北师大版高中数学必修4第一章正弦函数的性质与图像课件4


正弦型函数

情景引入
观览车示意图 设转轮半径长为 R ,转动 P P R
0

的角速度为ωrad/s . 点P0表示
座椅的初始位置, ?XOP ? ?
0

X

当转轮转动t秒后,点P0到达点

P位置,射线OP的转角为 ?t

??

o

情景引入
y 观览车示意图 设转轮半径长为 R ,转动 P

的角速度为ωrad/s . 点P0表示
座椅的初始位置, ?XOP ? ?
0

?t
o

P0

?
x

当转轮转动t秒后,点P0到达点

P位置,射线OP的转角为 ?t
的函数关系为

??

则点 P 的纵坐标 y 与时间 t

y ? R sin(?t ? ? )

概念认知
在函数

y ? R sin(?t ? ? )

y 中,

点P旋转一周所需要的时间 T ? 叫做点P的转动周期. 在一秒内,点P旋转的周数 f ? 叫做转动的频率.

2?

P

?
o

?t

P0

1 ? ? T 2?

?
x

OP0与x轴正方向的夹角

?

叫做初相.

OP相对于x轴正方向的转角?t

? ? 叫做相位.

练一练: 如果动点P以角速度4π rad/s作匀速圆周运动,那么
周期 T ?

2?

1 ? s ? 2

频率 f ?

1 ? 2 HZ T

概念认知
在函数

y ? R sin(?t ? ? )

y 中,

点P旋转一周所需要的时间 T ? 叫做点P的转动周期. 在一秒内,点P旋转的周数 f ? 叫做转动的频率.

2?

P

?
o

?t

P0

1 ? ? T 2?

?
x

OP0与x轴正方向的夹角

?

叫做初相.

OP相对于x轴正方向的转角?t

? ? 叫做相位.

形如 y ? A sin(?x ? ? ) (其中A , ? ,? 都是常数)
的函数通常叫做正弦型函数.

探究新知
1 例1 在同一坐标系中作函数 y ? 2 sin x 及 y ? sin x 的简图. 2
思考:

y ? sin

? 3? ( , ?1 ) ( 0 , 0 ) ( ? , 0 ) ( , 1 ) x这两个函数的图象与y=sinx的图象之间有什么关系?
2
2

( 2? , 0 )

y ? 2 sin x
1 y ? sin x 2

(0,0)

(

?
2

,2)

(? ,0)

(

3? ,?2) 2

( 2? , 0 )

(0,0)

(

? 1
2 2 ,

)

(? ,0)

(

3? 1 ,? ) 2 2

( 2? , 0 )

探究新知
描点、作图: y 2 1 O ?1

y=2sinx y=sinx y= sinx
?
1 2

2? x

?2

探究新知
y

y=2sinx y=sinx y= sinx
?
1 2

2
1 O ?1 ?2

2? x

周期不变,初相不变

总结规律
? 函数y=Asinx (A >0)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上 所有点的纵坐标伸长 (当A>1时)或缩短(当0<A<1时) 到原来的 A倍(横坐标不变) 而得到的. (上下伸缩)

纵坐标变为原来的A倍 y=sinx
横坐标不变

y=Asinx

y=Asinx ,x∈R的最大值 为A,最小值为-A ,值域为[-A,A].
A的大小,反映曲线y=Asinx波动幅度的大小, A称为振幅.

探究新知
例2在同一坐标系中作函数 y ? sin( x ?
思考: y ? sin( x ? ) (? 3
y ? sin( x ? ) 3

?
3

? ) 和 y ? sin(x ? ) 的图象.
3
( 5? ,0) 3
7? ,0) 3

?

2? 7? ( , ?1 ) ,0) ( , 1) ( ,0) 6 6 3 3 这两个函数的图象与 y=sinx的图象之间有什么关系?

?

?

?

(

?
3

,0)

(

5? , 1) 6

(

4? ,0) 3

(

11? , ?1 ) 6

(

? 1 y y ? sin( x ? )
3

2? O ?

x

?1

探究新知
例2在同一坐标系中作函数 y ? sin( x ? ) 和 y ? sin( x ? ) 的图象.
3

?

?

3

y ? sin( x ?

?
3

) 1

y 2?

O ?1

?

x

周期不变,振幅不变

总结规律
? 函数 y ? sin(x ? ? ) 的图象可以看作是把 y ? sin x 的图象上 所有的点向左( ? ? 0 )或向右( ? ? 0 )平移 | ? | 个单位而得到的.

y ? sin x

左、右平移| ? | 个单位
左加右减

y ? sin(x ? ? )

探究新知
1 例3 在同一坐标系中作函数 y ? sin 2 x 和 y ? sin x 的图象. 2

? ? 3? 思考: ( 0 , 0 ) y ? sin 2 x ( , ?1 ) ( , 1) ( ,0) 4 2 这两个函数的图象与4 y=sinx的图象之间有什么关系?
y ? sin 1 x 2

(? ,0)
( 4? , 0 )

( 0, 0 )

( ? ,1)

( 2? , 0 )

( 3? , ? 1 )

y

1

y=sin2x
?

y=sin x
2? 3?

