3.1.1空间向量及其线性运算课件_图文

高中数学人教B版选修2-1

复习回顾: 1.平面向量的相关概念:
①向量的定义;

②向量的表示方法;
③零向量;

④相等向量;
⑤共线向量; ⑥向量的模; ⑦相反向量。

复习回顾: 1.平面向量的相关概念:
①向量的定义:具有大小和方向的量 ②向量的表示方法: ⅰ.几何表示法:有向线段 ⅱ.字母表示法:始点A终点B的向量 AB 或者表示 a 为 。 ③零向量:始点与终点重合的向量 。 ④向量的模:表示向量的有向线段的长度。 ⑤相等向量:模相等、方向相同的向量。 ⑥相反向量:模相等、方向相反的向量。 ⑦共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量。

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b
向量加法的三角形法则

b
向量加法的平行四边形法则

a

a

a

b a
向量减法的三角形法则

ka ka
向量的数乘

(k>0) (k<0)

3、平面向量的加法、减法与数乘向量运算律
加法交换律:

a?b ?b?a

加法结合律: (a ? b) ? c
数乘分配律:k ( a

? a ? (b ? c)

? b) ? k a+k b

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

知识讲解: 1.空间向量的相关概念:
①向量的定义:具有大小和方向的量 ②向量的表示方法: ⅰ.几何表示法:有向线段 AB 或者表示 ⅱ.字母表示法:始点A终点B的向量 为 a 。 ③零向量:始点与终点重合的向量 。 ④向量的模:表示向量的有向线段的长度。 ⑤相等向量:模相等、方向相同的向量。 ⑥相反向量:模相等、方向相反的向量。 ⑦共线向量:基线平行或重合的向量,也叫平行向量

思考:空间任意两个向量是否可能异面?

B

b

O

A

a

结论:
1.空间任意两个向量都是共面向量,所 以它们可用同一平面内的两条有向线 段表示。 2. 凡是涉及空间任意两个向量的问题, 平面向量中有关结论仍适用于它们。

C

a b
O

+
A

b

B

空间向量的加减法

a
ka
ka

OB ? OA ? AB CA ? OA ? OC
(k>0) (k<0)
空间向量的数乘

2.空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k ( a ? b) ? k a+k b

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ?成立吗? b ?b?a 加法结合律 数乘分配律 k ( a ? b) ? k a+k b

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

加法结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
O O

a
C
A

a b
A

+

c
C

b

B

c

b

B

c

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)

(1) AB ? AD ? AA ; 1 ( 2) DD1 ? AB ? BC; (3) AB ? AD ? 1 ( DD1 ? BC). 2
A1

D1 B1

C1

D A B

C

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? AD ? AA ; 1 ( 2) DD1 ? AB ? BC;
A1 1 (3) AB ? AD ? ( DD1 ? BC). 2 解:) AB ? AD ? AA (1 1
D1 B1 C1

? AC ? AA 1 ? AC ? CC1 ? AC1
A

D B

C

结论:始点相同的三个不共面向量之和,等于以这 三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的 对角线所示向量

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? AD ? AA ; 1 ( 2) DD1 ? AB ? BC;
A1 1 (3) AB ? AD ? ( DD1 ? BC). 2 解: ) DD1 ? AB ? BC (2
D1 B1 C1

? DD1 ? ( AB ? AD) ? DD1 ? DB ? BD1
A

D B

C

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 例 1 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? AD ? AA ; 1 ( 2) DD1 ? AB ? BC;
A1 1 (3) AB ? AD ? ( DD1 ? BC). 2 1 解: ) AB ? AD ? ( DD1 ? BC ) (3 2 1 D ? AC ? (CC1 ? CB ) 2 1 A ? AC ? CB1 2
D1 B1 C1

M
C B

? AC ? CM ? AM

例2如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 1 CD的中点,求证: MN ? (AD ? BC)
2
A

证明: MN ? MA ? AD ? DN MN ? MB ? BC ? CN (1) ? (2)得 2MN ? AD ? BC. B 1 因此 MN ? (AD ? BC) 2

(1) (2 M)
D N C

由已知,得MB ? ?MA , DN ? ?CN.

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 下列各式的x的值。
D1 A1 B1 C1

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A

D B

C

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 下列各式的x的值。
D1 B1 C1

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1

D B

C

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 例 3 求满足下列各的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1
? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例 3

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,求满足 下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k ( a ? b) ? k a+k b 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k ( a ? b) ? k a+k b

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

作业
P82 ? 练习B3 课下思考题: 1.在空间中,两个向量共 线应该满足什么条件? 2.联想平面向量基本定理 ,你能不能想想空间向 量共面应该有什么定理 存在? 那空间中应该用几个作 基底呢?什么样的才能 作 基底呢?

3.平面向量基本定理用两 个不共线的向量作基底 ,

练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

B

M

C

练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB的中点, 练习 1 化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量。
(1) CB ? BA1; 1 ( 2) AC ? CB ? AA1; 2 (3) AA1 ? AC ? CB.

A1
C1

B1

M

解:1) CB ? BA1 ? CA1 ( A 1 (2) AC ? CB ? AA1 ? AM 2 (3) AA1 ? AC ? CB ? BA1

B C

练习2

如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、
CD的中点,求证: ? AC ? AD ? BC ? BD 4MN
A

M D B C N

练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

练习4 在长方体OADB ? CA?D?B?中,OA ? 3,OB ? 4,

OC ? 2,OI ? OJ ? OK ? 1,点E、F分别为DB、 D?B?的中点。设OI ? i, OJ ? j, OK ? k , 试用i, j, k 表示OE、 。 OF C
F
A’ O I

B’
D’

K
J

B E D

3 OE ? i ? 4 j 2
3 OF ? i ? 4 j ? 2k 2

A


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