一次函数、二次函数与幂函数复习_图文

第二章

一次函数,二次函数和幂函数

考 什 么

1.掌握一次函数的概念,及基本性质。
2.了解幂函数的概念.
1 3.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= 1 ,y=x2 的图象, x 了解它们的变化情况.

4.掌握二次函数的概念、图象特征.

5.掌握二次函数的对称性和单调性,会求二次函数在给
定区间上的最值. 6.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关 系,提高解综合问题的能力.

§2.6
要点梳理

一次函数、二次函数与幂函数 基础知识 自主学习

1.一次函数、二次函数的图象及性质 (1)一次函数 y=kx+b,当 k>0 时,在实数集 R 上是 增函数,当 k<0 时在实数集 R 上是减函数.b 叫纵 截距, 当 b=0 时图象过原点, 且此时函数是奇函数; 当 b≠0 时函数为非奇非偶函数.

(2)二次函数的解析式
2 y = ax +bx+c (a≠0) ①二次函数的一般式为

.

2 ②二次函数的顶点式为 y=a(x-h) +k (a≠0) , 其中顶 点为 (h,k) .

③二次函数的两根式为 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ,其中 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根.(也就是函数的零 点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式.

解题技巧 1.解答二次函数问题时,一定要注意根据题设条件的不 同,选取不同形式的解析式.经过三点时,用一般式;已知 顶点时用配方式(即顶点式y=a(x-m)2+n);已知函数与x轴 两交点时,用分解式(即两根式y=a(x-x1)(x-x2))等等. 2.二次函数的单调性、值域(最值)问题,一般都是从开 口方向和对称轴入手讨论,或利用导数讨论.

二、二次函数的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) a>0 图 象 a<0

二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
? b b 4ac-b2? ? ? 抛物线对称轴是x=- ,顶点是?- , 2a 4a ? ? 2a ?

抛物线开口向上,且向上无 限伸展 性 质
? b? ? ? ?-∞,-2a? ? ? 上是 在区间______________

抛物线开口向下,且向下无限伸展

? b? ? ? ?-∞,-2a? ?上是增函数,在区 在区间?___________

? ? b ? ? ?-2a,+∞? 减函数,在区间__________ ? ?

上是增函数

? ? b ? ? ?-2a,+∞? ? ? 上是减函数 间______________

二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)

顶点为最低点,当x 性 =- b 时,y有最小 2a 质 4ac-b2 值,y最小= 4a

顶点为最高点,当x=- b 2a时,y有最大值,y最大= 4ac-b2 4a

三、三个二次(二次方程ax2+bx+c=0,二次函数y =ax2+bx+c,二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)(或<0))的 关系

[难点正本 疑点清源] 1.二次函数、二次方程、二次不等式的区别与联系 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系

Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c 的图象 (a>0) 方程 ax +bx+c=0 的解
2 2

Δ>0

Δ=0

Δ<0

x1,x2 (x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1} {x|x1<x<x2}

x0 {x|x∈R 且 x≠x0} ?

无解

ax +bx+c>0 的解集 ax2+bx+c<0 的解集

R ?

2.幂函数 (1)幂函数的定义 α y = x 形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是
自变量 ,α 为 常数

.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 函 特征 数 y= x 性质 定义域

y= x

2

y= x

3

y?x

1 2

y= x

-1

R

R
[0,+∞)

R

[0,+∞)

{x|x∈R 且 x≠0}
{y|y∈R 且 y≠0}

值域 奇偶性

R

R 奇

[0,+∞)




x∈[0,+∞)

非奇非偶


x∈(0,+∞)时,减 x∈(-∞,0)时,减

时,增
单调性



x∈(-∞, 0]时,减





定点

(0,0),(1,1)

(1,1)

[自测

牛刀小试]

1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(2,4),且过点 (3,0),则f(x)=________________(用一般式表示). 解析:依题意可设f(x)=a(x-2)2+4(a≠0),代入点 (3,0).可得0=a(3-2)2+4.从而a=-4,所以f(x)=

-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.
答案:-4x2+16x-12

2.若函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直 线 x=1 对称,则 b=________. 6
a+2 a+b 解析 对称轴 x=- =1,又 =1,∴b=6. 2 2

3.已知函数f(x)=ax2+x+5在x轴上方,则a的取值范 围是________.
解析:∵函数 f(x)=ax2+x+5 在 x 轴上方,
? ?a>0, ∴? ? ?Δ=1-20a<0,
?1 ? 答案:?20,+∞? ? ?

