湖南省株洲市第二中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案

株洲市二中 2015 年下学期高二年级期末考试试卷 理科数学试题

时量:120 分钟

分值:100 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 i ? i 在复平面内表示的点在
2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 x ? R ,则 x ? ? 的一个必要不充分条件是 A. x ? 3 C. x ? 4 B. x ? 3 D. x ? 4

3.准线方程为 x ? 1 的抛物线的标准方程是 A. y 2 ? ?4 x B. y 2 ? ?2x C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x

4.若 f ( x) ? 2 sin ? ? cos x ,则 f ?(? ) 等于 A. sin ? B. cos ? C.2sin ? -cos ? D.-3cos ? 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 ① Z1 , Z 2 不能比较大小;② Z1 , Z 2 是虚数;③虚数不能比较大小. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 5.若 a ? (1,1, k ) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60°,则 k 的值为 A.0 或-2 B.0 或 2 C.-2 6. 设 F1 , F2 是椭圆 D.2

x2 y2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点,且 F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F2 ,则 a 2 25

?ABF 1 的周长为
A.12

B.20 C.2 41 D.4 41 7.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执 行该程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ?

b

A.0

B.2

C.4

D.14

8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 A. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) B. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1) C. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) D. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1)
2 9. (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为

1 x

8

A.-1792

B.1792

C.-448
2

D.448

10.用数学归纳法证明1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ? 上加上 A. (k ? 1) ? (k ? 2) ? ……? (k+1)
2 2 2

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础 2

B. (k ? 1)
2 D. k ? 1

2

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 C. 2
11.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、 a 2 b2
3 ,则椭圆的离心率为 2

B 两点,O 为坐标原点, ?AOB 的面积为

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

12. 若存在实常数 k 和 b , 使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的
“隔离直线”,已知函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R ), g ( x) ? 列命题: ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? (?

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下 x

3

1 , 0) 内单调递增; 2

② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 [?4,0] ; ④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上.

ab 能被 2 整除, 13. 用反证法证明命题“若 a, b ? N , 则 a , b 中至少有一个能被 2 整除”,
那 是 . 14. 曲线 y ? cos x 在上与 x 轴所围成的平面图形的面积为 15.已知等差数列 ?an ? 中,有 在等比数列 ?bn ? 中, 有 成立. 16.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点 . 么 反 设 的 内 容

a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a3n ? 成立.类似地, n 3n

A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” .黑“电子狗”爬行的路线是

AA1 ? A1 D1 ? ,黄“电子狗”爬行的路线是 AB ? BB1 ? ,它们都遵循如下规则:

所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正整数) .设黑“电子狗” 爬完 2016 段、黄“电子狗”爬完 2015 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、 黄“电子狗”间的距离是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 27(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,求 f ( x) 在区间 [?4,5] 上的最值.

18. (本小题满分 6 分) 已知 5 名学生和 2 名教师站在一排照相,求: (1)中间二个位置排教师,有多少种排法? (2)两名教师不相邻的概率为多少?

19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 S n ? an ? 2n .

(1)写出 a1 , a2 , a3 ,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

20.(本小题满分 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 AC ? BC ? 2 , PA ? 平面

ABCD , E , F 分别是 BC, PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD ; (2)若 H 为 PD 上一点,且 AH ? PD , EH 与平面 PAD 所成角的正切值为 面角 E ? AF ? C 的正弦值.

15 ,求二 4

21. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作 2 2 a b

圆 T : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的任意一点, 且直线 MP ,NP 分别与 x 轴交于点 R ,

S , O 为坐标原点,
求证: OR ? OS 为定值.

22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .
x

(1)设 x ? 0 ,讨论曲线 y ?
2

f ( x) 与直线 y ? m 公共点的个数; x2 f ( x) f ( 2) 9 , h ( 2) ? ,试比较 h(e) 与 的大 x 8 10

(2)设函数 h( x) 满足 x h ?( x ) ? 2 xh ( x ) ?

