2016-2017学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 共面向量定理课件_图文

第3章 3.1 空间向量及其运算

3.1.2 共面向量定理

学习 目标

1.了解共面向量等概念.

2.理解空间向量共面的充要条件.

栏目 索引

知识梳理 题型探究 当堂检测

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重点突破

自查自纠

知识梳理

自主学习

知识点一

共面向量

能平移到同一平面内的向量化 叫做共面向量. 知识点二 共面向量定理

如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是

存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb ,即向量p可以由两个不 ______________________________________
共线的向量a, b线性表示.

答案

知识点三

空间四点共面的条件

若空间任意无三点共线的四点,对于空间任一点O,存在实数x、y、 → → → → 且x、y、z满足x+y+z=1,则 A、B、 z 使得OA=xOB+yOC+zOD, C、D共面 .

思考
1.空间两向量共线,一定共面吗?反之还成立吗? 答案 答案 一定共面,反之不成立. 空间共面向量定理中,当向量a,b是平面向量时,即为平面向量
答案 返回

2.空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系? 基本定理.

题型探究

重点突破

题型一

应用共面向量定理证明点共面

例1 已知A、B、C三点不共线,平面ABC外的一点M满足 → 1→ 1→ 1→ OM=3OA+3OB+3OC.
→ → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面; → → → → 解 ∵OA+OB+OC=3OM, → → → → → → ∴OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC). → → → → → ∴MA=BM+CM=-MB-MC. → → → → → 又MB与MC不共线.∴向量MA、MB、MC共面.
解析答案

(2)判断点M是否在平面ABC内.
→ → → 解 ∵向量MA、MB、MC共面且具有公共起点 M,

∴M、A、B、C共面.即点M在平面ABC内.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 1

→ → 已知两个非零向量 e1、e2 不共线,如果AB=e1+e2,AC=

→ 2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证:A、B、C、D 共面.

→ → → 证明 ∵AD+AC=5e1+5e2=5AB,
→ 1 → → 1→ 1→ → → ∴AB=5(AD+AC)=5AD+5AC,又AD与AC不共线. → → → ∴AB、AD、AC共面,又它们有一个公共起点 A.

∴A、B、C、D四点共面.

解析答案

题型二

应用共面向量定理证明线面平行

例2

如图,在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中,D为AC的中点,

求证:AB1∥平面C1BD.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 2

如图所示, 已知斜三棱柱 ABC

→ → A1B1C1, 设AB=a, AC=

→ → → b, AA1=c, 在面对角线 AC1 上和棱 BC 上分别取点 M、 N, 使AM=kAC1, → → BN=kBC (0≤k≤1).

求证:MN∥平面ABB1A1.

解析答案

题型三 例3

向量共线、共面的综合应用

如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平

面外的一点,连结PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,

△PBC ,△PCD ,△PDA 的重心 . 试用向量方法证明 E , F , G , H 四点
共面.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3

已知 O、A、B、C、D、E、F、G、H 为空间的 9 个点(如图

→ → → → → → → → → → → 所示),并且OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH → +mEF.

求证:(1)A、B、C、D四点共面,

E、F、G、H四点共面;
证明 → → → → → → 由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF知 A、B、C、D 四点共面,

E、F、G、H 四点共面.
解析答案

→ → (2)AC∥EG; → → → 证明 ∵EG=EH+mEF → → → → =OH-OE+m(OF-OE)
→ → → → =k(OD-OA)+km(OB-OA) → → =kAD+kmAB → → → =k(AD+mAB)=kAC, → → ∴AC∥EG.
解析答案

→ → (3)OG=kOC.
→ → → → → → → → 证明 由(2)知OG=EG-EO=kAC-kAO=k(AC-AO)=kOC,

→ → ∴OG=kOC.

解析答案

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当堂检测

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1. 设 a , b 是 两 个 不 共 线 的 向 量 , λ , μ∈R , 若 λa + μb = 0 , 则 λ = 0 0 ________ ,μ=________.
解析 ∵a,b是两个不共线的向量,

∴a≠0,b≠0,∴λ=μ=0.

解析答案

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2.给出下列几个命题: ①向量a,b,c共面,则它们所在的直线共面; ②零向量的方向是任意的; ③若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb.其中真命题的个数为 1 ________. 解析 ①假命题.三个向量共面时,它们所在的直线或者在平面内或者

与平面平行;
②真命题.这是关于零向量的方向的规定;

③假命题.当b=0时,则有无数多个λ使之成立.
解析答案

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→ 3.如图,在空间四边形 OABC 中,OA=a, → → OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA, 2 1 1 → -3a+2b+2c N 为 BC 中点,则MN=_________________. (用 a、b、c 表示) → → → → 解析 MN=MA+AB+BN

1 1 =3a+(b-a)+2(c-b) 2 1 1 =-3a+2b+2c.
解析答案

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0 4.下列命题中,正确命题的个数为________. ①若a∥b,则a与b方向相同或相反; → → ②若AB=CD,则 A,B,C,D 四点共线;

③若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R).
解析 当a,b中有零向量时,①不正确; → → AB=CD时,A,B,C,D 四点共面不一定共线,故②不正确; 由p,a,b共面的充要条件知,当p,a,b共面时才满足p=λa+μb(λ, μ∈R),故③不正确.
解析答案

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共面向量 5.空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是____________. 解析 共面; 若a,b共线,则a,b,3a-2b共线,当然也共面. 如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知,a,b,3a-2b

解析答案

课堂小结 共面向量定理的应用: (1)空间中任意两个向量a,b总是共面向量,空间中三个向量a,b,c则 不一定共面. (2)空间中四点共面的条件 空间点P位于平面MAB内,则存在有序实数对x、y使得 → → → MP=xMA+yMB, ①

→ → 此为空间共面向量定理,其实质就是平面向量基本定理, MA,MB
实质就是面MAB内平面向量的一组基底.

→ → → → 另外有OP=OM+xMA+yMB,



→ → → → 或OP=xOM+yOA+zOB (x+y+z=1),③

①、②、③均可作为证明四点共面的条件,但是①更为常用.

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