1 即 a> . 20

4.(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是_____.
①y=2 ;②y=2x ;③y=(x+2) ;④y= x2; 1 ⑤y= . x
1 解析:y= x =x ,y= =x x 答案:④⑤
2

x

-1

2

3

3

2 3

1 ? 2

故④⑤为幂函数.

5.下列命题:
①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0); ②幂函数的图象不可能在第四象限; ③n=0时,函数y=xn的图象是一条直线; ④幂函数y=xn,当n>0时是增函数;

⑤幂函数y=xn,当n<0时,在第一象限内函数值随x
值增大而减小. 其中正确的是________.

解析:幂函数y=xn,当n<0时,不过(0,0)点,①错误; 当n=0时,y=xn中x≠0,故其图象是去掉(0,1)点的一条 直线,③错;y=x2在(-∞,0)上是减函数,(0,+∞)上

是增函数,④错.
答案:②⑤

题型分类
题型一 例1 求二次函数的解析式

深度剖析

已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,

且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数.
有三种形式, 思维启迪 确定二次函数采用待定系数法, 可根据条件灵活运用.
解 方法一 设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ?a=-4, ? 解之,得?b=4, ?c=7, ? ? ?4a+2b+c=-1, ?a-b+c=-1, 依题意有? 2 ?4ac-b =8, ? ? 4a

∴所求二次函数为 y=-4x2+4x+7.

设 f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 1 ∴抛物线对称轴为 x= = .∴m= . 2 2 2 方法二 又根据题意函数有最大值为 n=8, ? 1?2 ∴y=f(x)=a?x-2? +8. ? ? ? 1 ?2 ∵f(2)=-1,∴a?2-2? +8=-1, ? ? 解之,得 a=-4. ? 1 ?2 ∴f(x)=-4?x-2? +8=-4x2+4x+7. ? ?

方法三

依题意知:f(x)+1=0 的两根为

x1=2,x2=-1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解之,得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.

探究提高

二次函数的解析式有三种形式:

(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c (a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k (a≠0); (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 已知函数的类型(模型),求其解析式,用待定系数法, 根据题设恰当选用二次函数解析式的形式, 可使解法简 捷.

解题技巧 1.解答二次函数问题时,一定要注意根据题设条件的不 同,选取不同形式的解析式.经过三点时,用一般式;已知 顶点时用配方式(即顶点式y=a(x-m)2+n);已知函数与x轴 两交点时,用分解式(即两根式y=a(x-x1)(x-x2))等等. 2.二次函数的单调性、值域(最值)问题,一般都是从开 口方向和对称轴入手讨论,或利用导数讨论.

变式训练 1 已知二次函数的对称轴为 x=- 2,截 x 轴上的弦长为 4,且过点(0,-1),求函数的解析式.
解 方法一 ∵二次函数的对称轴为 x=- 2,

可设所求函数为 f(x)=a(x+ 2)2+b,a≠0. 又∵f(x)截 x 轴上的弦长为 4, ∴f(x)过点(- 2+2,0)和(- 2-2,0), 又
? ?4a+b=0 f(x)过点(0, -1), ∴? ? ?2a+b=-1

1 ? ?a= , 解得? 2 , ? ?b=-2

1 ∴f(x)= (x+ 2)2-2. 2

方法二

∵二次函数的图象的对称轴为 x=- 2,且截

x 轴的长为 4, ∴f(x)经过点(- 2-2,0)和(- 2+2,0), 故设 f(x)=a[x-(- 2-2)][x-(- 2+2)], 又∵二次函数 y=f(x)经过点(0,-1), ∴f(0)=a[0-(- 2-2)][0-(- 2+2)]=-1, 1 ∴ a= . 2 1 ∴f(x)= [x-(- 2-2)][x-(- 2+2)] 2 1 = (x+ 2)2-2. 2

