1 ?b2 ? b3

?



三、解答题: 16.(本题满分 l2 分) 已知 a=(1,1,0) ,b=(1,1,1) ,若 b=b1+b2,且 b1∥a,b2⊥a,试求 b1,b2.

17. (本题满分 12 分) 如图,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标为 ( 且∠BDC=90° ,∠DCB=30° . ⑴求向量 CD 的坐标; ⑵求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值.

3 1 , , 0) ,点 D 在平面 yoz 上, 2 2

??? ?

18. (本题满分 14 分) 已知 a,b 是非零的空间向量,t 是实数,设 u=a+tb. ⑴当|u|取得最小值时,求实数 t 的值; ⑵当|u|取得最小值时,求证:b⊥(a+tb).

19. (本题满分 14 分) 1 如图,已知四面体 O—ABC 中,E、F 分别为 AB,OC 上的点,且 AE= AB,F 为中点, 3 若 AB=3,BC=1,BO=2,且∠ABC=90°,∠OBA=∠OBC=60°,求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值.

20.(本题满分 14 分) 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2, P, Q 分别是 BC, CD 上的动点, 且|PQ|= 2, 建立如图所示的直角坐标系. ⑴确定 P,Q 的位置,使得 B1Q⊥D1P; ⑵当 B1Q⊥D1P 时,求二面角 C1—PQ—C 的正切值.

21.(本题满分 14 分) 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的各棱长都是 2,M 是 BC 的中点, P 是侧棱 BB1 上一点, 且 A1P⊥B1M. ⑴试求 A1P 与平面 APC 所成角的正弦; ⑵求点 A1 到平面 APC 的距离.

第十单元
一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 D

空间向量及运算参考答案
6 A 7 D 8 B 9 C 5 15. 6 10 D

二、填空题 11. 65 12. (-4,2,-4) 13.[1,5] 14.3

三、解答题 16.解:∵b1∥a,∴令 b1=(λ,λ,0),b2=b-b1=(1-λ,1-λ,1), 又∵b2⊥a,∴a·b2=(1,1,0)·(1-λ,1-λ,1)=1-λ+1-λ=2-2λ=0, ∴λ=1,即 b1=(1,1,0),b2=(0,0,1). 17.解:⑴过 D 作 DE⊥BC 于 E,则 DE=CD·sin30°= 1 = , 2 3 1 ,OE=OB-BDcos60°=1- 2 2

??? ? 3 3 1 3 ∴D 的坐标为(0,- , ) ,又∵C(0,1,0) ,∴ CD ? (0, ? , ) 2 2 2 2
⑵依题设有 A 点坐标为 A (

???? ? 3 1 3 3 ??? , , 0) ,∴ AD ? (? , ?1, ), BC ? (0, 2, 0) 2 2 2 2

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? BC 10 ? ?? 则 cos ? AD, BC ?? ???? ??? .故异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 5 | AD | ? | BC |
10 . 5 18.解:⑴∵ | u | ?| a ? tb | ?| a | ?2(a ? b)t ? t | b | ?| b | (t ?
2 2 2 2 2 2

a ?b 2 (a ? b)2 2 , ) ? | a | ? | b |2 | b |2

∴当 t= ?

a ?b 时,|u|=|a+tb|最小. | b |2
2 2

⑵∵ b ? (a ? tb) ? a ? b ? t | b | ? a ? b? | b | (? 19.解:∵ BF ?

a ?b ) ? 0 ? b ? (a ? tb) . | b |2

? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ( BO ? BC ), OE ? BA ? BO , 2 3 ??? ? 2 1 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 7 ∴ | BF | ? (| BO | ? | BC | ?2 BO ? BC ) ? (4 ? 1 ? 2 | BO || BC | cos 60?) ? , 4 4 4

??? ?

??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 7 ??? 4 ??? 4 ??? | BF |? ;| OE |2 ? | BA |2 ? | BO |2 ? BA ? BO ? 4 ? 4 ? 4 ? 4,| OE |? 2. 2 9 3

又 BF ? OE ?

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 ??? 2 ??? 3 ( BA ? BO ? | BO |2 ? BC ? BA ? BC ? BO) ? (2 ? 4 ? 1) ? ? , 2 3 3 2 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BF ? OE ?3 3 7 ? ??? ? ? ∴ cos ? BF , OE ?? ??? , ?? 14 | BF || OE | 2 7
故异面直线 OE 与 BF 所成的角的余弦值为 20.解:⑴设 BP=t,则 CQ ?

3 7 . 14

2 ? (2 ? t ) 2 , DQ ? 2 ? 2 ? (2 ? t ) 2 , ???? ?

∴ B1 ( 2 , 0 , 2 ) , D1 ( 0 , 2 , 2 ) , P ( 2 , t , 0 ),
2 2 Q (2 ? 2 ? (2 ? t ) , 2, 0).QB1 ? ( 2 ? (2 ? t ) , ?2, 2), PD1 ? ( ?2, 2 ? t , 2)

????

又∵ B1Q ? D1P ? QB1 ? PD1 ? 0 ,
2 2 ∴ ?2 2 ? (2 ? t ) ? 2(2 ? t ) ? 2 ? 2 ? 0, 即 2 ? (2 ? t ) ? t

???? ???? ?

解得 t=1,即 P、Q 分别为中点时,B1Q⊥D1P. ⑵由⑴知 PQ∥BD,且 AC⊥PQ,设 AC∩PQ=E,连 C1E,∵CC1⊥底面 BD,CE⊥PQ, ∴C1E⊥PQ, 即∠CEC1 为所求二面角 O—PQ—C1 的平面角,易得 tan ?CEC1 ? 2 2 . 21.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A1(2,0,0) , B1 (1, 3,0), P(1, 3, z) , M ( , 由 A1P⊥B1M 知 A 1P ? B 1M ? 0 ∴ (?1, 3, z ) ? (? , ?

1 3 , 2), C (0, 0, 2), A(2, 0, 2) 2 2

???? ?????

1 2

3 1 3 1 , 2) ? ? ? 2 z ? 0,? z ? , 2 2 2 2

即点 P 的坐标为 P (1, 3, ) . ⑴ 设 平 面 APC 的 法 向 量 为 n = (x , y , z) , 由

1 2

??? ? ?2 x ? 0 , ? 3 ?n ? CA ? 0, ? 即? ? n ? (0, z, z ). ? ? ??? 3 2 ?n ? CP ? 0, ? x ? 3 y ? z ? 0, ? ? 2
取 z = - 1 , 则 有 n = (0, ?

3 , ?1) , 方 向 指 向 平 面 APC 的 左 下 方 , 又 2

???? 1 PA1 ? (1, ? 3, ? ) , 2

???? ???? PA1 ? n 8 8 119 cos ? PA1 , n ?? ???? ? ? . 119 | PA1 | ?n 17 ? 7
设直线 A1P 与平面 APC 所成角为α ,则 sin ? ?

8 119 . 119

⑵ | A1 P |? 1 ? 3 ?

????

1 17 ,设 A1 到平面 PAC 的距离为 d,则 ? 4 2

???? 17 8 4 4 7 . d ?| A1P | sin ? ? ? ? ? 2 7 17 ? 7 7


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