人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.4.1正弦函数余弦函数的图象导学案

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1.4.1.正弦函数、余弦函数的图象
学习目标 .1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线 和余弦曲线的步骤和方法,能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与 余弦曲线之间的联系.
知识点一.正弦函数、余弦函数的概念 思考.从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念? 答案.实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而一个确定的角又对应着唯一确定的 正弦(或余弦)值.这样,任意给定一个实数 x,有唯一确定的值 sin x(或 cos x)与之对应.由 这个对应法则所确定的函数 y=sin x(或 y=cos x)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是 R. 知识点二.几何法作正弦函数、余弦函数的图象 思考 1.课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的?其基本步骤是什么? 答案.利用正弦线,这种作图方法称为“几何法”,其基本步骤如下: ①作出单位圆:作直角坐标系,并在直角坐标系中 y 轴左侧的 x 轴上取一点 O1,作出以 O1 为 圆心的单位圆; ②等分单位圆,作正弦线:从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起,把⊙O1 分成 12 等份.过⊙O1 上各分点 作 x 轴的垂线,得到对应于 0,π6 ,π3 ,π2 ,…,2π 等角的正弦线; ③找横坐标:把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份; ④找纵坐标:把角 x 的正弦线向右平移,使它的起点与 x 轴上对应的点 x 重合,从而得到 12 条正弦线的 12 个终点; ⑤连线:用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来,即得到函数 y=sin x,x∈[0, 2π ]的图象,如图.
因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y=sin x,x∈[2kπ ,2(k+1)π ),k∈Z 且 k≠0 的图象与函数 y=sin x,x∈[0,2π )的图象的形状完全一致.于是只要将函数 y= sin x,x∈[0,2π )的图象向左、向右平行移动(每次 2π 个单位长度),就可以得到正弦函 数 y=sin x,x∈R 的图象,如图.
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思考 2.如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象?

答案.把 y=sin x,x∈R 的图象向左平移π2 个单位长度,即可得到 y=cos x,x∈R 的图象.

梳理.正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

知识点三.“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象

思考 1.描点法作函数图象有哪几个步骤?

答案.列表、描点、连线.

思考 2.“五点法”作正弦函数、余弦函数在 x∈[0,2π ]上的图象时是哪五个点?

答案.

画正弦函数 图象的五点

(0,0) ???π2 ,1???

(π ,0)

???32π ,-1??? (2π ,0)

画余弦函数 图象的五点

(0,1) ???π2 ,0???

(π ,-1)

???32π ,0???

(2π ,1)

梳理.“五点法”作正弦函数 y=sin x、余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]图象的步骤:

(1)列表

x

0

π 2

π

3π 2



sin x 0 1

0

-1 0

cos x 1 0 -1 0

1

(2)描点 画正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象,五个关键点是
(0,0),???π2 ,1???,(π ,0),???32π ,-1???,(2π ,0); 画余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,五个关键点是 (0,1),???π2 ,0???,(π ,-1),???32π ,0???,(2π ,1).
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图.

类型一.“五点法”作图的应用
.

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例 1.利用“五点法”作出函数 y=1-sin x(0≤x≤2π )的简图.

解.(1)取值列表:

x

0

π 2

π

3π 2



sin x 0 1 0 -1 0

1-sin x 1 0 1

2

1

描点连线,如图所示.

反思与感悟.作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即 y=sin x 或 y=

cos x 的图象在[0,2π ]内的最高点、最低点和与 x 轴的交点.“五点法”是作简图的常用方

法.

跟踪训练 1.用“五点法”作出函数 y=1-cos x(0≤x≤2π )的简图.

解.列表如下:

x

0

π 2

π

3π 2



cos x 1 0 -1 0

1

1-cos x 0 1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连接起来,如图.

类型二.利用正弦、余弦函数的图象求定义域

例 2.求函数 f(x)=lg sin x+ 16-x2的定义域.

解.由题意,得 x 满足不等式组?????s1i6n-xx>2≥0,0,

即???sin x>0,

作出 y=sin x 的图象,如图所示.

??-4≤x≤4,

.

.

结合图象可得 x∈[-4,-π )∪(0,π ). 反思与感悟.一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,同时要注意区间端

点的取舍.

跟踪训练 2.求函数 y=

1 log2sin x-1的定义域.

解.为使函数有意义,需满足???log2si1n x-1≥0, ??sin x>0,

即 0<sin x≤12.

由正弦函数的图象或单位圆(如图所示),可得函数的定义域为{x|2kπ <x≤2kπ +π6 或 2kπ +5π6 ≤x<2kπ +π ,k∈Z}.

