版高中数学第一章三角函数1.3.2第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质课件苏教版必修4_图文

第1章 1.3.2

三角函数的图象与性质

第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质

学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能用“五 点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

正弦函数图象

思考1
结合课本内容,思考并体会利用正弦线作正弦函数图象的方法.

思考2
如果有y=sin x,x∈[0,2π]图象上的五个点,进行描点、连线, 作出图象,那么哪五个点最关键?

π 3π 答案 (0,0),( ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0). 2 2
答案

梳理
正弦曲线及作法 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图:

(2)正弦曲线的作法
①几何法——借助三角函数线.

②描点法——五点法.
用“五点法”画正弦曲线在[0,2π]上的图象时所取的五个关键点为 π 3π (0,0) , (2,1) , (π,0) , ( 2 ,-1) , (2π,0) .

知识点二

余弦函数图象

思考1
能否把正弦函数y=sin x的图象转化为y=cos x的图象?
π 答案 能.把y=sin x的图象向左平移 2 个单位即可.

思考2
如果用“五点法”作出y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键

点应为什么?
π 3π 答案 (0,1),( 2 ,0),(π,-1),( 2 ,0),(2π,1).
答案

梳理
余弦曲线及作法 (1)余弦函数的图象叫做余弦曲线.如图:

(2)余弦曲线的画法
π 左 ①要得到y=cos x的图象,只需把y=sin x的图象向 平移 个单位长度 2 π sin(x+2) 便可,这是由于cos x= .

②用“五点法”画出余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时所取的五个 π 3π (2,0) (π,-1) ( 2 ,0) (2π,1) (0 , 1) 关键点分别为: , , , , .

知识点三

正弦函数、余弦函数的性质

正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最 值等方面进行比较. 正弦函数 余弦函数

解析式
图象 定义域 值域

y=sin x

y=cos x

R [-1,1]

R [-1,1]

周期 奇偶性





奇函数 偶函数 π π [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z) 在 [-2+2kπ,2+2kπ] 在 (k∈Z)上是 [2kπ, 上是单调增函数,在_____ π 3π 单调性 [2+2kπ, 2 +2kπ] π+2kπ] 单调增函数, 在________________ (k∈Z) 上是单调减 (k∈Z)上是单调减函数 最值 函数

π 2 k π x = (k∈Z)时, ymax=1; + 2 k π x= 2 (k∈Z)时,ymax=1;x x= π+2kπ (k∈Z)时,ymin= π -2+2kπ = (k∈Z)时,ymin=-1 -1

题型探究

类型一

“五点法”作图的应用

例1 利用“五点法”作出函数y=1-sin x(0≤x≤2π)的简图. 解 取值列表: x sin x 1-sin x 描点连线,如图所示. 0 0 1
π 2

π 0 1

3π 2

2π 0 1

1 0

-1 2

解答

反思与感悟

作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图.“五点”即y=sin x或y
=cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”

是作简图的常用方法.

跟踪训练1 用“五点法”作出函数y=1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解 列表如下: x cos x 0 1

π 2
0

π -1

3π 2
0

2π 1

1-cos x

0

1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连结起来,如图.

解答

类型二

求正弦、余弦函数的单调区间

例2 求下列函数的单调区间.
? π? ? (1)y=2sin?x-3? ?; ? ?

解答

(2)y=cos 2x. 解 由题意,令2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,

π 得 kπ-2≤x≤kπ,k∈Z, 故 y=cos 2x
? ? π ? 的单调增区间为?kπ-2,kπ? ?(k∈Z). ? ?

令2kπ≤2x≤π+2kπ,k∈Z,
π 得 kπ≤x≤2+kπ,k∈Z,

故 y=cos 2x

? ? π ? 的单调减区间为?kπ,2+kπ? ?(k∈Z). ? ?

解答

反思与感悟

用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,如 果式子中x的系数为负数,先利用诱导公式将 x的系数变为正数再求其单 调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.

跟踪训练 2

求函数

?π ? ? - x y=2sin? ? ?的单调增区间. 4 ? ?

解答

类型三
例3

正弦函数、余弦函数的最值问题
? π 2π? ? ? 的定义域为?-3, 3 ?,函数的最大值 ? ?

(1)已知函数 f(x)=2asin x+b

为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值;
解 π 2π 3 ∵-3≤x≤ 3 ,∴- 2 ≤sin x≤1.

? ? ?2a+b=1, ?a=12-6 3, 若 a>0,则? 解得? ? ? ?- 3a+b=-5. ?b=-23+12 3.