题型二 例2

二次函数的图象与性质

已知函数 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]
二次函数在给定区间上的最值问题, 要讨论

内有一个最大值-5,求 a 的值. 思维启迪
对称轴与给定区间的关系. ? a? 2 a 解 f(x) =- 4 ?x-2? - 4a ,对称轴为 x = ,顶点为 2 ? ? ?a ? ? ,-4a?. ?2 ? a (1)当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)在区间[0,1]上递增. 2

∴ymax=f(1)=-4-a2.令-4-a2=-5, ∴a=± 1<2(舍去).

a (2)当 0< <1,即 0<a<2 时, 2 ?a? ymax=f?2?=-4a,令-4a=-5, ? ? 5 ∴a= ∈(0,2). 4 a (3)当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在区间[0,1]上递减, 2 此时 f(x)max=f(0)=-4a-a2. 令-4a-a2=-5,即 a2+4a-5=0, ∴a=-5 或 a=1(舍去). 5 综上所述,a= 或 a=-5. 4

探究提高

(1)要注意二次函数的对称轴所在的位置对

函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题, 首先采用配方法, 将二次函 数化为 y=a(x-m)2+n 的形式,得顶点(m,n)或对称 轴方程 x=m,分三个类型: ①顶点固定,区间固定; ②顶点含参数,区间固定; ③顶点固定,区间变动.

变式训练 2 函数 f(x)=-x2+4x-1 在区间[t,t+1] (t∈R)上的最大值为 g(t). (1)求 g(t)的解析式; (2)求 g(t)的最大值.
解 (1)f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3.对称轴 x=2.

①当 t+1<2,即 t<1 时,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为增 函数,∴g(t)=f(t+1)=-t2+2t+2; ②当 t≤2≤t+1,即 1≤t≤2 时,g(t)=f(2)=3; ③当 t>2 时,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为减函数, ∴g(t)=f(t)=-t2+4t-1.

?-t2+2t+2,t<1, ? 综上所述,g(t)=?3, 1≤t≤2, ?-t2+4t-1, t>2. ?

(2)当 t<1 时,g(t)=-t2+2t+2=-(t-1)2+3<3; 当 1≤t≤2 时,g(t)=3;当 t>2 时,g(t)=-t2+4t-1 =-(t-2)2+3<3.∴g(t)的最大值为 3.

题型三 例3

幂函数的图象和性质
m2 ?2 m?3

已知幂函数 f ( x) ? x
? m 3

(m∈N*)的图象关于
? m 3

y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)

? (3 ? 2a)
思维启迪

的 a 的取值范围.
由 f ( x) ? x
m2 ?2 m?3

(m∈N*)的图象关于 y

轴对称知 m2-2m-3 为偶数,又在(0,+∞)上是减函 数,∴m2-2m-3<0,从而确定 m 值,再由函数 f(x)= x


m

3 的单调性求

a 的值.



∵函数在(0,+∞)上递减,

∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称,∴m2-2m-3 是偶数, 而 22-2×2-3=-3 为奇数,12-2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1. 而 f(x)= ∴ (a ?1)

x
?1 3

?1 3

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
?1 3

? (3 ? 2a)

等价于 a+1>3-2a>0

或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 ? 2 3? ? ? ? 故 a 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2? . ? ? ?

探究提高

本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶

性于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的 概念及性质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利 用单调性和奇偶性(图象对称性)求出 m 的值或范围; 第 二步,利用分类讨论的思想,结合函数的图象求出参数 a 的取值范围.

x2+4x+5 变式训练 3 指出函数 f(x)= 2 的单调区间,并 x +4x+4 2? ? 比较 f(-π)与 f 的大小. 2? ? x2+4x+5 解 ∵f(x)= 2 x +4x+4 1 -2 = 1+ 2=1+(x+2) , ?x+2?
其图象可由幂函数 y=x-2 的图象向左平移 2 个单位,再 向上平移 1 个单位得到,该函数在(-2,+∞)上是减函 数,在(-∞,-2)上是增函数,且其图象关于直线 x= -2 对称(如图所示). 2 2 又∵-2-(-π)=π-2<- -(-2)=2- , 2 2 ? 2? ? ∴f(-π)>f?- ? ?. 2 ? ?
? ? ?- ?