类型三.与正弦、余弦函数有关的函数零点问题 命题角度 1.零点个数问题 例 3.在同一坐标系中,作函数 y=sin x 和 y=lg x 的图象,根据图象判断出方程 sin x=lg x 的解的个数. 解.建立平面直角坐标系 xOy,先用五点法画出函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象,再向右 连续平移 2π 个单位,得到 y=sin x 的图象. 描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到 y=lg x 的图象,如图所示.
.

.

由图象可知方程 sin x=lg x 的解有 3 个.

反思与感悟.三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便的解决问题,这正

是数形结合思想方法的应用.

跟踪训练 3.方程 x2-cos x=0 的实数解的个数是

.

答案.2

解析.作函数 y=cos x 与 y=x2 的图象,如图所示,

由图象可知,原方程有两个实数解.

命题角度 2.参数范围问题



4.方程

sin(x+π3

m )=2在[0,π

]上有两实根,求实数

m

的取值范围及两实根之和.

解.作出 y1=sin(x+π3 ),y2=m2的图象如图,由图象可知,

要使 y1=sin(x+π3 ),y2=m2在区间[0,π ]上有两个不同的交点,应满足 23≤m2<1,即 3

≤m<2.

设方程的两实根分别为 x1,x2,则由图象可知 x1 与 x2 关于 x=π6 对称,于是 x1+x2=2×π6 , 所以 x1+x2=π3 . 反思与感悟.准确作出函数图象是解决此类问题的关键,同时应抓住“临界”情况进行分析. 跟踪训练 4.若函数 f(x)=sin x-2m-1,x∈[0,2π ]有两个零点,求 m 的取值范围. 解.由题意可知,sin x-2m-1=0 在[0,2π ]上有 2 个根,即 sin x=2m+1 有两个根, 可转化为 y=sin x 与 y=2m+1 两函数的图象有 2 个交点. 由 y=sin x 图象可知, -1<2m+1<1,且 2m+1≠0, 解得-1<m<0,且 m≠-12.
.

.
∴m∈(-1,-12)∪(-12,0).

1.用“五点法”作 y=2sin 2x 的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(..)

A.0,π2 ,π ,32π ,2π

B.0,π4 ,π2 ,3π4 ,π

C.0,π ,2π ,3π ,4π

D.0,π6 ,π3 ,π2 ,2π3

答案.B

解析.“五点法”作图是当 2x=0,π2 ,π ,32π ,2π 时的 x 的值,此时 x=0,π4 ,π2 ,

3π 4

,π

,故选

B.

2.下列图象中,y=-sin x 在[0,2π ]上的图象是(..)

答案.D

解析.由 y=sin x 在[0,2π ]上的图象作关于 x 轴的对称图形,应为 D 项.

3.函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=-12的交点有

个.

答案.2

解析.作 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象及直线 y=-12(图略),可知两函数图象有 2 个交点.

4.函数 y= 2sin x-1的定义域为

.

答案.[π6 +2kπ ,56π +2kπ ],k∈Z

解析.由题意知,自变量 x 应满足 2sin x-1≥0,

即 sin x≥12.由 y=sin x 在[0,2π ]的图象,

可知π6 ≤x≤56π ,

所以 y= 2sin x-1的定义域为???π6 +2kπ ,56π +2kπ ???,k∈Z. 5.请用“五点法”画出函数 y=12sin???2x-π6 ???的图象.

.

.

解.令 X=2x-π6 ,则 x 变化时,y 的值如下表:

X

0

π 2

π

x

π 12

π 3

7π 12

y0

1 2

0

3π 2



5π 13π

6

12

-12

0

描点画图:

将函数在???1π2,1132π ???上的图象向左、向右平移即得 y=12sin???2x-π6 ???的图象.
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解 (1)与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前提下,若要求精度 不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草 图. (2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与 x 轴的交点. 2.作函数 y=asin x+b 的图象的步骤:

3.用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π ]内的图象,如果要画出在其他区间上的 图象,可依据图象的变化趋势和周期性画出.
课时作业 一、选择题 1.对于正弦函数 y=sin x 的图象,下列说法错误的是(..) A.向左右无限伸展
.

.

B.与 y=cos x 的图象形状相同,只是位置不同 C.与 x 轴有无数个交点 D.关于 y 轴对称

答案.D

解析.由正弦曲线知,A,B,C 均正确,D 不正确.

2.用五点法画 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象时,下列哪个点不是关键点(..)

A.???π6 ,12???

B.???π2 ,1???

C.(π ,0)

D.(2π ,0)

答案.A

解析.易知???π6 ,21???不是关键点.

