一元一次不等式知识点及典型例题123

一元一次不等式 考点一、不等式的概念 (3 分) 1、不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。 2、不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程,叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 (3~5 分) 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 4、说明:①在一元一次不等式中,不像等式那样,等号是不变的,是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以 0,那么不等号改为等号所以 在题目中,要求出乘以的数,那么就要看看题中是否出现一元一次不等式,如果出现了,那么不等式乘以的数就不等为 0,否则不等式不成 立; 考点三、一元一次不等式 不等式。 2、解一元一次不等式的一般步骤: (1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将 x 项的系数化为 1 考点四、一元一次不等式组 (8 分) 1、一元一次不等式组的概念:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。 2、几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 3、求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。 4、当任何数 x 都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。 5、一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集 (2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。 6、不等式与不等式组 不等式:①用符号〉 ,=, 〈号连接的式子叫不等式。②不等式的两边都加上或减去同一个整式,不等号的方向不变。③不等式的两边都乘以 或者除以一个正数,不等号方向不变。④不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号方向相反。 7、不等式的解集: ①能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 知识点与典型基础例题 一 不等式的概念: 例 -x≥5 判断下列各式是否是一元一次不等式? 2x-y<0
2x 3

(6--8 分)

1、一元一次不等式的概念:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是 1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次

? 45x ? x ? ?2

2 x

?5?3

二 不等式的解 : 三 不等式的解集: 例 判断下列说法是否正确,为什么? X=2 是不等式 x+3<2 的解。 是不等式 3x≥9 的解 四 一元一次不等式: 例 判断下列各式是否是一元一次不等式 X=2 是不等式 3x<7 的解。 不等式 3x<7 的解是 x<2。 X=3

-x<5 例 例1

2x-y<0

2x 3

?x?2

2 x

? 5 ≥3x

五.不等式的基本性质问题 指出下列各题中不等式的变形依据
2 3

1)由 3a>2 得 a>

2) 由 3+7>0 得 a>-7 4)由 4a>3a+1 得 a>1

3)由-5a<1 得 a>- 1 5 例2 用>”或<”填空,并说明理由 1)a-2( )b-2 2)a 2

如果 a<b 则 例3

? ? - b2

3)-3a-5(

)-3b-5

把下列不等式变成 x>a x<a 的形式。 5x<1+4x 4 5

X+4>7 例4

x>-1

2x+5<4x-2 )

已知实数 a/b/c/在数轴上的对应点如图,则下列式子正确的是( A cb>ab B ac>ab C cb<ab D

c+b<a+b 。

例5 例

当0<x<1时x ,x,



1 x

,之间的大小关系是

将下列不等式的解集在数轴上表示出来。 X≥2 x<1
2 3

x<3 的非负整数解

-1 1 3

? x ?21 2

六 在数轴上表示不等式的解集: 例 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来 2x+3<3x+2 -3x+2≤5 -

1 x ≠2 3

x?5 3x ? 2 ?1 ? 2 3
x 3

8-2(x+2)<4x-2

3-

x ?1 4

? 2 ? 3( x8?1)

5-x+

<1-

2 x ?3 2

?1 ? x3

题型一:求不等式的特殊解 例1) 求 x+3<6 的所有正整数解 2)求 10-4(x-3)≥2(x-1)的非负整数解,并在数轴上表示出来。

3)求不等式

3? x 2

? 1 ? 0 的非负整数解。

4)设不等式2x-a≤0只有3个正整数解,求正整数 题型二:不等式与方程的综和题 例 关于X的不等式2x-a≤-1的解集如图,求a的取值范围。

不等式组{ x ? m ?1

x ? 9 ? 5 x ?1
的解集是x>2,则m的取值范围是?

若关于X、Y的二元一次方程组{ x? y ? p?0 的解是正整数,求整数P的值。

5 x?3 y?31

已知关于x的不等式组{ 2 x ?a ?2b?1 的解集为3≤x<5,求 题型三 例 确定方程或不等式中的字母取值范围

x?a?b

a b

的值。

k为何值时方程5x-6=3(x+k)的值是非正数 已知关于 x 的方程 3k-5x=-9 的解是非负数,求 k 的取值范围 已知在不等式3x-a≤0的正整数解是1,2,3,求a的取值范围。

若方程组{ 2 x ? 3 y ?5 的解中 x>y,求 K 的范围。

4 x ?3 y ? k

如果关于 x 的方程 x+2m-3=3x+7 的解为不大于 2 的非负数,求 m 的范围。 若|2a+3|>2a+3,求 a 的范围。 若(a+1)x>a+1 的解是 x<1,求 a 的范围。

x ? 8 ? 4 x ?1
若{ x ? a 的解集为>3,求a的取值范围。

已知关于 x 的方程x-

2 x ?m 3

?