答题规范 2.分类讨论要规范 试题:(12 分)设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的 一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值范围.

学生解答展示



1 1 当a ? 0时, f ( x) ? a ( x ? ) 2 ? 2 ? a a ? 1 ?1 1 ? ? 4 ?1 ? ?4 ? ? ?1 ? a 或 ?a ? ?a 或? ? 1 ? f (4) ? 16a ? 8 ? 2 ? 0 ? ? f ( 1 ) ? a ? 2 ? 2 ? 0 f ( 4 ) ? 2 ? ? 0 ? ? ? a

1 ? ?1 a ? ? a ? 1 ? ?a ? 1 ? ?4 ? ?? 或? 或? 4 ?a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 3 ? ? 8 ? 2 ? 1 1 ? a ? 1或 ? a ? 1或? .即a ? 2 2 ? f (1) ? a ? 2 ? 2 ? 0 当a ? 0时, ? 得a ? ? f (4) ? 16 a ? 8 ? 2 ? 0 ?

审题视角

(1)分 a>0,a<0,a=0 三种情况讨论,并使

每种情况下在 [1,4] 上最低点函数值或最小值大于或等 于零,从而求得 a 的取值范围. 2 2 2 2 2 (2)由 ax -2x+2>0 分离参数 a>x- 2, 转化成求x- 2的 x x 最大值问题.

规范解答 解 当 a>0
? 1?2 1 ? ? 时,f(x)=a x-a +2-a. ? ?

[1 分]

1 ? 1 ? ?1<a<4 ? ≤1 ∴?a 或? ? ? 1 1 ? ? ? ? f ? 1 ? = a - 2 + 2 ≥ 0 ? f =2-a>0 ? ?a? 1 ? ? ≥4 或?a , ? ?f?4?=16a-8+2≥0 ?1 ? ?4<a<1 ?a≥1 ∴? 或? ? ?a≥0 ?a>1 ? 2 ? 1 ?a≤4 或? ?a≥3 8 ? [3 分]

1 1 ∴a≥1 或 <a<1 或?,即 a> , [5 分] 2 2 ? ?f?1?=a-2+2≥0 当 a<0 时,? ,解得 a∈?;[8 分] ? ?f?4?=16a-8+2≥0 当 a=0 时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意. 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a> . 2 [10 分] [12 分]

批阅笔记

本题可用分类讨论法求参数 a 的范围, 也可

用分离参数法求参数范围.在批阅本题时,发现考生存 在的突出问题是, 分类讨论的应用不规范. (1)考虑不严 密:①丢掉对 a=0 的情况的讨论;②当 a>0 时,未对 对称轴的位置加以分类讨论,从而导致解答失误,失误 原因是对二次项系数或对称轴的各种情况考虑不全面. (2)书写格式不规范.同级别的分类要对齐写,如本题 a>0,a<0,a=0 是同一级别的,一般要对齐写.讨论 完成后,要有综述性的语言概括结论.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 二次函数的解析式有三种形式: 一般式、 顶点式和两根式. 根 据已知条件灵活选用. 2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系,因此单调 性的判断通常用数形结合法来判断. 3.幂函数 y= xα(α∈ R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的 底 x 为自变量,指数 α 为常数,这是判断一个函数是否是幂 函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函 数、二次函数都是幂函数,如 y= x+ 1,y= x2- 2x 等都不是 幂函数. 4.在 (0,1)上,幂函数中指数愈大,函数图象愈靠近 x 轴 (简记为 “指大图低 ”),在 (1,+ ∞)上,幂函数中指数越大,函数 图象越远离 x 轴.

失误与防范 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第 四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇 偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果 幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 2.幂函数的定义域的求法可分 5 种情况:①α 为零;②α 为正 整数;③α 为负整数;④α 为正分数;⑤α 为负分数. 3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性等,只要作出幂函数在第一象限内的图象,然后根据它的 奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象. 4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的 单调性及在实际问题中的应用等类型的问题. 进一步培养学 生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.
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