高中数学选修正态分布 (2)人教版ppt课件_图文

2.4 正态分布 引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道,离散型随机 变量最多取可列个不同值,它等于某一特定实数的概率可能大于0, 人们感兴趣的是它取某些特定值的概率,即感兴趣的是其分布列; 连续型随机变量可能取某个区间上的任何值,它等于任何一个实数 的概率都为0,所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型 随机变量的概率分布规律用分布列描述,而连续型随机变量的概率 分布规律用密度函数(曲线)描述。 复习 100个产品尺寸的频率分布直方图 频率 组距 产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 复习 200个产品尺寸的频率分布直方图 频率 组距 产品 尺寸 (mm) 25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 复习 样本容量增大时 频率分布直方图 频率 组距 总体密度曲线 产品 尺寸 (mm) 复习 总体密度曲线 产品 尺寸 (mm) 导入 高尔顿钉板试验 高尔顿板实验 知识回放 以格子的编号为横坐标,小球落入各个格子内的频率 值为纵坐标,则在各个格子内小球的分布情况大致可 用下列频率分布直方图表示. 频率/组距 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 编号 Y 总体密度曲线 0 X 导入 产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象: 1 、正态曲线的定义: 函数 f ( x) ? ? 1 e 2?? ( x ? ? )2 2? 2 x ? (??,??) 式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示 总体的平均数与标准差,称f( x)的图象称为正态曲线 Y a b c d 平均数 X 若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个 随机变量.X落在区间(a,b]的概率为: P(a ? X ? b) ? ? ( x ) dx ? , ? ?a b 2.正态分布的定义: 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足: P(a ? X ? b) ? ? ( x ) dx ? , ? ?a b 则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布记作N ( μ,σ2).其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布, 则记作 X~ N( μ,σ2) 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布: 在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……; 在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等,水文中的水位; 总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的 许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。 3、正态曲线的性质 ? ? ?? ( x ) ? y μ= -1 σ=0.5 1 2? ? e ? ( x ? ? )2 2? 2 , x ? ( ?? , ?? ) y y μ=0 μ=1 σ=1 σ=2 3 -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x 具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 3、正态曲线的性质 ? ? ?? ( x ) ? y μ= -1 σ=0.5 1 2? ? e y ? ( x ? ? )2 2? 2 , x ? ( ?? , ?? ) y μ=1 μ=0 σ=1 σ=2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4x -3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) (4)曲线与x轴之间的面积为1 1 σ 2π ? 的意义 总体平均数反映总体随机变量的 平均水平 x= μ x3 x4 x1 平均数 x2 产品 尺寸 (mm) ?的意义 总体平均数反映总体随机变量的 总体标准差反映总体随机变量的 平均水平 集中与分散的程度 ?1 ?2 平均数 产品 尺寸 (mm) 正态总体的函数表示式 f ( x) ? ? 1 e 2? ? ( x?? )2 2? 2 x ? (??,??) y 当μ= 0,σ=1时 μ=0 标准正态总体的函数表示式 σ=1 x2 f ( x) ? ? 1 e 2? -3 -2 -1 0 1 2 3 x 2 x ? (??,??) 标准正态曲线 正态总体的函数表示式 f ( x) ? 1 e 2? ? ( x?? )2 ? 2? 2 x ? (??,??) y μ ,函数值为最大. (1)当 =x 时 x) (2) f (的值域为 (0, 1 ] 2? ? -3 -2 -1 0 μ=0 σ=1 2 (3) f (x ) 的图象关于 对称 . x =μ 1 3 x f ( x ). μ] (4)当 ∈x (-∞,时 为增函数 f ( x) . 当 x ∈ (μ,+∞) 时 为减函数 标准正态曲线 例1、下列函数是正态密度函数的是( A. ) B f ( x) ? 1 e 2?? ( x ? ? )2 2? 2 , ? , ? (? ? 0)都是实数 B. 2? f ( x) ? e 2? x2 ? 2 C. 1 f ( x) ? e 2 2? ( x ?1)2 ? 4 D. f ( x) ? 1 e 2? x2 2 练习: 1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函 数的最大值等于 1 ,求该正态分布的概率密度函数的解析式。 4 2? y 2、如图,是一个

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