2x 3

的解是非负数,m是正整数,求m的值。

如果{ 8 x ? b ? 0 的整数解为1、2、3,求整数a、b的值。 题型五 例 求最小值问题
?4 x 取什么值时,代数式 5 x6 的值不小于 7 8 x 的值,并求出 X 的最小值。 ? 1? 3

9 x ?a ?0

题型六 例

不等式解法的变式应用 根据下列数量关系,列不等式并求解 X的1 与 x 的 2 倍的和是非负数。 3 X 除以 2 的商加上 2,至多为 5。 。

C 与 4 的和的 30﹪不大于-2。 A 与 b 两数和的平方不可能大于 3。



x取何值时,2(x-2)-(x-3)-6的值是非负数?



x取哪些非负整数时,

3 x?2 5

的值不小于

2 x? 3

与1的差。

题型七 例

解不定方程

求方程4x+y-20=0的正整数解。

已知{ x ?3a ? ?2 无解,求a的取值范围。 题型八 例 比较两个代数式值的大小
2 2

x ?2?a

已知A=a+2,B=a -a+5,C=a +5a-19,求B与A,C与A的大小关系 不等式组解的分类讨论

题型九 例

解关于x的不等式组{ ( a?2) x?2.?.2(1?a ) x?4

ax?4.?.8?3ax

8、常见题型 一、选择题 在平面直角坐标系中,若点 P(m-3,m+1)在第二象限,则 m 的取值范围为( A.-1<m<3 已知关于 D. B.m>3 C.m<-1 D.m>-1 的取值范围是( )A. B. C. )

的一元二次方程 答案:D

有两个不相等的实数根,则实数

四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P、Q、R、S,如图 3 所示,

则他们的体重大小关系是(



A、

B、

C、

D、

把不等式组

的解集表示在数轴上正确的是(



不等式 A.

的解集是( B.

) C. D.

若不等式组

有实数解,则实数

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

若 A. B.

,则

的大小关系为( C. (

) )

D.不能确定

不等式—x—5≤0 的解集在数轴上表示正确的是

不等式 (A)1 个



的正整数解有( (B)2 个

) (C)3 个 (D)4 个 )

把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上,如图所示,则这个不等式组可能是( A. B. C. D.

不等式组

,的解集是(



A. 不等式组

B.

C. 的解集在数轴上可表示为(

D.无解 )

A 实数

B ,

C , 的大小关系正确的是(

D )

在数轴上对应的点如图所示,则

A.

B.

C.

D. )

如图,a、b、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是(

A.a>c>b 不等式组

B.b>a>c

C.a>b>c )

D.c>a>b

的解集在数轴上表示正确的是(

把不等式组

的解集表示在数轴上,正确的为图 3 中的(



A. 用 ( )

B.

C.

D. 这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为

表示三种不同的物体,现放在天平上比较两次,情况如图所示,那么

不等式组

的解集在数轴上可表示为(



在数轴上表示不等式组

的解集,正确的是(



二、填空题 已知 3x+4≤6+2(x-2),则 如图,已知函数 和 的最小值等于________. 的图象交点为 ,则不等式 的解集为 .

不等式组

的解集为



不等式组

的整数解的个数为



6.已知关于

的不等式组

的整数解共有 3 个,则

的取值范围是



9.不等式组

的解集是



10.直线

与直线

在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于

的不等式

的解集为



13.已知不等式组 三、简答题

的解集为-1<x<2,则(m+n)2008=__________.

解不等式组

解不等式组

并写出该不等式组的最大整数解.

若不等式组

的整数解是关于 x 的方程

的根,求 a 的值。

解方程

。由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与 1 和-2 的距离之和为 5 的点对应的 x 的值。在数轴上,1

和-2 的距离为 3,满足方程的 x 对应点在 1 的右边或-2 的左边,若 x 对应点在 1 的右边,由图(17)可以看出 x=2;同理,若 x 对应点 在-2 的左边,可得 x=-3,故原方程的解是 x=2 或 x=-3

参考阅读材料,解答下列问题:

(1)方程 (2)解不等式 (3)若

的解为 ≥9; ≤a 对任意的 x 都成立,求 a 的取值范围

解不等式组

并把解集表示在下面的数轴上.

解不等式组:

并判断

是否满足该不等式组.

解不等式 3x-2<7,将解集在数轴上表示出来,并写出它的正整数解.

