高中数学第六章推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.1直接证明:分析法与综合法课件_图文

6.2 直接证明与间接证明
6.2.1 直接证明:分析法与综合法
【课标要求】 1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解 分析法和综合法的思考过程与特点. 2 .结合已学过的数学实例,体会综合法的两种形象化说

法:“顺推证法”或“由因导果法”;分析法又叫“逆
推证法”或“执果索因法”.了解综合法与分析法的流 程框图、思考过程及特点.

自学导引
1.综合法是从数学题的 已知条件 出发,经过逐步的 逻辑推理最 后达到待证结论或需求的问题,它是由 已知走向求证 ,即

“由因导果”.
2.分析法是从数学题的 待证结论或需求问题 出发,一步一步 地探索下去,最后达到 求证走向已知

题设的已知条件

,它是由

,即“执果索因”.

自主探究
综合法与分析法的优点是什么? 提示 综合法的优点:叙述简洁、直观,条理清楚;而且可

使我们从已知的知识中进一步获得新的知识.

分析法的优点:更符合人们的思维规律,利于思考,思路自
然,在探求问题的证明时,它可帮助我们构思.应该指出的 是不能把分析法和综合法绝对分开,正如恩格斯所说“没有 分析就没有综合”一样,分析与综合是相比较而存在的,它 们既是对立的,又是统一的.严格地讲,分析是为了综合,

综合又需根据分析,因而有时在一个命题的论证中,往往同
时应用两种方法,有时甚至交错使用.

预习测评
综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发,寻求命题成 1. 立的 A.充分条件 C.充要条件 答案 B B.必要条件 D.充分不必要条件 ( )

2.分析法是

(

)

A.执果索因的逆推法
B.执因导果的顺推法 C.因果分别互推的两头凑法 D.寻找结论成立的充要条件的证明办法 答案 A
3.设p=2x4+1,q=2x3+x2,x∈R则p与q的大小关系是 ________.
?? 1?2 1? ?? x+ ? + ?≥0. 2? 4? ??

解析 p-q=2x +1-2x -x =2(x-1)

4

3

2

2

答案 p≥q

若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,则点P 4.

的坐标为________.
解析 数形结合知,曲线y=4x2在点P处的切线l与直线y=4x -5平行. 设l:y=4x+b.将y=4x+b代入y=4x2,得4x2-4x-b=0, 令Δ=0,得b=-1.∴4x2-4x+1=0, 1 ∴x=2,∴y=1.
答案
?1 ? ? ,1? ?2 ?

要点阐释
1.综合法是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知 到未知(从题设到结论 )的逻辑推理方法.即从题设中的已知

条件或已证的真实判断 ( 命题 ) 出发,经过一系列的中间推
理,最后导出所要求证结论的真实性. 简言之,综合法是一种由因导果的证明方法.其逻辑依据也 是三段论式的演绎推理方法.

应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无

可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次
由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但 它们并不一定都是所需求的 ) ,且最后一个必须包含我们要 证明的命题的结论时,命题得证.并非一上来就能找到通达 命题结论的思路,只是在证明的过程中对每步结论进行分 析、推敲、比较、选择后才能得到.当然,在较多地积累一 些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思

路.而在证明的叙述时,直接叙述这条思路就够了.

用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所 要证的结论,则综合法可表示如下: P?Q1 → Q1?Q2 → Q2?Q3 →…→ Qn?Q .

2.分析法是数学中常用到的一种直接证明方法.就证明程序

来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方
法.具体说,即先假设所要证明命题的结论是正确的,由 此逐步推出保证此结论成立的必要的判断.而当这些判断 恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或 要证命题的已知条件时,命题得证(应该强调的一点,它不 是由命题的结论去证明前提). 因此,分析法是一种执果索因的证明方法.这种证明方法

的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法.

一般来讲,分析法有两种证明途径: (1) 由命题结论出发,

找结论成立的充分条件,逐步推演下去; (2) 由命题结论出
发,找结论成立的必要条件,逐步推演下去. 应该指出,应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所 产生的那些推断(或命题)都正确,各个推理步骤及依次考虑 的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与 需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考 查,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定

结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道前面各步
推理的适当与否,从而找出证明的路子.

当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,

特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往有效.另外对
于恒等式的证明,也同样可以运用. 用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是: 为了证明命题Q为真, 这只需证明命题P1为真,从而有……, 这只需证明命题P2为真,从而有……, …

这只需证明命题P为真.
而已知P为真,故Q必真.

可见分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条 件,它与综合法是对立统一的两种方法. 用Q表示要证明的结论,则分析法可表示如下: 得到一个明显 Q?P1 → P1?P2 → P2?P3 →…→ 成立的条件

典例剖析
题型一 综合法的应用

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n ∈N+),其中m为常数,且m≠-3.

(1)求证:{an}是等比数列;(2)若数列{an}的公比q=f(m), 3 数列{bn}满足b1=a1,bn= f(bn-1)(n∈N+,n≥2),求证: 2
?1? ? ?为等差数列. ?bn?

证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3得,(3-m)Sn+1+2man+1 an+1 =m+3.两式相减得(3+m)an+1=2man,(m≠-3),∴ = an 2m ,∴{an}是等比数列. m+3 2m (2)b1=a1=1,q=f(m)= ,∴n∈N+,n≥2时, m+3 3 3 2bn-1 1 1 1 bn=2f(bn-1)=2· ?bnbn-1+3bn=3bn-1? - =3. b bn-1+3 bn-1 n
?1? 1 ∴? ?是首项为1,公差为 的等差数列. 3 ?bn?

