高中数学选修2-1试题及答案

数学选修模块测试样题
选修 2-1 (人教 A 版)
考试时间:90 分钟 试卷满分:100 分

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的. 1. x ? 1 是 x ? 2 的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 ) B.必要但不充分条件 D.既不充分又不必要条件 )

2.已知命题 p,q ,若命题“ ?p ”与命题“ p ? q ”都是真命题,则( A. p 为真命题, q 为假命题 C. p , q 均为真命题 3. 设 M 是椭圆 等于( A. 2

B. p 为假命题, q 为真命题 D. p , q 均为假命题

x2 y2 若 则 ? ? 1 上的任意一点, F1 , F2 是椭圆的两个焦点, | MF1 | ? | MF2 | 9 4
) B. 3 ) B. ?p:?x ? R,x ? 0 D. ?p:?x ? R,x ? 0 ) C. 2 D. 1 C. 4 D. 6

4.命题 p:?x ? R,x ? 0 的否定是( A. ?p:?x ? R,x ? 0 C. ?p:?x ? R,x ? 0

5. 抛物线 y ? 4 x 的焦点到其准线的距离是(
2

A. 4

B. 3

6. 两个焦点坐标分别是 F1 (?5, 0),F2 (5, 0) ,离心率为

5 的双曲线方程是( 4



A.

x2 y 2 ? ?1 4 3
x2 y 2 ? ?1 25 9
)

B.

x2 y 2 ? ?1 5 3 x2 y 2 ? ?1 16 9

C.

D.

7. 下列各组向量平行的是(

A. a ? (1,1, ? 2), b ? (?3, ? 3, 6) C. a ? (0,1, ? 1), b ? (0, ? 2,1)

B. a ? (0,1, 0), b ? (1, 0,1) D. a ? (1, 0, 0), b ? (0, 0,1) )

8. 在空间四边形 OABC 中, OA ? AB ? CB 等于(

??? ??? ??? ? ? ?

A. OA C. OC

??? ?

B. AB D. AC

??? ?

????

????
)

9. 已知向量 a ? (2, 3, 1) , b ? (1, 2, 0) ,则 a ? b 等于 ( A. 1 C. 3 B. 3 D. 9

10. 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, DA , DB , DC 两两

??? ??? ? ? 垂直,且 DB ? DC , E 为 BC 中点,则 AE ? BC 等于
) B. 2 D. 0 B A. 3 C. 1

A

(

D E

C

11. 已知抛物线 y ? 8 x 上一点 A 的横坐标为 2 ,则点 A 到抛物线焦点的距离为(
2



A. 2

B. 4
2

C. 6
2 2

D. 8 )

12.设 k ? 1 ,则关于 x , y 的方程 (1 ? k ) x ? y ? k ? 1 所表示的曲线是( A.长轴在 x 轴上的椭圆 C.实轴在 x 轴上的双曲线 B.长轴在 y 轴上的椭圆 D.实轴在 y 轴上的双曲线

13. 一位运动员投掷铅球的成绩是 14m ,当铅球运行的水平距离是 6m 时,达到最大高度

4m .若铅球运行的路线是抛物线,则铅
球出手时距地面的高度是( A. 1.75m C. 2.15m B. 1.85m D. 2.25m )

14.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为侧面 ABB1 A1 所在平面上的一个动点,且 M 到平 面 ADD1 A1 的距离是 M 到直线 BC 距离的 2 倍,则动点 M 的轨迹为( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 15.命题“若 a ? 0 ,则 a ? 1 ”的逆命题是_____________________. 16.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是_____________________. 9 4

17. 已知点 A(?2,0), B(3,0) , 动点 P( x, y ) 满足 AP ? BP ? x , 则动点 P 的轨迹方程是
2

??? ??? ? ?



x2 y2 ? 18. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆上一点,且 ?PF1 F2 ? 30 , a b
?PF2 F1 ? 60 ? ,则椭圆的离心率 e 等于


三、解答题:本大题共 3 小题,共 28 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19. (本小题满分 8 分) 设直线 y ? x ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A ,B 两个不同的点. 2

(1)求实数 b 的取值范围; (2)当 b ? 1时,求 AB .