3.已知 f(x)=sin???x+π2 ???,g(x)=cos???x-π2 ???,则将 f(x)的图象(..) A.与 g(x)的图象相同 B.与 g(x)的图象关于 y 轴对称

C.向左平移π2 个单位,得 g(x)的图象

D.向右平移π2 个单位,得 g(x)的图象

答案.D

解析.f(x)=sin???x+π2 ???,

g(x)=cos???x-π2 ???=cos???π2 -x???=sin x,

f(x)的图象向右平移π2 个单位得到 g(x)的图象.

4.函数 y=-sin x,x∈???-π2 ,32π ???的简图是(..)

.

.
答案.D 5.方程 sin x=1x0的根的个数是(..) A.7 B.8 C.9 D.10 答案.A 解析.在同一坐标系内画出 y=1x0和 y=sin x 的图象如图所示.
根据图象可知方程有 7 个根. 6.函数 y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π ]的大致图象为(..)

答案.D

??2cos x,0≤x≤π2 或3π2 ≤x≤2π ,
解析.由题意得 y=
???0,π2 <x<32π .

显然只有 D 合适.

7.若函数 y=2cos x(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这个封闭 图形的面积是(..) A.4 B.8 C.2π D.4π 答案.D 解析.作出函数 y=2cos x,x∈[0,2π ]的图象,函数 y=2cos x,x∈[0,2π ]的图象与直 线 y=2 围成的平面图形为如图所示的阴影部分.

利用图象的对称性可知,该阴影部分的面积等于矩形 OABC 的面积,又∵OA=2,OC=2π ,
.

.

∴S S = 阴影部分 矩形 OABC=2×2π =4π . 二、填空题

8.函数 f(x)=lg cos x+ 25-x2的定义域为

.

答案.???-5,-32π ???∪???-π2 ,π2 ???∪???32π ,5???

解析.由题意,得 x 满足不等式组?????c2o5s-xx>2≥0,0,

即?????c-os5≤x>x0≤,5, 作出 y=cos x 的图象,如图所示.

结合图象可得

x∈???-5,-3π2 ???∪???-π2 ,π2 ???∪???32π ,5???.

9.函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=-12的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1

+x2=

.

答案.3π

解析.如图所示,

x1+x2=2×3π2 =3π .

10.函数 f(x)=?????sxi+n2x,,xx<≥00,, 则不等式 f(x)>12的解集是

.

答案.{x|-32<x<0 或π6 +2kπ <x<56π +2kπ ,k∈N}

解析.在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)和 y=12的图象(图略),由图易得-32<x<0 或

π 6

+2kπ

<x<56π

+2kπ

,k∈N.

11.设 0≤x≤2π ,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则 x 的取值范围为

.

答案.???π4 ,54π ???

.

.
解析.由题意知 sin x-cos x≥0,即 cos x≤sin x,在同一坐标系画出 y=sin x,x∈[0, 2π ]与 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象,如图所示.

观察图象知 x∈???π4 ,5π4 ???.

三、解答题

12.用“五点法”画出函数 y=12+sin x,x∈[0,2π ]的简图.

解.(1)取值列表如下:

x

0

π 2

π

3π 2



sin x

0 1 0 -1 0

1 2+sin

x

1 2

3 2

1 2

1 -2

1 2

(2)描点、连线,如图所示.

1 13.利用正弦曲线,求满足2<sin

x≤

3 2的

x

的集合.

解.首先作出 y=sin x 在[0,2π ]上的图象,如图所示,

作直线 y=12,根据特殊角的正弦值,可知该直线与 y=sin x,x∈[0,2π ]的交点横坐标为

π 6

和56π



作直线 y= 23,该直线与 y=sin x,x∈[0,2π ]的交点横坐标为π3 和23π .

.

.

观察图象可知,在[0,2π ]上,

当π6 <x≤π3 或23π ≤x<56π 时,不等式12<sin x≤ 23成立.

所以12<sin x≤ 23的解集为

{x|π6 +2kπ <x≤π3 +2kπ 或2π3 +2kπ ≤x<56π +2kπ ,k∈Z}.

四、探究与拓展 14.已知函数 y=2sin x(π2 ≤x≤52π )的图象与直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,那么此

封闭图形的面积为(..) A.4 C.4π 答案.C 解析.数形结合,如图所示.

B.8 D.2π

y=2sin x,x∈???π2 ,5π2 ???的图象与直线 y=2 围成的封闭平面图形的面积相当于由 x=π2 ,x =5π2 ,y=0,y=2 围成的矩形面积,即 S=???52π -π2 ???×2=4π . 15.函数 f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交 点,求 k 的取值范围. 解.f(x)=sin x+2|sin x|=?????3-sisninx, x,x∈x∈[0?π,,π 2]π,].
图象如图所示,
若使 f(x)的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点,根据图象可得 k 的取值范围是(1, 3).

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