解不等式组

,并写出它的所有整数解.

解不等式组

并求出所有整数解的和.

不等式复习 1 一:知识点回顾 1、一元一次不等式(组)的定义: 2、一元一次不等式(组)的解集、解法: 3、求不等式组的解集的方法 : 若 a<b,



时,x>b;(同大取大)



时,x<a;(同小取小)



时,a<x<b;(大小小大取中间)



时无解,(大大小小无解)

二:小试牛刀 1、不等式 8-3x≥0 的最大整数解是_______________.

2、若 (a ? 1) x

? a ? 1 的解集是 x ? 1 ,则 a 必须满足_______

3、若不等式组 ? 4、若 0 ?

? x ? 4, 的解集是 4 ? x ? a ,则 a 的取值范围是________. ?x ? a

1 、 a 之间的大小关系是________. a 5、如果一元一次方程 2 x ? 5k ? x ? 4 的解是正数,那么 k 的取值范围是________.

a ? 1 ,则 a 2 、

6、如图,直线 A. x

y ? kx ? b 经过点 A(?1, ? 2) 和点 B(?2, 0) ,直线 y ? 2 x 过点 A,则不等式 2 x ? kx ? b ? 0 的解集为(
B. ?2 ?



? ?2
y

x ? ?1

C. ?2 ?

x?0

D. ?1 ?

x?0

B A

O

x

7、不等式组 8、由 x>y 得 ax≤ay 的条件是( A.a>0 A.m>0 三:例题讲解 B.a<0
2 2

的解集为 x<2,试求 k 的取值范围______ ) D.a≤0 ) D.m 是任意有理数 ) C.a≥0 C.m≠0

9、由 a>b 得 am >bm 的条件是( B.m<0

1、已知关于 x 的不等式 2x+m>-5 的解集如图所示,则 m 的值为( A, 1 B, 0 C, -1 D, 3

2、不等式 2x+1<a 有 3 个正整数解,则 a 的取值范围是?

3、关于 x 的不等式组 ?

?x ? a ? 0 的整数解共有 3 个,则 a 的取值范围是多少? ?1 ? x ? 0

4、若方程组 ?

?3x ? y ? 2k , 的解满足 x ? 1, 且y ? 1 ,求整数 k 的取值范围。 ?y ? x ? 3

5、若不等式组

无解,求 a 的取值范围.

6、 已知不等式组 ?

?2ax ? 6 ? a 的解集是 1<x<b.则 a+b 的值? ?6 x ? 5 ? b

9、某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千克,计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 50 件,已知生产一件 A 种产品用甲种原料 9 千克,乙种原料 3 千克,可获利 700 元;生产一件 B 种产品用甲种原料 4 千克,乙种原料 10 千克,可获利 1200 元。 (1)按要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几种方案?请你设计出来; (2)设生产 A、B 两种产品总利润为 案获利最大?最大利润是多少?

y 元,其中一种产品生产件数为 x 件,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函数的性质说明那种方

3、如果不等式组 ?

?2 x ? 3 ? 0 无解,则 m 的取值范围是 ?x ? m
3x ? 2 5



4、X 是哪些非负整数时,

的值不小于2 x ? 1

与 1 的差

3

5 若方程组 ?

?x ? 2 y ? 1 的解 x 、 y 的值都不大于 1,求 m 的取值范围。 ?x ? 2 y ? m ?x ? a ? 0 的整数解共有 5 个,则 a 的取值范围是 ? ?3 ? 2x ? ?1

6、不等式组

7、用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 5 吨,则剩下 10 吨货物,若每辆车装满 8 吨,则最后一辆汽车不空也不满,请问 有多少辆汽车?

8、某校准备组织 290 名学生进行野外考察活动,行李共 100 件,学校计划租用甲乙两种型号的汽车共 8 辆,经了解,甲种汽车每辆最多载 40 人和 10 件行李;乙种汽车每辆最多载 30 人和 20 件行李。 (1)设租用甲种汽车 x 辆,请你帮助学校设计所有可能的方案 (2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为 2000,1800 元,请你选择最省钱的一种租车方案。 9、为执行中央“节能减排,美化环境,建设美丽新农村”的国策,我市某村计划建造 A、B 两种型号的沼气池共 20 个,以解决该村所有农户的燃 料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表: 已知可供建造沼气池的占地面积不超过 365m2,该村农户共有 492 户. (1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程. (2)通过计算判断,哪种建造方案最省钱. 型号 A B 占地面积 (单位:m2/个 ) 15 20 使用农户数 (单位:户/个) 18 30 造价 (单位: 万元/个) 2 3


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