??? ?

20. (本小题满分 10 分) 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , E 为棱 CC1 的中点. (1)求 AD1 与 DB 所成角的大小; (2)求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值. A1 B1 E D C A B D1 C1

21. (本小题满分 10 分) 已知直线 y ? x ? m 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点, O 为坐标原点.
2

(1)当 m ? 2 时,证明: OA ? OB ; (2)若 y1 y2 ? ?2m ,是否存在实数 m ,使得 OA ? OB ? ?1 ?若存在,求出 m 的值;若不存在, 请说明理由.

数学模块测试样题参考答案
数学选修 2-1(人教 A 版)
一、选择题(每小题 4 分,共 56 分) 1. B 8. C 2. B 9. B 3.D 10.D 4.C 11.B 5.C 12.D 6.D 13.A 7. A 14.A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 15.若 a ? 1 ,则 a ? 0 17. y ? x ? 6
2

16. y ? ?

2 x 3

18. 3 ? 1

三、解答题(解答题共 28 分) 19. (本小题满分 8 分) 解: (1)将 y ? x ? b 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,消去 y ,整理得 3x2 ? 4bx ? 2b2 ? 2 ? 0 .① 2 x2 ? y 2 ? 1 相交于 A ,B 两个不同的点, 2
2

因为直线 y ? x ? b 与椭圆
2 2

所以 ? ? 16b ? 12(2b ? 2) ? 24 ? 8b ? 0 , 解得 ? 3 ? b ? 3 . 所以 b 的取值范围为 (? 3, 3) . (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) , 当 b ? 1时,方程①为 3x ? 4 x ? 0 .
2

4 . 3 1 相应地 y1 ? 1, y2 ? ? . 3 ??? ? 4 2 2 所以 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2. 3
解得 x1 ? 0, x2 ? ?

20. (本小题满分 10 分) 解:(1) 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz , 则 D(0,, , A(2,, , B(2,, , D1 (0,, . 0 2) 0 0) 0 0) 2 0) 则 DB ? (2, 2, 0) , D1 A ? (2, 0, ?2) . D1 z C1

??? ?

???? ?

A1

B1 E D C

??? ???? ? ? ??? ???? ? ? DB ? D1 A 4 1 故 cos? DB, D1 A? ? ??? ???? ? ? . ? ? DB ? D1 A 2 2 ? 2 2 2
所以 AD1 与 DB 所成角的大小为 60 .
?

y

A x

??? ? (2) 易得 E (0,, ,所以 AE ? (?2 , 2 ,1) . 2 1)
又 DD1 ? (0, 0, 2) 是平面 ABCD 的一个法向量,且

B

???? ?

??? ???? ? ? ??? ???? ? ? AE ? DD1 2 1 cos? AE, DD1 ? ? ??? ???? ? ? . ? ? AE ? DD1 3 ? 2 3
所以 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 21. (本小题满分 10 分) 解: (1)当 m ? 2 时,由 ?

1 . 3

? y ? x ? 2,
2 ? y ? 2 x,

得 x ? 6x ? 4 ? 0 ,
2

解得 x1 ? 3 ? 5 , x2 ? 3 ? 5 , 因此 y1 ? 1 ? 5 , y 2 ? 1 ? 5 . 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? (3 ? 5 )(3 ? 5 ) ? (1 ? 5 )(1 ? 5 ) ? 0 , 即 OA ? OB ? 0 . 所以 OA ? OB . (2)假设存在实数 m 满足题意,由于 A, B 两点在抛物线上,故

??? ??? ? ?

? y12 ? 2 x1, 1 ? 2 2 因此 x1 x2 ? ( y1 y2 ) ? m . ? 2 4 ? y2 ? 2 x2, ?
所以 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y 2 ? m ? 2m .
2

2 由 OA ? OB ? ?1 ,即 m ? 2m ? ?1,得 m ? 1 .

又当 m ? 1 时,经验证直线与抛物线有两个交点, 所以存在实数 m ? 1 ,使得 OA ? OB ? ?1


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