小. (e 2 ? 7.389)

株洲市二中 2015 年下学期高二年级期末考试试卷 理科数学试题

时量:120 分钟

分值:100 分

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 i ? i 在复平面内表示的点在 A
2

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设 x ? R ,则 x ? ? 的一个必要不充分条件是 A A. x ? 3 C. x ? 4 B. x ? 3 D. x ? 4

3.准线方程为 x ? 1 的抛物线的标准方程是 A A. y 2 ? ?4 x B. y 2 ? ?2x C. y 2 ? 2 x D. y 2 ? 4 x

4.若 f ( x) ? 2 sin ? ? cos x ,则 f ?(? ) 等于 A A. sin ? B. cos ? C.2sin ? -cos ? D.-3cos ? 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是 D ① Z1 , Z 2 不能比较大小;② Z1 , Z 2 是虚数;③虚数不能比较大小. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 5.若 a ? (1,1, k ) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 60°,则 k 的值为 D A.0 或-2 B.0 或 2 C.-2 6. 设 F1 , F2 是椭圆 D.2

x2 y2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点,且 F1 F2 ? 8 ,弦 AB 过点 F2 ,则 a 2 25

?ABF 1 的周长为 B
A.12

B.20 C.2 41 D.4 41 7.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执 行该程序框图,若输入 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? B

b

A.0

B.2

C.4

D.14

8.对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 C A. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) B. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1) C. f (?3) ? f (3) ? 2 f (1) D. f (?3) ? f (7) ? 2 f (1)
2 9. (2 x ? ) 的展开式中 x 的系数为 A

1 x

8

A.-1792

B.1792

C.-448
2

D.448

10.用数学归纳法证明1 ? 2 ? 3 ? …… ? n ? 上加上 A A. (k ? 1) ? (k ? 2) ? ……? (k+1)
2 2 2

n4 ? n2 ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础 2

B. (k ? 1)
2 D. k ? 1

2

(k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 C. 2
11.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、 a 2 b2
3 ,则椭圆的离心率为 C 2

B 两点,O 为坐标原点, ?AOB 的面积为

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

12. 若存在实常数 k 和 b , 使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的
“隔离直线”,已知函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R ), g ( x) ? 列命题:D ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? (?

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下 x

3

1 , 0) 内单调递增; 2

② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 [?4,0] ; ④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题卷对应题号后的 横线上.

ab 能被 2 整除, 13. 用反证法证明命题“若 a, b ? N , 则 a , b 中至少有一个能被 2 整除”,
那么反设的内容是“若 a, b ? N , ab 能被 2 整除,则 a , b 都不能能被 2 整除”. 14. 曲线 y ? cos x 在上与 x 轴所围成的平面图形的面积为 1. 15.已知等差数列 ?an ? 中,有 在等比数列 ?bn ? 中, 有
n

a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? ? ? a 2 n a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a3n ? 成立.类似地, n 3n

a n?1a n? 2 ? ? ? a 2 n ?

3n

a1a2 ? ? ? a3n 成立.

16.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点

A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” .黑“电子狗”爬行的路线是

AA1 ? A1 D1 ? ,黄“电子狗”爬行的路线是 AB ? BB1 ? ,它们都遵循如下规则:
所爬行的第 i ? 2 段与第 i 段所在直线必须是异面直线(其中 i 是正整数) .设黑“电子狗” 爬完 2016 段、黄“电子狗”爬完 2015 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、

黄“电子狗”间的距离是

1



三、解答题:本大题共 6 小题,共 48 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 27(a ? 2) x ? b 的图象关于原点成中心对称,求 f ( x) 在区间 [?4,5] 上的最值.

f(x)的最大值是 54,f(x)的最小值是-54.

18. (本小题满分 6 分) 已知 5 名学生和 2 名教师站在一排照相,求: (1)中间二个位置排教师,有多少种排法? (2)两名教师不相邻的概率为多少?

