高中数学第一轮复习(教师用)第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入之第四节复数

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第四节 复 数 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. ◆ 教材通关 ◆ 1.复数的有关概念 (1)复数的概念: 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+ bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模: → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a, b∈R)的模, 记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|= a2+b2. 2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi ― ― → 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). 一一对应 → (2)复数 z=a+bi(a,b∈R) ― ― → 平面向量OZ. 一一对应 3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 a+bi ?a+bi??c-di? ac+bd bc-ad ④除法: = = = + i(c+di≠0). z2 c+di ?c+di??c-di? c2+d2 c2+d2 (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +z3=z1+(z2+z3). [小题诊断] 1.(2017· 高考全国卷Ⅱ)(1+i)(2+i)=( ) A.1-i C.3+i 解析:(1+i)(2+i)=2+i2+3i=1+3i. 答案:B B.1+3i D.3+3i 2.已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( A.3+4i C.3-4i B.5+4i D.5-4i ) 解析:由 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,可得 a=2,b=1,故(a+bi)2=(2+i)2=3+4i. 答案:A 1+2i 3.(2018· 西安质检)已知复数 z= (i 为虚数单位),则 z 的虚部为( 2-i A.-1 C.1 B.0 D .i ) 1+2i ?1+2i??2+i? 5i 解析:∵z= = = =i,故虚部为 1. 2-i ?2-i??2+i? 5 答案:C 4.已知 i 为虚数单位,则复数 z=(-1-2i)i 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ) 解析:z=(-1-2i)i=2-i,对应的点 Z(2,-1)在第四象限. 答案:D 5.已知(1+2i) z =4+3i,则 z=________. 4+3i ?4+3i??1-2i? 10-5i 解析:∵ z = = = =2-i, 5 1+2i ?1+2i??1-2i? ∴z=2+i. 答案:2+i ◆ 易错通关 ◆ 1.利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时,注意 a,b,c,d∈R 的前提条件. 2.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1, 2 2 z2∈C,z1 +z2 2=0,就不能推出 z1=z2=0;z <0 在复数范围内有可能成立. [小题纠偏] z+2 1.已知 z 是纯虚数, 是实数,则 z=( 1-i A.2i C.-i B.i ) D.-2i z+2 2+bi ?1+i??2+bi? 解析:因为 z 是纯虚数,则令 z=bi(b∈R,b≠0),所以 = = = 2 1-i 1-i ?2-b?+?2+b?i z+2 .又 是实数,则 b+2=0,b=-2,所以 z=-2i,故选 D. 2 1-i 答案:D a+3i 2. (2018· 大连模拟)已知 i 是虚数单位, 若 =b+i(a, b∈R), 则 ab 的值为________. i a+3i a+3i -i?a+3i? 解析:由 =b+i,得 = =3-ai=b+i,所以 b=3,a=-1,则 ab i i -i2 =-3. 答案:-3 授课提示:对应学生用书第 81 页 考点一 复数的有关概念 自主探究 基础送分考点——自主练透 [题组练通] 1.(2017· 高考全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( A.i(1+i)2 C.(1+i)2 B.i2(1-i) D.i(1+i) ) 解析:A 项,i(1+i)2=i· 2i=-2,不是纯虚数; B 项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数; C 项,(1+i)2=2i,2i 是纯虚数; D 项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选 C. 答案:C 2.设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为 z ,则|(1-z)·z |=( A. 10 C. 2 B.2 D.1 ) 解 析 : 依 题 意 得 (1 - z)· z = (2 + i)( - 1 + i) = - 3 + i , 则 |(1 - z)· z | = | - 3 + i| = ?-3?2+12= 10. 答案:A 2+i 3.i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则 lg(a+b)的值是( 1+i A.-2 C.0 B.-1 1 D. 2 ) ?2+i??1-i? 3-i 3 1 解析:∵ = = - i=a+bi, 2

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