? ? ?2a+b=-5, ?a=-12+6 3, 若 a<0,则? 解得? ? ? ?- 3a+b=1. ?b=19-12 3.
解答

(2)求函数y=sin2x-cos x的值域.
解 12 5 y=sin x-cos x=-cos x-cos x+1=-(cos x+2) +4.
2 2

∵cos x∈[-1,1],

1 5 ∴当 cos x=-2时,ymax=4;
当cos x=1时,ymin=-1.
∴函数 y=sin2x-cos x
? 5? ? ? 的值域为?-1,4?. ? ?

解答

反思与感悟

(1)求形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值要注意对a的讨论. (2)将函数式转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式. (3)换元后配方,利用二次函数求最值.

±2 跟踪训练3 (1)若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=____.
解析
? ? ?a+b=3, ?a=1, 当 a>0 时,? 得? ? ? ?-a+b=1, ?b=2.

? ? ?a+b=1, ?a=-1, 当 a<0 时,? 得? ? ? ?-a+b=3, ?b=2.

∴ab=±2.

解析

答案

(2)求函数


? ? ? ? π π π ? ? ? 2 x + - , y=3-4cos? , x ∈ 最小值及相应的 ? ? ? ?的最大、 3 3 6 ? ? ? ?

x 值.

? π π? π 2π? π ? ? ? ? ∵x∈?-3,6?,∴2x+3∈?-3, 3 ? ?. ? ? ? ?

? π? 1 ? 从而-2≤cos?2x+3? ?≤1, ? ?

∴当 当

? π? ? ? 2 x + cos? ?=1,即 3 ? ?

π π 2x+3=0,x=-6时,ymin=3-4=-1.
? 1? π 2π π ? 2x+3= 3 ,x=6时,ymax=3-4×?-2? ?=5. ? ?

? π? 1 ? ? cos?2x+3?=-2,即 ? ?

π 综上所述,当 x=-6时,ymin=-1, π 当 x=6时,ymax=5.

解答

(3)求函数y=3-4sin x-4cos2x的值域. 解 y=3-4sin x-4cos2x=3-4sin x-4(1-sin2x) =4sin2x-4sin x-1,令t=sin x,则-1≤t≤1,
? ? 1 ? ?2 2 ∴y=4t -4t-1=4?t-2? -2(-1≤t≤1). ? ?

1 ∴当 t=2时,ymin=-2,当 t=-1 时,ymax=7.

即函数y=3-4sin x-4cos2x的值域为[-2,7].

解答

当堂训练

1.用“五点法”作y=2sin 2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是
π π 3π 0 , , , , π _______________. 4 2 4

解析

π 3π “五点法”作图是当 2x=0,2,π, 2 ,2π 时的 x 的值,

π π 3π 此时 x=0,4,2, 4 ,π.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.函数 f(x)=-2sin

? ? π ? ? [-1,3] - , π x+1,x∈? 2 ?的值域是_________. ? ?

解析

? ? π ? ? ∵x∈?-2,π?, ? ?

∴sin x∈[-1,1],
∴f(x)=-2sin x+1∈[-1,3].

1

2

3

4

5

解析

答案

1 2 个. 3.函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象与直线y=- 的交点有___ 2 1 解析 作y=cos x,x∈[0,2π]的图象及直线y= -2 (图略),
可知两函数图象有2个交点.

1

2

3

4

5

解析

答案

π 5π [6+2kπ, 6 +2kπ],k∈Z 4.函数 y= 2sin x-1的定义域为________________________.
解析 由题意知,自变量x应满足2sin x-1≥0,

1 即 sin x≥2.
π 5π 由 y=sin x 在[0,2π]的图象,可知6≤x≤ 6 , 所以 y= 2sin
?π ? 5π ? x-1的定义域为?6+2kπ, 6 +2kπ? ?,k∈Z ? ?

.

1

2

3

4

5

解析

答案

π? 1 ? ? 5.请用“五点法”画出函数 y=2sin?2x-6? ?的图象. ? ?

1

2

3

4

5

解答

规律与方法
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解

(1)与前面学习函数图象的画法类似,在用描点法探究函数图象特征的前
提下,若要求精度不高,只要描出函数图象的“关键点”,就可以根据

函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.

2.作函数y=asin x+b的图象的步骤:

3.用“五点法”画函数y=asin x+b在一个周期[0,2π]内的图象,如果要
画出在其他区间上的图象,可依据图象的变化趋势和周期性画出.

本课结束


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