4?
x

O ?1

y=sinx

探究新知
y 1 2? O ?1

y=sin2x
?

y=sin x
3?
4?

x

y=sinx

初相不变,振幅不变

总结规律
?函数y=sin?x (? >0且?≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图 象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0<?<1时) 到原来 的 1 倍(纵坐标不变) 而得到的. (左右伸缩)
?

y ? sin x

横坐标变为原来的 纵坐标不变

1

?



y ? sin ?x

概括规律
y ? sin x
横 坐 标 变 为 原 来 的
1

左、右平移| ? | 个单位 左加右减

y ? sin(x ? ? )

纵 坐 标 不 变

倍 y ? sin ?x

?

y=Asinx

拓展思维
x
?

例3 作函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象. 3 列表 ? ? ?

?

? 3 sin( 2 x ? ) 3
描点作图

6

12

3

7? 12

5? 6

0

3
y 3

0
y=3sin(2x+
?
3

?3
)

0

?

?
6

o

?

?
3

12

7? 12

5? 6

x

-3

拓展思维
例3 作函数 y ? 3 sin( 2 x ? 思考:

?
3

) 的图象.

? y ? sin x 由函数 的图象怎样变换得到 y ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象 3
y 3

y=3sin(2x+

?
3

)

?

?
6

o

?

?
3

12

7? 12

5? 6

x

-3

拓展思维
y
3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

o
?

? y ? sin( x ? ) 3 y=sinx ?
?
3
5? 6

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

y=sin(2x + -2 -3

? ) 3

变换一
y ? sin x
向左平移

?
3

个单位

左加右减

y ? sin( x ? ) 横 3
纵 坐 标 不 变 坐 标 变 为 原 来 的
1 2

?

y ? sin( 2 x ?
横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍

?
3

)

y ? 3 sin( 2 x ?

3

?
3

)

变换规律
y ? sin x

三角函数图象先平移后伸缩的变换规律
向左(?>0)或向右(?<0) 平移|?|个单位 纵 坐 标 不 变

y ? sin(x ? ? )
横 坐 标 变 为 原 来 的
1

y ? sin(?x ? ? )
横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍

?

y ? Asin(?x ? ? )

A

拓展思维
y
3
2

? y=3sin(2x+ ) 3

1

o
?

y=sin2x y=sinx ?
?
3
5? 6

5? 3

2?

?
3

?

?
6

x

-1

? y=sin(2x + ) 3

-2 -3

变换二
y ? sin x
纵 坐 标 不 变 横 坐 标 变 为 原 来 的
1 2

三角函数图象先伸缩后平移的变换规律

y ? sin 2 x

向左平移

? 个单位 6

y ? sin( 2 x ?
横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍

?
3

)

左加右减

y ? 3 sin( 2 x ?

3

?
3

)

变换规律
y ? sin x
纵 坐 标 不 变 横 坐 标 变 为 原 来 的 1

三角函数图象先伸缩后平移的变换规律

y ? sin ?x

?

向左(?>0)或向右(?<0)

? 平移 个单位 ?

y ? sin(?x ? ? )
横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍

y ? Asin(?x ? ? )

A

一般规律
y ? sin x
纵 坐 标 不 变 横 坐 标 变 为 原 来 的 1 向左(?>0)或向右(?<0) 平移|?|个单位 纵 坐 标 不 变 向左(?>0)或向右(?<0)

y ? sin( x ? ? )
横 坐 标 变 为 原 来 的
1

y ? sin ?x

?

? 平移 个单位 ?

y ? sin(?x ? ? )
横 坐 标 不 变 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍

?

注:变换是对函数图象上任意一点(x,y)
而言的,每一步变换只能有一个变量.要
么横变纵不变,要么纵变横不变. 伸缩变换定型,平移变换定位.

y ? Asin(?x ? ? )

A

课堂小结
正弦型函数的 振幅、周期、频率、初相、相 位 “五点法”画三角函数的图象

三角函数图象 伸缩平移的变换规律

达标检测
1、函数 y ? ?3 sin( 2 x ? ) 的振幅是
?
6 ? 1 ? 2、只需把函数 y ? sin( x ? )的图象上所有点( A ),就可以得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象. 2 6 6

3

,周期是

?

? ? ,频率是 ? ,相位是 2 x ? ,初相是 . 6 6
1 2 1 2

1

A 横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C 纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
?
? 个单位长度 4 ? 向左平移 12 个单位长度
4

B 横坐标缩短到原来的 D 纵坐标缩短到原来的

倍,纵坐标不变 倍,横坐标不变 ( D)

3、要得到函数 y ? sin(3x ? ) 的图象,只要把函数 y ? sin 3x 的图象上的所有点

A
C

向左平移

B 向右平移

4、把函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),得到函数 1 y ? sin x 的图象,再把这个函数图象上所有的点向右平移 ? 个单位长度,就得到函数 2 2 1 ? y ? sin( x ? ) 的图象. 5、已知函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 ?和? 的取值是 A C
3 1 ? ?? ?? 2 6

? 个单位长度 4 ? D 向右平移 个单位长度 12

2

4

y 1

? ?1 ? ?

?

B D

3 1 ? ?? ? ?? 2 6

? ?1 ? ? ?

?

(C )
x

?

? 3

o 2?
3

课外作业
必做题
课本P49 A 1 、2 P50 B 1、 2、 3

选做题
课本P49 A 3 、4 P50 B 4、 5


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