版高中数学第一章三角函数1.3.2第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质课件苏教版必修4_图文

第1章 1.3.2

三角函数的图象与性质

第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质

学习目标
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五 点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 4.掌握正弦曲线、余弦曲线的性质.

内容索引

问题导学

题型探究 当堂训练

问题导学

知识点一

正弦函数图象

思考1
结合课本内容，思考并体会利用正弦线作正弦函数图象的方法.

思考2
如果有y＝sin x，x∈[0，2π]图象上的五个点，进行描点、连线， 作出图象，那么哪五个点最关键？

π 3π 答案 (0，0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1)，(2π，0). 2 2
答案

梳理
正弦曲线及作法 (1)正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图：

(2)正弦曲线的作法
①几何法——借助三角函数线.

②描点法——五点法.
用“五点法”画正弦曲线在[0，2π]上的图象时所取的五个关键点为 π 3π (0，0) ， (2，1) ， (π，0) ， ( 2 ，－1) ， (2π，0) .

知识点二

余弦函数图象

思考1
能否把正弦函数y＝sin x的图象转化为y＝cos x的图象？
π 答案 能.把y＝sin x的图象向左平移 2 个单位即可.

思考2
如果用“五点法”作出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，五个关键

点应为什么？
π 3π 答案 (0，1)，( 2 ，0)，(π，－1)，( 2 ，0)，(2π，1).
答案

梳理
余弦曲线及作法 (1)余弦函数的图象叫做余弦曲线.如图：

(2)余弦曲线的画法
π 左 ①要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向 平移 个单位长度 2 π sin(x＋2) 便可，这是由于cos x＝ .

②用“五点法”画出余弦曲线y＝cos x在[0，2π]上的图象时所取的五个 π 3π (2，0) (π，－1) ( 2 ，0) (2π，1) (0 ， 1) 关键点分别为： ， ， ， ， .

知识点三

正弦函数、余弦函数的性质

正、余弦函数的性质可从定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性及最 值等方面进行比较. 正弦函数 余弦函数

解析式
图象 定义域 值域

y＝sin x

y＝cos x

R [－1，1]

R [－1，1]

周期 奇偶性

2π

2π

奇函数 偶函数 π π [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) 在 [－2＋2kπ，2＋2kπ] 在 (k∈Z)上是 [2kπ， 上是单调增函数，在_____ π 3π 单调性 [2＋2kπ， 2 ＋2kπ] π＋2kπ] 单调增函数， 在________________ (k∈Z) 上是单调减 (k∈Z)上是单调减函数 最值 函数

π 2 k π x ＝ (k∈Z)时， ymax＝1； ＋ 2 k π x＝ 2 (k∈Z)时，ymax＝1；x x＝ π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝ π －2＋2kπ ＝ (k∈Z)时，ymin＝－1 －1

题型探究

类型一

“五点法”作图的应用

例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图. 解 取值列表： x sin x 1－sin x 描点连线，如图所示. 0 0 1
π 2

π 0 1

3π 2

2π 0 1

1 0

－1 2

解答

反思与感悟

作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y
＝cos x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”

是作简图的常用方法.

跟踪训练1 用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图. 解 列表如下： x cos x 0 1

π 2
0

π －1

3π 2
0

2π 1

1－cos x

0

1

2

1

0

描点并用光滑的曲线连结起来，如图.

解答

类型二

求正弦、余弦函数的单调区间

例2 求下列函数的单调区间.
? π? ? (1)y＝2sin?x－3? ?； ? ?

解答

(2)y＝cos 2x. 解 由题意，令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，

π 得 kπ－2≤x≤kπ，k∈Z， 故 y＝cos 2x
? ? π ? 的单调增区间为?kπ－2，kπ? ?(k∈Z). ? ?

令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，
π 得 kπ≤x≤2＋kπ，k∈Z，

故 y＝cos 2x

? ? π ? 的单调减区间为?kπ，2＋kπ? ?(k∈Z). ? ?

解答

反思与感悟

用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如 果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将 x的系数变为正数再求其单 调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.

跟踪训练 2

求函数

?π ? ? － x y＝2sin? ? ?的单调增区间. 4 ? ?

解答

类型三
例3

正弦函数、余弦函数的最值问题
? π 2π? ? ? 的定义域为?－3， 3 ?，函数的最大值 ? ?

(1)已知函数 f(x)＝2asin x＋b

为 1，最小值为－5，求 a 和 b 的值；
解 π 2π 3 ∵－3≤x≤ 3 ，∴－ 2 ≤sin x≤1.