解: (1)

2 A 2

先排教师有种方法,再排 A5

5 A 5

学生有 种方法,故共有 240 种;

5 A

2 6

(2)采用“插空法”,先排 4 名学生,有种方法;再把 2 个教师插入 5 个学生形 成的 6 个空中,方法有 种.根据分步计数原理,所有满足条件的排法共有 3600 种

19. (本小题满分 8 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n 且满足 S n ? an ? 2n .

(1)写出 a1 , a2 , a3 ,并推测 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

3 7 15 1 解:(1)a1= ,a2= ,a3= ,….猜测 an=2- n(5 分) 2 4 8 2 (2)①由(1)已得当 n=1 时,命题成立;(7 分) 1 ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2- k,(8 分) 2 当 n=k+1 时,a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+……+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, 1 1 ∴2ak+1=2+2- k,ak+1=2- k+1, 2 2 即当 n=k+1 时,命题成立.(11 分) 1 根据①②得 n∈N+时,an=2- n都成立.(12 分) 2

20.(本小题满分 8 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 AC ? BC ? 2 , PA ? 平面

ABCD , E , F 分别是 BC, PC 的中点.
(1)证明: AE ? PD ; (2)若 H 为 PD 上一点,且 AH ? PD , EH 与平面 PAD 所成角的正切值为 面角 E ? AF ? C 的正弦值.

15 ,求二 4

20.(1)证明:由 AC=AB=BC,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA? 平面 PAD,AD? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD.又 PD? 平面 PAD, 所以 AE⊥PD.(5 分)

(2)解:因为 AH⊥PD, 由(1)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3,

此时 tan∠EHA= =

AE AH

3

AH



6 , 2

在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin 30°=

3 3 ,AO=AE·cos 30°= , 2 2

3 2 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin 45°= , 4 又 SE= EO +SO =
2 2

3 9 30 + = , 4 8 4 3 2

4 SO 15 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= = = , SE 5 30 4 即所求二面角的余弦值为 15 .(12 分) 5

解法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以

A(0,0,0),B( 3,-1,0),C( 3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E( 3,0,0), F?

? 3 1 ? , ,1?, ?2 2 ?

所以 AE =( 3,0,0),

AF =?

? 3 1 ? , ,1?. ?2 2 ?

m· BD
所以 cos〈m, BD 〉=

|m|·| BD |



15 = . 5 5× 12 15 .(12 分) 5

2×3

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

21. (本小题满分 10 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作 2 2 a b

圆 T : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 上异于 M ,N 的任意一点, 且直线 MP ,NP 分别与 x 轴交于点 R ,

S , O 为坐标原点,
求证: OR ? OS 为定值.

解:(1)依题意,得 a=2,e= =
2

c a

3 2 2 ,∴c= 3,b= a -c =1; 2

x 13 2 2 2 故椭圆 C 的方程为 +y =1. (x+2) +y = (3 分) 4 25

(2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设 y1>0. 由于点 M 在椭圆 C 上,

所以 y1=1- .(*)(4 分) 4 由已知 T(-2,0),则 TM =(x1+2,y1), TN =(x1+2,-y1),

2

x2 1

? x1? 5 2 2 2 2 ∴ TM · TN =(x1+2,y1)·(x1+2,-y1)=(x1+2) -y1=(x1+2) -?1- ?= x1+4x1 ? 4? 4


2

3 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M(2cos θ ,sin θ ),N(2cos θ ,-sin θ ), 不妨设 sin θ >0,由已知 T(-2,0),则

TM · TN =(2cos θ +2,sin θ )·(2cos θ +2,-sin θ )=(2cos θ +2)2-sin2θ
4?2 1 ? 2 =5cos θ +8cos θ +3=5?cos θ + ? - .(6 分) 5? 5 ? 4 1 ? 8 3? 故当 cos θ =- 时, TM · TN 取得最小值为- ,此时 M?- , ?, 5 5 ? 5 5? 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r = . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为:(x+2) +y = .(8 分) 25 (3)方法一:设 P(x0,y0),则直线 MP 的方程为:

y0-y1 y-y0= (x-x0), x0-x1
令 y=0,得 xR= 故 xR·xS=

x1y0-x0y1 x1y0+x0y1 ,同理:xS= ,(10 分) y0-y1 y0+y1

2 2 2 x2 1y0-x0y1 (**)(11 分) 2 y0-y2 1 2 2 2 2

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0=4(1-y0),x1=4(1-y1),(12 分) 4(1-y1)y0-4(1-y0)y1 4(y0-y1) 代入(**)式,得:xR·xS= = 2 2 =4. 2 2 y0 -y1 y0-y1 所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4 为定值.(13 分) 方法二:设 M(2cos θ ,sin θ ),N(2cos θ ,-sin θ ),不妨设 sin θ >0,P(2cos α ,
2 2 2 2 2 2

sin α ),其中 sin α ≠±sin θ .则直线 MP 的方程为:y-sin α = 2cos α ), 2(sin α cos θ -cos α sin θ ) 令 y=0,得 xR= , sin α -sin θ 2(sin α cos θ +cos α sin θ ) 同理:xS= ,(12 分) sin α +sin θ

sin α -sin θ (x- 2cos α -2cos θ

4(sin α cos θ -cos α sin θ ) 4(sin α -sin θ ) 故 xR·xS= = =4. 2 2 2 2 sin α -sin θ sin α -sin θ 所以|OR|·|OS|=|xR|·|xS|=|xR·xS|=4 为定值.(13 分)

2

2

2

2

2

2

22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? e , x ? R .
x

(1)设 x ? 0 ,讨论曲线 y ?
2

f ( x) 与直线 y ? m 公共点的个数; x2 f ( x) f ( 2) 9 , h ( 2) ? ,试比较 h(e) 与 的大 x 8 10

(2)设函数 h( x) 满足 x h ?( x ) ? 2 xh ( x ) ? 小. (e 2 ? 7.389)

解:(1)f(x)的反函数 g(x)=ln x.设直线 y=kx+1 与 g(x)=ln x 相切于点 P(x0,y0), ? x0=e ,k=e .所以 k=e .(3 分) (2)当 x>0,m>0 时,曲线 y=f(x)与曲线 y=mx (m>0)的公共点个数 即方程 f(x)=mx 根的个数. e e xe (x-2) 2 由 f(x)=mx ? m= 2,令 v(x)= 2? v′(x)= , 4
x x x
2 2 2 -2 -2

x

x

x

则 v(x)在(0,2)上单调递减,这时 v(x)∈(v(2),+∞);

v(x)在(2,+∞)上单调递增,这时 v(x)∈(v(2),+∞).v(2)= . v(2)是 y=v(x)的极小值,也是最小值.(5 分)
所以对曲线 y=f(x)与曲线 y=mx (m>0)公共点的个数,讨论如下:
2

e 4

2

? e? 当 m∈?0, ?时,有 0 个公共点; ? 4?
e 当 m= 时,有 1 个公共点; 4
2

2

?e ? 当 m∈? ,+∞?时有 2 个公共点;(8 分) ?4 ?
(3)令 F(x)=x h(x),则 F′(x)=x h′(x)+2xh(x)=
2 2

2

e

x

x

所以 h(x)=

F(x) F′(x)x2-2xF(x) F′(x)x-2F(x) ex-2F(x) = = 2 ,故 h′(x)= x x4 x3 x3
x x

e e (x-2) x x x 令 G(x)=e -2F(x),则 G′(x)=e -2F′(x)=e -2· =

x

x

显然,当 0<x<2 时,G′(x)<0,G(x)单调递减; 当 x>2 时,G′(x)>0,G(x)单调递增; 所以,在(0,+∞)范围内,G(x)在 x=2 处取得最小值 G(2)=0. 即 x>0 时,e -2F(x)≥0. 故在(0,+∞)内,h′(x)≥0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递增, 又因为 h(2)=
x

f(2) e2 7
8

= > ,h(2)<h(e) 8 8

7 所以 h(e)> .(14 分) 8


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