点评

本题要证明数列为等差、等比数列,通过定义可寻求

解题思路,在证明过程中,恰当处理递推关系是本题证明的
关键. 用综合法证明时,证明思路的着眼点较难把握,一般地,靠 综合分析或积累的经验,或分析法分析获得.因此用综合法 证题时,要注意分析条件与结论的区别与联系.

1.已知x,y,z∈R,a,b,c∈R+,求证: b+c 2 c+a 2 a+b 2 x+ y+ z ≥2(xy+yz+zx). a b c b+c 2 c+a 2 a+b 2 证明 法一 ∵ x+ y+ z -2(xy+yz+zx) a b c

? ? ? ? ?b ? a 2 2 ? x + y -2xy? b ?a ?



?c ? b2 2 ? y + z -2yz? c ?b ?

a 2 c 2 + z + x -2zx= c a a z- c c 2 x ≥0, a

b x- a

a ? ?2 y? + b ?

c y- b

b2 z+ c

b+c 2 c+a 2 a+b 2 ∴ x+ y+ z ≥2(xy+yz+zx). a b c

b+c 2 c+a 2 a+b 2 法二 x+ y+ z a b c
?b a 2? ?c 2 b 2 ? ?a 2 c 2? 2 =? x + y ?+? y + z ?+? z + x ? b ? ?b c ? ?c a ? ?a

≥2

b 2a 2 x ·y +2 a b

c 2b 2 y ·z +2 b c

a 2c 2 z ·x c a

=2(|xy|+ |yz|+ |zx|)≥2(xy+yz+ zx).

题型二 分析法的应用 【例2】 试证:以抛物线过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线 相切.

证明 设抛物线方程为y2=2px(p> 0).CD是 准线,F是焦点,M是以过F的抛物线 的任意弦AB为直径的圆的圆心. 过A、B、M分别作CD的垂线AC、 BD、MN,如图,欲证⊙M与准线CD相切,只需证M到CD |AB | 的距离等于⊙M的半径,即需证|MN|= .又|AB |= |AF|+ 2 |FB |= |AC|+ |BD|(抛物线定义). |AC|+|BD| 故只需证|MN|= . 2 由梯形中位线性质,这是显然的,故命题成立.

点评

分析法的思路与综合法正好相反,它是从要求证的结

论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已
知.即:已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、 法则等等.

|a|+|b| 2.已知非零向量a,b,且a⊥b,求证: ≤ 2. |a+b| 证明 ∵a⊥b,∴a· b=0,

|a|+|b| 要证 ≤ 2.只需证|a|+|b|≤ 2|a+b|, |a+b| 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· b+b2), 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0, 上式显然成立,故原不等式成立.

题型三

分析法与综合法的综合应用

若a,b,c是三角形的三边长,试证方程b2x2+(b2+c2-a 【例3】
2)x+c2=0没有实根.

证明

要证方程无实根,只需证其判别式Δ=(b2+c2-a2)2-

4b2c2<0即可,考虑到Δ=(b2+c2-a2-2bc)(b2+c2-a2+2b
c) =[(b-c)2-a2][(b+c)2-a2]=(b-c+a)(b-c-a)(b+c-a)(b +c+a). ∵三角形任意二边之和大于第三边,故a+b>c,b+c>a,

c+a>b,从而b-c+a>0,b+c-a>0,b-c-a<0.又a+
b+c>0,故Δ<0.从而原命题成立.

点评

本题在证明过程中,前面两步应用了分析法,后面两

步用了综合法.在实际证题时,常把分析法与综合法结合起
来运用.有时先用分析法探求证题思路,再用综合法书写证 明. 另外,本题还可由Δ=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(2bccos A)2-4b
2c2=4b2c2(cos2

A-1)=-4b2c2sin2A<0直接证得.这里运用

了余弦定理.

a+b b+c 3.若a、b、c是不全相等的正数,求证:lg 2 +lg 2 + c+a lg 2 >lg a+lg b+lg c.

证明

a+b b+c c+a 要证lg 2 +lg 2 +lg 2 >lg a+lg b+lg c成立,

?a+b b+c c+a? ? 即证lg? ? 2 · 2 · 2 ? >lg(abc)成立, ? ?

a+b b+c c+a 只需证 2 · 2 · 2 >abc成立, a+b b+c c+a ∵ 2 ≥ ab>0, 2 ≥ bc>0, 2 ≥ ca >0, a+b b+c c+a ∴ 2 · 2 · 2 ≥abc>0成立(*) 又∵a、b、c是不全相等的正数, ∴(*)式等号不成立,∴原不等式成立.

误区警示 解题过程逻辑上不严密导致失分
1 1 【例4】 是否存在实数m,使不等式|x-m|<1在3<x<2时恒成 立,若存在,求出所有的m的值.若不存在,请说明理由. 1 [错解] ∵|x-m|<1?-1<x-m<1?m-1<x<m+ 1? 3
1 <x<2, 1 ? ?m-1=3, ∴? ?m+1=1, 2 ?

此方程组无解.

∴符合题意的m的值不存在.

错因分析

1 1 3 <x< 2 是不等式|x-m|<1成立的充分条件,本题

解法中,错把它看成是充要条件.
[正解] ∵|x-m|<1?-1<x-m<1?m-1<x<m+ 1,

1 1 又其在 <x< 时恒成立. 3 2 1 ? ?m-1≤3, ∴? ?m+1≥1, 2 ? 1 4 解得-2≤m≤3,

1 4 1 1 ∴当- ≤m≤ 时,不等式 |x-m|<1在 <x< 时恒成立. 2 3 3 2

纠错心得

分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步

靠拢 “ 已知 ” ,其逐步推理实际上是要寻找它的充分条
件.其理论依据是三段论推理.


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