2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_图文

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
平面向量的数量积

a ? b ? a b cos?
特别地

复习回 顾

a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a
2

a⊥ b ? a · b=0 (判断两向量垂直的依据) 运算律: 1. a ?b

? b?a

2.?a

? ?? b ? ??a ? b? ? a ? ??b?

?a ? b?? c ? a ? c ? b ? c 3.

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、平面向量数量积的坐标表示

上的单位向量,

i是x轴上的单位向量, j是y轴
j ? j ?1.
0.

由于 a ? b ? a ? b cos? 所以

i ? i ?1 .

i ? j ? j ?i ?

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

已知两个非零向量a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 怎样用a与b的坐标表示a b呢?
两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和,即 a b ? x1x2 ? y1 y2

2、向量的模和两点间的距离公式
(1) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a;

(1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a ? x ? y , 或 a ?
2 2 2 2 2

x ?y ;

(2)两点间的距离公式 设( A x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y2 )
2 2

3、两向量垂直和平行的坐标表示 (1)垂直 a ? b ? a ? b ? 0

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)平行

设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 则 a// b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
例1
例2

已知a ? (?3,4), b ? (6, ?8), 求 a , b , a b, a ? b a ? b .

? ?? ?

已知A ?1, 2 ?,B ? 2, 3?,C ? 0, 3?,求 AB , AC 并判断?ABC的形状,给出证明。

已知a ? (1, x), b ? (-3,1) 例3 . (1)当x为何值时, 2a+b与a ? 2b平行? (2)当x为何值时, 2a+b与a ? 2b垂直?

4、两向量夹角公式的坐标运算
已知两个非零向量a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,

? 是a与b的夹角,如何求a与b的夹角的余弦值呢?

cos? =

ab a b

?

x1 x2 ? y1 y2 x ?y
2 1 2 1

x2 ? y2
2

2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

例4 .设a ? (5, ?7), b ? ( ? 6,-4),求

a b及a与b间的夹角? ? 精确到1
已知 a =(4,3),向量 的单位向量,求 b .
例5

?

b是垂直于 a

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
? 达标测评: 1 、已知a = (3,4),b = (5,2),求a b,| a |,| b | 2、a = (2,3),b = (2,4), c = (1,2) 求a b, (a + b) (a - b),a (b + c),(a + b)2 3、已知a = (2,4),b = (1,2),则a 与b的关系是 A、不共线 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向 4、以A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶点的三角 形的形状是 A、等腰三角形 √ B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

?

?

?

?



1、 a b= -7, | a |= 5, | b|= a ?(b + c)= 0

?

2、 a b = 8, (a + b)(a - b)= - 7, (a + b)2 = 49

?

?

29 ,

小结

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即
2 2 x ? y (1)设a =(x,y),则 | a | ? 或|a |=
2

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

x2 ? y2 .

B? x2 , y2 ? 则 AB ? 若设 A? x1 , y1 ?、
标表示式.
cos? ?

? x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2

(2)写出向量夹角公式的坐标式,向量平行和垂直的坐
x1 x2 ? y1 y2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

a / /b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? 0


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