? ? ?2a＋b＝1， ?a＝12－6 3， 若 a＞0，则? 解得? ? ? ?－ 3a＋b＝－5. ?b＝－23＋12 3.

? ? ?2a＋b＝－5， ?a＝－12＋6 3， 若 a＜0，则? 解得? ? ? ?－ 3a＋b＝1. ?b＝19－12 3.
解答

(2)求函数y＝sin2x－cos x的值域.
解 12 5 y＝sin x－cos x＝－cos x－cos x＋1＝－(cos x＋2) ＋4.
2 2

∵cos x∈[－1，1]，

1 5 ∴当 cos x＝－2时，ymax＝4；
当cos x＝1时，ymin＝－1.
∴函数 y＝sin2x－cos x
? 5? ? ? 的值域为?－1，4?. ? ?

解答

反思与感悟

(1)求形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论. (2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式. (3)换元后配方，利用二次函数求最值.

±2 跟踪训练3 (1)若y＝asin x＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝____.
解析
? ? ?a＋b＝3， ?a＝1， 当 a＞0 时，? 得? ? ? ?－a＋b＝1， ?b＝2.

? ? ?a＋b＝1， ?a＝－1， 当 a＜0 时，? 得? ? ? ?－a＋b＝3， ?b＝2.

∴ab＝±2.

解析

答案

(2)求函数
解

? ? ? ? π π π ? ? ? 2 x ＋ － ， y＝3－4cos? ， x ∈ 最小值及相应的 ? ? ? ?的最大、 3 3 6 ? ? ? ?

x 值.

? π π? π 2π? π ? ? ? ? ∵x∈?－3，6?，∴2x＋3∈?－3， 3 ? ?. ? ? ? ?

? π? 1 ? 从而－2≤cos?2x＋3? ?≤1， ? ?

∴当 当

? π? ? ? 2 x ＋ cos? ?＝1，即 3 ? ?

π π 2x＋3＝0，x＝－6时，ymin＝3－4＝－1.
? 1? π 2π π ? 2x＋3＝ 3 ，x＝6时，ymax＝3－4×?－2? ?＝5. ? ?

? π? 1 ? ? cos?2x＋3?＝－2，即 ? ?

π 综上所述，当 x＝－6时，ymin＝－1， π 当 x＝6时，ymax＝5.

解答

(3)求函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域. 解 y＝3－4sin x－4cos2x＝3－4sin x－4(1－sin2x) ＝4sin2x－4sin x－1，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
? ? 1 ? ?2 2 ∴y＝4t －4t－1＝4?t－2? －2(－1≤t≤1). ? ?

1 ∴当 t＝2时，ymin＝－2，当 t＝－1 时，ymax＝7.

即函数y＝3－4sin x－4cos2x的值域为[－2，7].

解答

当堂训练

1.用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是
π π 3π 0 ， ， ， ， π _______________. 4 2 4

解析

π 3π “五点法”作图是当 2x＝0，2，π， 2 ，2π 时的 x 的值，

π π 3π 此时 x＝0，4，2， 4 ，π.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.函数 f(x)＝－2sin

? ? π ? ? [－1，3] － ， π x＋1，x∈? 2 ?的值域是_________. ? ?

解析

? ? π ? ? ∵x∈?－2，π?， ? ?

∴sin x∈[－1，1]，
∴f(x)＝－2sin x＋1∈[－1，3].

1

2

3

4

5

解析

答案

1 2 个. 3.函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 的交点有___ 2 1 解析 作y＝cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y＝ －2 (图略)，
可知两函数图象有2个交点.

1

2

3

4

5

解析

答案

π 5π [6＋2kπ， 6 ＋2kπ]，k∈Z 4.函数 y＝ 2sin x－1的定义域为________________________.
解析 由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，

1 即 sin x≥2.
π 5π 由 y＝sin x 在[0，2π]的图象，可知6≤x≤ 6 ， 所以 y＝ 2sin
?π ? 5π ? x－1的定义域为?6＋2kπ， 6 ＋2kπ? ?，k∈Z ? ?

.

1

2

3

4

5

解析

答案

π? 1 ? ? 5.请用“五点法”画出函数 y＝2sin?2x－6? ?的图象. ? ?

1

2

3

4

5

解答

规律与方法
1.对“五点法”画正弦函数图象的理解

(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前
提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据

函数图象的变化趋势画出函数图象的草图.
(2)图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点.

2.作函数y＝asin x＋b的图象的步骤：

3.用“五点法”画函数y＝asin x＋b在一个周期[0，2π]内的图象，如果要
画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出.

本课结束